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SériesDans ce chapitre nous allons nous intéresser à des sommes ayant une infinité de termes. Par exemple que peut bien
valoir la somme infinie suivante : 1+12 +14 +18 +116+=?2 11 21
4
Cette question a été popularisée sous le nom duparadoxe de Zénon. On tire une flèche à2mètres d"une cible. Elle
met un certain laps de temps pour parcourir la moitié de la distance, à savoir un mètre. Puis il lui faut encore du
temps pour parcourir la moitié de la distance restante, et de nouveau un certain temps pour la moitié de la distance
encore restante. On ajoute ainsi une infinité de durées non nulles, et Zénon en conclut que la flèche n"atteint jamais
sa cible! Zénon ne concevait pas qu"une infinité de distances finies puisse être parcourue en un temps fini. Et pourtant
nous allons voir dans ce chapitre que la somme d"une infinité de termes peut être une valeur finie.
1. Définitions - Série géométrique
1.1. DéfinitionsDéfinition 1.
Soit(uk)k>0une suite de nombres réels (ou de nombres complexes). On pose S n=u0+u1+u2++un=n X k=0u k. La suite(Sn)n>0s"appelle lasériede terme généraluk.Cette série est notée par la somme infinieX
k>0u k. La suite(Sn)s"appelle aussi lasuite des sommes partielles.Exemple 1.Fixonsq2C. Définissons la suite(uk)k>0paruk=qk; c"est une suite géométrique. Lasérie géométriqueX
k>0q kest la suite des sommes partielles : S0=1S1=1+q S2=1+q+q2...Sn=1+q+q2++qn...Définition 2.
SÉRIES1. DÉFINITIONS- SÉRIE GÉOMÉTRIQUE2Si la suite(Sn)n>0admet une limite finie dansR(ou dansC), on note
S=+1X k=0u k=limn!+1Sn.On appelle alorsS=P+1 k=0uklasommede la sérieP k>0uk, et on dit que la série estconvergente. Sinon, on ditqu"elle estdivergente.Notations.On peut noter une série de différentes façons, et bien sûr avec différents symboles pour l"indice :
+1X i=0u iX n2Nu nP k>0ukX u k. Pour notre part, on fera la distinction entre une série quelconque X k>0u k , et on réservera la notation +1X k=0u kà une série
convergente ou à sa somme.1.2. Série géométriqueProposition 1.
Soit q2C. La série géométriqueP
k>0qkest convergente si et seulement sijqj<1. On a alors+1X k=0q S n=1+q+q2+q3++qn. Écartons tout de suite le casq=1, pour lequelSn=n+1. Dans ce casSn!+1, et la série diverge.Soitq6=1 et multiplionsSnpar 1q:
(1q)Sn= (1+q+q2+q3++qn)(q+q2+q3++qn+1) =1qn+1 DoncS n=1qn+11qSijqj<1, alorsqn!0, doncqn+1!0 et ainsiSn!11q. Dans ce cas la sérieP k>0qkconverge.Sijqj>1, alors la suite(qn)n"a pas de limite finie (elle peut tendre vers+1, par exemple siq=2; ou bien être
divergente, par exemple siq=1). Donc sijqj>1,(Sn)n"a pas de limite finie, donc la sérieP k>0qkdiverge.Exemple 2.1.Série géométrique de raisonq=12:
+1X k=012 k =1112=2. Cela résout le paradoxe de Zénon : la flèche arrive bien jusqu"au mur! 2. Série géométrique de raisonq=13, avec premier terme133. On se ramène à la série géométrique commençant à
k=0en ajoutant et retranchant les premiers termes : +1X k=313 k +1X k=013 k 11313
2=1113
139=32
139=118.
3.Le fait de calculer la somme d"une série à partir dek=0est purement conventionnel. On peut toujours effectuer
un changement d"indice pour se ramener à une somme à partir de0. Une autre façon pour calculer la même série
+1X k=313 kque précédemment est de faire le changement d"indicen=k3 (et donck=n+3) : +1X k=313 k=+1X n=013 n+3=+1X n=013 313n=13 3+1X n=013 n=127 1113
=118 4. +1X 2k =+1X 14 k =1114 =45 SÉRIES1. DÉFINITIONS- SÉRIE GÉOMÉTRIQUE3
1.3. Séries convergentesLa convergence d"une série ne dépend pas de ses premiers termes : changer un nombre fini de termes d"une série
ne change pas sa nature, convergente ou divergente. Par contre, si elle est convergente, sa somme est évidemment
modifiée.Une façon pratique d"étudier la convergence d"une série est d"étudier son reste : lereste d"ordrend"une série
convergenteP+1 k=0ukest : R n=un+1+un+2+=+1X k=n+1u kProposition 2. Si une série est convergente, alors S=Sn+Rn(pour tout n>0) etlimn!+1Rn=0.Démonstration. •S=P+1 k=0uk=Pn k=0uk+P+1 k=n+1uk=Sn+Rn. DoncRn=SSn!SS=0 lorsquen!+1.1.4. Suites et sériesIl n"y a pas de différence entre l"étude des suites et des séries. On passe de l"une à l"autre très facilement.
