12 mai 2018 · Cours MPSI 2017/2018 Les Séries Nature d'une série : 1 La nature d'une série numérique est le fait qu'elle converge ou diverge 2 Etudier
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[PDF] SÉRIES - Christophe Bertault
Officiellement, cette règle est hors programme en MPSI, mais vous l'étudierez en deuxième année Par exemple, la suite 3nn2 n∈ n'est pas géométrique, mais
[PDF] Les séries numériques — - Pascal Delahaye - Free
12 mai 2018 · Cours MPSI 2017/2018 Les Séries Nature d'une série : 1 La nature d'une série numérique est le fait qu'elle converge ou diverge 2 Etudier
[PDF] Chapitre 2 :Séries numériques
Chapitre 2 : Séries numériques Suites et L'ensemble des séries à termes dans K est muni d'une structure d'espace vectoriel u la somme d'une série convergente ∑ ≥ 0 nn n u Théorème (sommation par paquet œ hors programme) :
[PDF] Chapitre 18 Séries numériques - Alain Camanes
La suite (sp)p∈N est la suite des sommes partielles de la série ∑un Exercice 1 Donner des exemples de séries et préciser leur comportement limite Définition 2
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Exercice 14 Etudier la nature des séries de terme général et calculer leur somme : 1 ( ) 2
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Exercice 1 En examinant la limite du terme général, montrer que les séries suivantes divergent ∑ sin(n) ; ∑(1
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Le produit de Cauchy de deux séries convergentes n'est pas nécessairement une série convergente Exercice 5 Analyser la convergence du produit de Cauchy
[PDF] Séries numériques - Maths-francefr
Exercice 1 Montrer la convergence et déterminer la somme de la série de terme général un dans les deux cas suivants : 1) pour tout n ∈ N∗
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sommes partielles est appelée la somme de la série : on note +∞ ∑ n=0 Soit ∑ un, ∑ vn deux séries numériques et λ ∈ R un réel Résumé de Cours
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On dira que la série ∑ un est : • convergente (CV) si limn→∞ Sn existe, et on note alors ∑n≥0 un cette limite, • divergente (DIV) sinon, • absolument
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Les s´eries num´eriques
Prytan´ee National Militaire
Pascal Delahaye
12 mai 2018
Voir la vid´eo de Micka¨el Launay sur YouTubeL"objet de ce chapitre est la d´efinition et l"´etude de la convergence de s´eries num´eriques.
Dans tout ce chapitre, (un) repr´esente une suite num´erique `a valeurs r´eelles ou complexes.
1 Convergence d"une s´erie num´erique
D´efinition 1 :
On appellesuite des sommes partiellesde la suite (un)n?Nla suite (sn)n?Nde terme g´en´eral :sn=n?k=0u
k la suite (sn) est plus simplement not´ee?u net on parle alors de la "s´erie?u n". On dira queunest leterme g´en´eralde la s´erie?u n.Remarque1.La s´erie?u
npeut aussi ˆetre not´ee? n≥0u nou? n?Nu nou? n≥n0u nsiunn"est d´efini qu"`a partir den0.D´efinition 2 :Lorsque la s´erie?u
nconverge vers une limites, on note : lasommede la s´erie?u nlereste d"ordrende la s´erie?u n s=+∞?k=0u nrn=s-sn=+∞? k=n+1u ko`urn→0 1 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/Remarque2.Attention!!
1. Les notations
k=0u net+∞? k=n+1u nn"ont de sens que si l"on a prouv´e la convergence de la s´erie!2. La notation
?u nrepr´esente la s´erie que celle-ci converge ou pas.3. Il faudra en particulier ne pas confondre les notations
k=0u net? n?Nu n. Exemple 1.(?) Dans quel cas une s´erie de terme g´en´eralunconstant converge-t-elle? Exemple 2.(?) La s´erie de terme g´en´eralun=12nconverge t-elle? Si oui, d´eterminer sa somme.
L"essentiel de ce chapitre est consacr´e `a l"´etude de la nature d"une s´erie!!Remarque3.Nature d"une s´erie :
1. Lanatured"une s´erie num´erique est le fait qu"elle converge ou diverge.
2. Etudier la nature d"une s´erie num´erique consiste `a ´etudier la convergence de la suite (sn).
3. La nature d"une s´erie ne d´epend pas de ses premiers termes.
4. On dira que deux s´eries sontde mˆeme naturelorsqu"elles sont toutes les deux convergentes ou toutes les deux
divergentes. M´ethode 1: Etude de la nature d"une s´erie. On pourra simplement ´etudier la convergence de la suite (sn) des sommes partielles.Remarque4.Mˆeme si cette premi`ere m´ethode peut s"av´ererint´eressante, nous allons voir dans ce chapitre des m´ethodes
plus effficaces portant simplement sur l"´etude du terme g´en´eralunde la s´erie?un´etudi´ee.
Th´eor`eme 1 :Caract´erisation de la propri´et´e "sont de mˆeme nature"Soit deux s´eries?unet?vn.
