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Chapitre 5

Limites et derivees

5.1

T auxde v ariationins tantanea vecle sl imitesDenition 5.1.Letaux de variation instantane(TVI) de la fonctionfen

x=aest deni par TVI On remplace donc l'idee d'un"dxinnitesimal»parx!0. Cette idee permet d'eviter les complications conceptuelles de l'idee d'inniment petit. On parle d'une quantite"aussi petite que l'on veut»plut^ot que d'une quantite inniment petite. Note : quand on evalue un TVI a l'aide de cette denition, la limite impliquee sera toujours un cas d'indetermination"00

», cary!0quandx!0. Il faut donc

toujours utiliser une transformation algebrique permettant de simplier un facteur xpour lever l'indetermination. 5.2

D erivee

Comme la pente de la tangente a au graphe d'une fonctionfest directement lie a sa croissance, il est utile de la considerer comme une nouvelle fonctionderiveede la fonction initiale. Cette fonction derivee associe a chaque valeur dexdans le domaine

defla pente de la tangente au graphe defau pointx;f(x).Denition 5.2.Lafonction deriveef0d'une fonctionfest denie par

f

0(x)=limx!0yx=limx!0f(x+x)f(x)x:80

xy xx+xf(x)f(x)xf(x+x)f(x)Exemple 5.1.Sif(x)=x3, alors f

0(x)=limx!0f(x+x)f(x)x

=limx!0(x+x)3x3x =limx!0(x3+3x2x+3xx2+x3)x3x =limx!03x2x+3xx2+x3x =limx!0x(3x2+3xx+x2x =limx!03x2+3xx+x2 =3x2+3x(0)+(0)2 =3x2

On a donc quef0(x)=3x2.A l'aide de la derivee, on peut par exemple determiner la pente de la tangente af

en un point quelconque(x;f(x))du graphe defen evaluantf0(x). Par exemple, si x=2, la pente de la tangente est f

0(2)=3(2)2=24:

Six=1, la pente de la tangente est

f

0(1)=3(1)2=3:

On peut aussi chercher les valeurs dexou la pente a une valeur specique. Par exemple, la tangente est horizontale quand sa pente est nulle. Cela est le cas quand f0(x)=0()3x2=0()x=0:81

Exemple 5.2.Sif(x)=px+1, la derivee defest

f

0(x)=limx!0f(x+x)f(x)x

=limx!0px+x+1px+1x =limx!0px+x+1px+1xpx+x+1+px+1px+x+1px+1 =limx!0(x+x+1)(x+1)x1px+x+1+px+1 =limx!0xx1px+x+1+px+1 =limx!01px+x+1+px+1

1px+0+1+px+1

1px+1+px+1

12 px+1

Doncf0(x)=12

px+1.La fonction deriveef0est la fonction qui associe a chaque valeur dexle taux de variation instantane defenx, soit la pente de la tangente enx;f(x): f

0(x)=TVIx(f)=limx!0yx:

Les notationf0(x)etTVIx(f)sont donc interchangeables. Cependant, la notation f0(x)met l'accent sur le fait que la nouvelle fonctionf0est determinee a partir de la fonction originalef. Cette fonction est le plus souvent appelee simplementla derivee def. L'operation"'»(derivee) est en fait elle m^eme une sorte de fonction, mais qui prend une fonction comme argument et qui retourne une nouvelle fonction : derivee:fonctions reelles!fonctions reelles 82

5.3Dro itet angentee ta pproximationd' unef onction

Si une droite est de pentea, une augmentation dexde la valeur dexaugmentera la valeur deydeax.xy x 0x

0+xf(x)y

0xaxy

On a donc quey=y0+ax.On peut se servir de cette relation pour obtenir une approximation lineaire a l'aide

de l'equation de la droite tangente.xy xx= xf(x)f(x)xf(x+x)f(x) Dans ce dernier graphique, la pente de la tangente au pointx;f(x)est, par denition, la valeurf0(x)de la derivee evaluee enx. En remplacent les parametres de la relation y=y0+axpar ceux de la droite tangente du dernier graphique, l'equation de la droite tangente en(x;f(x))(ouyest fonction dex) est y=f(x)+f0(x)x: Si on considere queysur la droite tangente est une bonne approximation deysur le graphe de la fonctionf, on peut faire l'approximation suivante def(x+x) f(x+x)f(x)+f0(x)x: 5.3.1

D enitiona lternativede la d erivee

On peut aussi denir la derive de la maniere suivante : f

0(a)=limx!af(x)f(a)xa

La comparaison du graphique suivant, qui illustre les principaux elements de la denition precedente, avec le graphique illustrant la denition originale permet de voir leur equivalence geometrique : dans les deux cas, on determine la derivee a l'aide de pente de secantes approximant la pente de la tangente. 83
xy axf(x)f(x)(xa)f(x)f(a)Exemple 5.3.Sif(x)=px+1, la deriveef(a)peut ^etre calculee par f