Tout d"abord rappelons qu"à une sérieP
k>0uk, on associe la somme partielleSn=Pn k=0uket que par définition la série est convergente si la suite(Sn)n>0converge.Réciproquement si on veut étudier une suite(ak)k>0on peut utiliser le résultat suivant :Proposition 3.
Unesomme télescopiqueest une série de la formeX k>0(ak+1ak). Cette série est convergente si et seulement si`:=limk!+1akexiste et dans ce cas on a : +1X k=0(ak+1ak) =`a0.Démonstration. S n=n X k=0(ak+1ak) = (a1a0)+(a2a1)+(a3a2)++(an+1an) =a0+a1a1+a2a2++anan+an+1 =an+1a0Voici un exemple très important pour la suite.Exemple 3.
La série
+1X k=01(k+1)(k+2)=112+123+134+est convergente et a la valeur1. En effet, elle peut être écrite comme somme télescopique, et plus précisément la
somme partielle vérifie : S n=n X k=01(k+1)(k+2)=n X1k+11k+2
=11n+2!1 lorsquen!+1 Par changement d"indice, on a aussi que les sériesP+1 k=11k(k+1)etP+1 k=21k(k1)sont convergentes et de même somme1. SÉRIES1. DÉFINITIONS- SÉRIE GÉOMÉTRIQUE41.5. Le terme d"une série convergente tend vers0Théorème 1.
Si la sérieP
k>0ukconverge, alors la suite des termes généraux(uk)k>0tend vers0.Le point clé est que l"on retrouve le terme général à partir des sommes partielles par la formule
u n=SnSn1.Démonstration.Pour toutn>0, posonsSn=Pn
k=0uk. Pour toutn>1,un=SnSn1. SiP k>0ukconverge, la suite(Sn)n>0converge vers la sommeSde la série. Il en est de même de la suite(Sn1)n>1. Par linéarité de la limite, la
suite(un)tend versSS=0.La contraposée de ce résultat est souvent utilisée : Une série dont le terme général ne tend pas vers 0 ne peut pas converger.Par exemple les séries
P k>1(1+1k )etP k>1k2sont divergentes. Plus intéressant, la sériePukde terme général u k=1 sik=2`pour un certain`>00 sinon
diverge. En effet, même si les termes valant 1 sont très rares, il y en a quand même une infinité!
1.6. LinéaritéProposition 4.
SoientP+1
k=0aketP+1 k=0bkdeux séries convergentes de sommes respectivesAetB, et soient,2R(ouC). Alors la sérieP+1 k=0(ak+bk)est convergente et de sommeA+B. On a donc +1X k=0(ak+bk) =+1X k=0a k++1X k=0b k.Démonstration.A n =Pn k=0ak!A2C,Bn=Pn k=0bk!B2C. DoncPn k=0(ak+bk) =Pn k=0ak+Pn k=0bk=An+Bn!A+B.Par exemple :
+1X 12 k+53 k =+1X k=012 k+5+1X k=013 k=1112 +51113=2+532 =192
Comme application pour les séries à termes complexes, la convergence équivaut à celle des parties réelle et imaginaire :Proposition 5.
Soit(uk)k>0une suite de nombres complexes. Pour toutk, notonsuk=ak+ibk, avecakla partie réelle deuketbkla
partie imaginaire. La sériePukconverge si et seulement si les deux sériesPaketPbkconvergent. Si c"est le cas, on
a : +1X k=0u k=+1X k=0a k+i+1X k=0b k.Exemple 4. Considérons par exemple la série géométriqueP k>0rk, oùr=eiest un complexe de module <1et d"argument Comme le module derest strictement inférieur à 1, alors la série converge et +1X k=0r k=11r. SÉRIES1. DÉFINITIONS- SÉRIE GÉOMÉTRIQUE5 D"autre part,rk=keikpar la formule de Moivre. Les parties réelle et imaginaire derksont a k=kcos(k)etbk=ksin(k). On déduit de la proposition précédente que : +1X k=0a k=Re +1X k=0r k et+1X k=0b k=Im +1X k=0r kLe calcul donne :
+1X k=0 kcos(k) =1cos1+22coset+1X k=0 ksin(k) =sin1+22cos.1.7. Sommes de sériesPour l"instant, il n"y a pas beaucoup de séries dont vous connaissez la somme, à part les séries géométriques. Il faudra
attendre d"autres chapitres et d"autres techniques pour calculer des sommes de séries. Dans ce chapitre on s"intéressera
essentiellement à savoir si une série converge ou diverge.