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Exponentielleetlogarithme

Terminale S

Courbes représentatives

-1 -2 -31 234

1 2 3 4 5-1-2-3-4-50

y= ln(x) e y= exp(x)? ?e

Fonction exponentielle

f(x) = exp(x) =ex définie surR

à valeurs dans]0; +∞[

e 0= 1 e

1=e≈2,718

(ex)?=ex (eu)?=u?eu lim x→-∞ex= 0+ lim x→+∞ex= +∞

Fonction logarithme

f(x) = ln(x) définie sur]0; +∞[

à valeurs dansR

ln(1) = 0 ln(e) = 1 (ln(x))?=1 x (ln(u))?=u? u lim x→0+ln(x) =-∞ lim x→+∞ln(x) = +∞

Propriétés des exponentielles

a,betnsont des réels : ?Produit : ea×eb=ea+b ?Inverse :1 ea=e-a ?Quotient :ea eb=ea-b ?Puissance :(ea)n=ean ?Racine carrée : e1

2=⎷e

Propriétés des logarithmes

aetbsont des réels strictement positifs,nest un réel : ?Produit :ln(ab) = ln(a) + ln(b) ?Inverse :ln?1 a? =-ln(a) ?Quotient :ln?a b? = ln(a)-ln(b) ?Puissance :ln(an) =nln(a) ?Racine carrée :ln(⎷ a) =12ln(a)

Lien exponentielleet logarithme

La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes

représentatives sont symétriques par rapport à la premièrebissectrice (y=x) ?ln(expx) =xln(ex) =x ?exp(lnx) =xeln(x)=x ?expx=y??x= ln(y)ex=y??x= ln(y) ?xy= exp(yln(x))xy=eyln(x) Équations et d"inéquations avec des exponentielles u,vsont des réels,λest un réel strictement positif : ?eu=ev??u=veu=λ??u= ln(λ) ?eu>ev??u > veu> λ??u >ln(λ) Équations et d"inéquations avec des logarithmes u,vsont des réels strictement positifs,λest un réel : ?ln(u) = ln(v)??u=vln(u) =λ??u=eλ ?ln(u)>ln(v)??u > vln(u)> λ??u >eλ Croissance comparée et limites particulières limx→-∞xex= 0 limx→+∞e xx= +∞limx→0e x-1x= 1 limx→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x)x= 0 limx→0ln(1 +x)x= 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47