0(a)=limx!af(x)f(a)xa

=limx!apx+1pa+1xa =limx!apx+1pa+1xapx+1+papx+1pa+1 =limx!a(x+1)(a+1)xa1px+1+pa+1 =limx!axaxa1px+1+pa+1 =limx!a1px+1+pa+1

1pa+1+pa+1

12 pa+1En utilisant cette forme de la denition de la derivee, l'equation de la droite tangente s'ecrit plut^ot : y=f(a)+f0(a)(xa): La droit tangente peut servir d'approximation a la fonction pour des valeurs dex proche dea: f(x)f(a)+f0(a)(xa): Cette approximation sera generalisee en calcul integral. On appelle cette generalisation serie de Tayloret on y consacrera pres d'un quart de la session! Notons enn que l'on peut aussi ecrire la denition de la derivee de la maniere 84
suivante, en utilisantx0au lieu dea. f

0(x0)=limx!x0f(x)f(x0)xx0:La notationx0,x1,x2est souvent utilisee pour designer des valeurs particulieres dex.

5.4

Di erentiabiliteDenition 5.3.

Une fonctionfest dierentiable enx=asi la limite servant a denirf0(x)existe, c'est a dire quand lim x!0f(x+x)f(x)xexisteExemple 5.4. La fonction valeur absoluef(x)=jxjn'est pas dierentiable en x=0.

En eet,

f

0(0)=limx!0f(x)f(0)x0

=limx!0jxjj0jx =limx!0jxjx

Cette derniere limite est une limite"00

». On ne peut pas directement simplier

jxjetx. Il faut simplier dieremment selon le signe dex. Sixest positif,jxj=xet doncjxjx =xx =1:

Sixest negatif,jxj=xet donc

jxjx =xx =1: On peut donc completer le calcul def0(0)en prenant les limites a droite et a gauche. lim x!0+jxjx =limx!0+1=1 lim x!0jxjx =limx!01=185 Comme les limites a droites et a gauche ne sont pas egales, on a que lim x!0jxjx @:On a donc montre quef0(0)n'existe pas, car la limite presente dans la denition n'existe pas.xf(x) Une consequence importante de la dierentiabilite : si une fonction admet une

tangente en un point de son graphe, la fonction est continue en ce point.Theoreme 5.1.Sifest dierentiable enx=a, alorsfest continue enx=a.Demonstration.

On suppose quefest dierentiable enx=aet on cherche a montrer quefest continue enx=a, c'est a dire que lim x!af(x)=f(a): Sifest dierentiable enx=a, par denition, il existe une valeurLtelle que lim x!af(x)f(a)xa=L:

Si on considere la limite

lim x!af(x)f(a)xa(xa); en utilisant la propriete donnant la limite d'un produit, on doit avoir que lim =L(0) =0: Si on simplie le facteurxadans la limite, on a que lim x!af(x)f(a)xa(xa)=limx!af(x)f(a); et avec le resultat precedent, on a donc que lim x!af(x)f(a)=0: 86
lim x!af(x)limx!af(a)= limx!af(x) f(a); et donc limx!af(x)=f(a); c'est a dire quefest continue enx=a.

La contraposee du dernier theoreme sera utile pour l'analyse de fonctions.Corollaire 5.1.Si une fonction n'est pas continue enx=a, alors elle n'est pas

dierentiable enx=a. Comme une fonction qui n'est pas denie en un point de peut ^etre continue en ce point, une fonction n'est jamais dierentiable hors de son domaine. 5.4.1

T ypesde no n-dierentiabilite

Comme la dierentiabilite n'est rien d'autre que l'existence d'une limite et qu'il y a dierent scenarios ou une limite n'existe pas, il y a aussi dierents scenarios ou une fonction n'est pas derivable (en un point).

Unpoint anguleuxest un point ou

lim x!0+yx,limx!0yx; mais ou les limites a droite et a gauche existent toutes deux. Dans une telle situation, il y a"deux tangentes», une a droite et une a gauche. Voici quelques exemples de points anguleux.xy xy xy

Unpoint de rebroussementest un point ou

lim x!0+yx=1oulimx!0yx=1; c'est-a-dire ou la limite a droit ou la limite a gauche est innie. Cela donc graphique- ment un point ou il y a une tangente verticale"de pente innie».xy xy 87
Enn, un point de non-derivabilite peut ^etre du au fait que la limitelimx!0yxn'existe pas a cause d'oscillations qui ne se stabilisent pas. Un exemple connnu est la fonction de Weirestrass, qui a la propriete d'^etre derivable en aucune valeur de son domaine!xf(x)88 89
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