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Terminale ST2S
FICHE n°5
Nombre dérivé et tangente à une courbeNombre dérivé et tangente à une courbeNombre dérivé et tangente à une courbeNombre dérivé et tangente à une courbe
I. Tangente à une courbe
L"idée
La définition d"une tangente est trop compliquée pour être exposée ici et est hors programme.
L" " idée principale » est la suivante :
EXERCICE TYPE 1 Lire graphiquement une équation d"une tangente On a représenté ci-dessous la courbe (Cf) représentative d"une fonction f.Déterminer graphiquement une équation de :
a. la tangente T1 à la courbe (Cf) au point d"abscisse 1.
b. la tangente T0 à la courbe (Cf) au point d"abscisse 0.
Solution
a. Le point de la courbe d"abscisse 1 est le point (1 ; -2). Graphiquement (voir fiche " Equations de droites »), on peut déterminer :1 : 2
1 = 21 : -4
Une équation de la tangente (T
1) est donc : y = 2x - 4 .
b. Le point de la courbe d"abscisse 0 est le point (0 ; -3).Comme la droite (T
0) est horizontale (pas de pente), son coefficient directeur est 0.
Une équation de la tangente (T
0) est donc : y = - 3 .
Remarque
La tangente à une courbe en un point A donne " l"allure de la pente de la courbe » juste autour
de point A. + 1 + 2 T1 T0 CfII. Nombre dérivé
Définition
Si la courbe représentative d"une fonction f admet une tangente Ta en un point A d"abscisse a, le coefficient directeur de cette tangente T a est appelé nombre dérivé de la fonction f en a.On le note f "(a).
EXERCICE TYPE 2 Déterminer graphiquement un nombre dérivéOn a représenté ci-contre la courbe (Cg)
représentative d"une fonction g ainsi que la tangente ∆ à (Cg) au point d"abscisse (-3).Déterminer graphiquement g(-3) et g"(-3).
Solution
d"abscisse (-3), soit g(-3) = -2. directeur de la tangente à la courbe (Cg) au point d"abscisse (-3), c"est donc le coefficient directeur deGraphiquement, on a donc : g"(-3) = -2
+1 = -2 EXERCICE TYPE 3 Déterminer par le calcul une équation d"une tangenteOn considère la fonction h : x
x3 - 9x + 2 et on note (Ch) sa courbe représentative. On admet dans cet exercice que h"(2) = 3. ( voir fiche " Calculer une dérivée » ) a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (Ch) au point A d"abscisse 2. b. Tracer la tangente T dans le graphique donné ci-dessous avec la courbe (Ch).Solution
Donc une équation de la droite T peut s"écrire sous la forme : y = 3x + b (*) où b est l"ordonnée à l"origine. on sait que la tangente T passe par le point A.Déterminons les coordonnées du point A :
Comme h(2) = 2
3 - 9×2 + 2 = 8 - 18 + 2 = -8, le point A a pour coordonnées (2 ; -8).
Avec l"équation (*), on peut écrire que : -8 = 3×2 + b Û -8 = 6 + b Û -8 - 6 = b Û -14 = b
b. + 1 ---- 2 2 ----8 T Ch A ----14 +3 +1 III. Position d"une tangente par rapport à une courbeComprendre la consigne
Déterminer graphiquement la position d"une courbe par rapport à sa tangente en un point d"abscisse a
revient à déterminer si, juste autour du point d"abscisse a la courbe est au-dessous de sa tangente. la courbe est au-dessus de sa tangente. la courbe traverse sa tangente.Exemples
On a représenté ci-dessous la courbe (Cf) représentative d"une fonction f et on a tracé les tangentes T
-2, T -1 et T0 à cette courbe aux points d"abscisses (-2), (-1) et 0.Graphiquement, on peut observer que :
✔ Au point d"abscisse (-2), la courbe est au-dessous de la tangente ; ✔ Au point d"abscisse 0, la courbe est au-dessus de la tangente ; ✔ Au point d"abscisse (-1), la courbe traverse la tangente. · si x < -1, la courbe est au-dessous de sa tangente · si x > -1 et la courbe est au-dessus de as tangente.Interprétation
La position relative de la courbe par rapport à une tangente donne des informations sur la vitesse
d"évolution du phénomène observé... Par exemple, dans le cas où une fonction est croissante plus vite. moins vite.