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Puissances, Racines

Exponentielles et Logarithmes

Stand/Renf

Jean-Philippe Javet

http://www.javmath.ch

Table des matières

1 Puissances et Racines 1

1.1 Les puissances entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

1.1.1 Puissances à exposants entiers naturels . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1

1.1.2 Puissances à exposants entiers relatifs . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2

1.1.3 La notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4

1.2 Les racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

1.2.1 La définition d"une racine... mal définie? . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8

1.2.2 Des bons réflexes qui sauvent la ... fin des calculs . . . . .. . . . . . . . . . 9

1.3 Puissances à exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11

1.4 Puissances à exposants réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14

2 Fonctions et équations exponentielles 15

2.1 Deux exemples en introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15

2.2 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 16

2.3 Équations exponentielles (Début) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 18

2.4 Une première application des fcts exponentielles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Le nombre d"Euler : e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21

3 Logarithmes 25

3.1 Logarithme en base 10 (ou logarithme décimal) . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25

3.2 Logarithme en basea(a>0 eta1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Logarithme en base e (ou logarithme naturel) : . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 27

3.4 Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 28

3.5 Formule du changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 36

3.6 Un petit retour aux équations exponentielles . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37

4 Quelques applications concrètes 39

4.1 Applications concrètes des exp et des log . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39

A Bibliographie 45

I II

A Quelques éléments de solutions I

A.1 Les Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . I A.2 Fonctions et équations exponentielles . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . V A.3 Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . VI A.4 Quelques applications concrètes des exp et log. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . IX

Malgré le soin apporté lors de sa conception, le polycopié que vous avez entre les mains contient certainement

quelques erreurs et coquilles. Merci de participer à son amélioration en m"envoyant un mail : javmath.ch@gmail.com

Merci;-)

Puissances et Racines

1.1 Les puissances entières

1.1.1 Puissances à exposants entiers naturels

Définition:SoitaP?etnP?°. On appellepuissancen-ième deaouaà la puissancen, le produit denfacteurs dea. En d"autres termes : a n"a¨a¨...¨aloooooomoooooon nfacteurs Le nombreas"appellela basede la puissance et le nombrens"ap- pellel"exposantde la puissance.

Exemple 1:Calculer les expressions :

a)54"b) ´1 2 3 b)pamqn"am¨n

p42q3"4...

c)pa¨bqn"an¨bn

34¨24"...4

d) ´a b¯ n"anbn, sib023 3 e) am an"$""&""%a m´n, simąn

1 , sim"n

1 an´m, simăn

3734"...

37"...

2 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES

Exercice 1.1:Calculer sans machine :

a)p22q3b)2p23qc)p23q2 d)23´32e)32`34f)103`102 g) 1 3 4 h)

´25

3 i)

´52

4 j)

24k)`?56l)

´1?3

Question:23"8... Mais que pourrait valoir 2´3?

1.1.2 Puissances à exposants entiers relatifs

Définition:Nous allons étendre la notion de puissances à exposants entiers positifs non nuls (i.e.nP ?°) aux puissances à exposants entiers (i.e.nP ?), de façon à conserver les propriétés déjà mentionnées : a m¨an"am`n (avecaP?°)

sim"0

0¨an"a0`n

0¨an"an

a 0"1

Ainsi :a0"1

sim" ´n

´n¨an"a´n`n

´n¨an"a0

´n¨an"1

´n"1

Ainsi :a´n"1

an "Remarquons que sia"0 , l"expression 00"1.

Exemple 2: a)4´3"

b) ´2 5 ´3

Nouvelles propriétés:À la liste des propriétés précédentes, on peut alors compléter :

e) am an"am´n5759"5... f) ´a b¯

´n"ba

n23 ´2 2

CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES 3

Exercice 1.2:Calculer sans machine :

d)a´3¨a4e)2´3

32f)12

´2 Exemple 3:Compléter les écritures des expressions : a)2´3¨24"1

2...b)p2´3q´4"4...c)254´3"2...

9´2

Exercice 1.3:Compléter les écritures des expressions suivantes : a)a3¨a4¨a5"a...b)pa3q4"1 a... c) a4 a5"a...d)3n¨32"3... e)5n`1¨5n´1"5...f)4n`3

44"14

g) an`1 a"a...h)pa3¨b4q2"a...b... i)

26¨49´1

k)a´4¨an`3"a...l)212¨7´3

63´2¨34"7...3...

m)a´3 a´4 2 "a...n)a3a4 ´2 "a...

4 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES

1.1.3 La notation scientifique

Définition:Écrire un nombre réelxennotation scientifiquesignifie écrire ce nombre sous la forme : La notation scientifique a pour principal intérêt de simplifier l"écri- ture des calculs. Elle permet également d"estimer une réponse finale sans l"utilisation obligatoire d"une calculatrice. Exemple 4:Écrire les nombres ci-dessous en notation scientifique : a)Distance Terre - Lune :

384404000 m =

b)Masse d"un atome d"hydrogène :0,000"000"000"000"000"000"000"001"7 g = Le saviez-vous?:On désigne souvent les puissances de 10 avec un préfixe précédent les unités de mesure. Par exemple, on parle dekilomètres pour ex- primer 10

3mètres ou degigaoctets pour désigner 109octets.