On a :
?unet?vnsont de mˆeme nature??(?unconverge???vnconverge)Preuve 1 :Imm´ediat.
Exemple 3.(?) Soit (un) et (vn) deux suites telles queun=vn+αnavec?αnqui converge.Montrer que?unet?vnsont de mˆeme nature.
Proposition 2 :Caract´erisation de la convergence d"une suite complexeSoit (zn)?CN. Nous avons alors :
z nconverge??? ?Re(zn)?Im(zn)convergenteten cas de convergence : +∞?k=0z n=+∞?k=0Re(zn) +i+∞?k=0Im(zn)Nous allons voir dans ce chapitre des m´ethodes permettant d"´etudier la nature d"une s´erie?u
nen nous int´eressantuniquement `a son terme g´en´eralunet donc sans avoir a ´etudier l"expression des sommes partielles qui souvent est
complexe et incalculable. 2 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/1.1 L"exemple des s´eries g´eom´etriques
Th´eor`eme 3 :Soitq?C.
qnconverge?? |q|<1 et dans ce cas :s=+∞?k=0x k=1 1-q.Preuve 3 :Aucune difficult´e!
Exemple 4.(?) Justifier la convergence et calculer la somme des s´eries :? k≥10(⎷2)-ket?
k≥1(eπ)k.Exercice : 1
(?) Lorsque la s´erie?qnconverge, calculer la valeur de son restern.Exercice : 2
(?) Prouver que les s´eries?cosn2net?sinn2nconvergent et d´eterminer leur somme.1.2 Condition n´ecessaire de convergence
Th´eor`eme 4 :Pour qu"une s´erie?u
nconverge, il faut n´ecessairement queun?→0.Preuve 4 :Il suffit de remarquer queun=sn-sn-1.
Remarque5.Lorsqu"une s´eriene v´erifie pas cette condition n´ecessairede convergence,on dit qu"ellediverge grossi`erement.
Exemple 5.(?) Quelle est la nature des s´eries suivantes :?n1 +net?(1 +1n)n?
Remarque6.
Cette condition n´ecessaire (CN) n"est pas suffisante. Consid´erer pour cela la s´erie? n≥11n.Exercice : 3
(?) Justifier de deux fa¸cons diff´erentes que la s´erie?(-1)ndiverge.1.3 Lien entre convergence d"une suite et d"une s´erie t´elescopique
Th´eor`eme 5 :Soit (un) une suite r´eelle.
Alors :
(un) et?(un+1-un) sont de mˆeme nature Preuve 5 :Pas de difficult´e en calculant la somme partielle de?(un+1-un). Exemple 6.(?) Justifier la convergence de la s´erie?1 n(n+ 1).1.4 Lin´earit´e de la somme
Th´eor`eme 6 :Si?u
net?u?nconvergent respectivement verssets?alors :1. la s´erie
?(un+u?n) converge verss+s?2. la s´erie
?λu nconverge versλ.s(o`uλ?C)On peut r´esumer ces propri´et´es en disant que l"ensemble des s´eries convergentes est unK-ev.
3 Cours MPSI 2017/2018 Les S´eries Num´eriques http://pascal.delahaye1.free.fr/Preuve 6 :Pas de difficult´e en appliquant les th´eor`emes g´en´eraux sur les limites de suites.
Remarque7.
Attention :
1. Mˆeme si les s´eries?unet?vnconvergent verssets?, il est faux de dire que?un.vnconverges.s?!!
2. Ce n"est pas parce que
?(un+u?n) converge que les s´eries? ?un?u?nconvergent.Trouvez des contre-exemples!
Exemple 7.(?)
1. Que dire de :
la somme de deux s´eries divergentes?
Et de la somme d"une s´erie divergente avec une s´erie convergente?2. Change-t-on la nature d"une s´erie lorsqu"on ajoute `a son terme g´en´eral le terme g´en´eral d"une s´erie convergente?
Nous allons dans la suite du chapitre exclusivement nous int´eresser `a 2 types de s´eries :1. Les s´eries `a termes positifs
2. Les s´eries absolument convergentes
Remarque8.L"´etude des s´eries `a terme g´en´eralunde signe non constant sera approfondi et 2-`eme ann´ee.
2 S´eries `a termes positifs
Dans cette section, toutes les s´eries seront `a termes REELS positifs `a partir d"un certain rang.
On rappelle que les premi`eres valeurs deunn"influencent pas la nature de?un.2.1 Les th´eor`emes de convergence
D´efinition 3 :On dit qu"une s´erie?u
nest `a termes positifs si?n?N, un≥0.Remarque9.La s´erie est `a termes positifs `a partir d"un certain rang si :?N?Ntel que?n≥N, un≥0.
Th´eor`eme 7 :Caract´erisation de la convergence Soit ?u nune s´erie `a termes positifs (`a partir d"un certain rang) et (sn) la suite des sommes par- tielles.