Constatant qu"il n"existait aucun terme pour désigner10100, le ma- thématicien américain Edward Kasner (aux environs de 1938)créa le néologismegoogol. Kasner prétend que l"invention de ce mot est due à son neveu qui avait alors 9 ans. On peut néanmoins souligner que rien n"est, pour nous, égal au googol 1

"le nombre de cheveux estimé sur toutes les têtes de la popu-lation mondiale est d"environ :ŹEstimation :p1,25¨105q ¨ p7,15¨109q "............

ŹCalculatrice :p1,25¨105q ¨ p7,15¨109q "............ "le nombre de grains de sable dans le Sahara est estimé à :

8 millions de km

2 milliards de grains au m

2* Exercice 1.4:"Modern Times Forever", le plus long film jamais tourné est une production danoise datant de 2011 qui dure 240 heures. En supposant que la vitesse du film est de 24 images par seconde, calculer le nombre total d"images dans ce film. a)Estimer de tête la réponse. b)La calculer à l"aide de votre calculatrice.

1. Ce mot est repris plus tard par les fondateurs de Google pour nommer leur entreprise.

CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES 5

Exercice 1.5:

La Voie lactée, notre galaxie, ressemble à un disque. Elle est consti- tuée d"environ deux cents milliards d"étoiles, dont la plupart sont semblables au Soleil. Toutes ces étoiles tournent autour del"axe de rotation du disque. Le soleil se situe à2,5¨1017km du centre ga- lactique. Depuis sa naissance, il y a4,57milliards d"années, il a effectué une vingtaine de tours. La vitesse de révolution du Soleil autour de l"axe de la Voie lactée est-elle supérieure ou inférieure à celle d"un bolide de formule 1? Une estimation de tête peut suffire pour répondre à la question.

1.2 Les racines

Exercice 1.6:Vérifier avec la calculatrice ces étranges égalités : a)a

4`?12"1`?3

b)2a

2´?3"?6´?2

Comment pourrait-on les justifiersans calculatrice?

Définition:SoitaP?`etnP

?°. On appelleracinen-ième dea, notén?a, l"unique nombrerpositif tel quern"a. En d"autres termes : r"n? aðñrn"aetrě0 Le nombreas"appellele radicande, le nombrens"appellel"indice et n? s"appellele radical. a)Dans le cas oùn"1, on a1? a"a. b)Dans le cas oùn"2, la racine 2-ième s"appelleracine carrée et se note? au lieu de2?. c)Dans le cas oùn"3, la racine 3-ième s"appelleracine cu- bique. Exemple 5:a)1?7"...car ........................... b) 4?

81"...car ...........................

Question:Que peut valoir3?´8 ou plus généralement qu"en est-il den?asia est négatif? Il s"agit alors d"étendre la définition pour desvaleurs deaă0 : Définition:"Siaă0 etnest unentier impair, on définit la racinen-ième par : r"n? aðñrn"a "siaă0 etnest unentier pair, la racinen-ième dean"est pas définie.

6 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES

Exemple 6:a)3?´8" ´2 carp´2q3" ´8

b) 4? ´16 n"est pas définie dans l"ensemble des nombres réels2.

Exercice 1.7:Calculer sans machine :

0b)?625c)?0,04

d)a

0,0009e)a0,0016f)a0,000004

g) 3?

1000h)4?´625i)3?343

j) 5?

´32k)3?216l)4?2401

m) 3?

´64n)3a0,027o)3?729

p) 3a

0,001q)3a0,512r)3a´0,125

Propriétés:Soitaetbdeux nombres réelsą0;m,netqdes entiersą0;pun entier quelconque. On a a)pn? aqn"a`?52" b) n? an"a3?53" c) n? a¨b"n?a¨n?b3?3¨3?9" d) nc a b"n? a n?b,oùb0c7 4" e)pn? aqp"n?ap`3?52" f) ma n?a"m¨n?aa3?5" g) n¨q? an¨p"q?ap6?34"

2. En fait, dans le courant duxviesiècle, plusieurs mathématiciens ont eu la nécessité de donner un sens et une

réponse à ce type de calcul. Ils ont alors introduit un ensemble plus grand que l"ensemble ?contenant les racines carrées de nombres négatifs. Il s"agit de l"ensemble ?des nombres complexes.

CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES 7

Exercice 1.8:Simplifier les expressions suivantes : a) a ?3b)3?512c)4?27¨4?3 d) 5a a33?ae)4?84?2f)3c1 33c
1 9 g)?

12?3h)3?23?4i)8?818?278?3

j) 6?

1256?256?5k)?22l)?26

m) 10?

25n)24?38o)24?47

p) a?16q)7a?77r)3a?36 Exercice 1.9:Sachant que?27"5,19 et?270"16,43, calculer : a)

2700b)?27000c)?270000

d)a

0,27e)a0,027f)a0,00027

Exercice 1.10:Sachant que3?27"3,3?270"6,46 et3?2700"13,92, calculer : a) 3a

27000b)3?270000c)3?2700000

d)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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