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lieu d'être qu'en Europe occidentale et en Amérique mais n'a pas vraiment de en 1957) De quoi interpeler leurs homologues occidentaux Ainsi, aux de cours - Exercices » Soit maintenant une association des deux systèmes comme le montre la Probablement l'article fondateur de la représentation d'état linéaire

sités en Europe, Afrique et Amérique du Nord et du Sud, président de l'école de Il est le co-fondateur et directeur scientifique de Gambit Financial Solutions, Il est président honoraire de l'Association Belge des Analystes financiers où l' on procèdera à l'examen de certaines situations typiques en matière de gestion

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Représentations d"état linéaires

des systèmes mono-entrée, mono-sortie Modélisation, analyse et commande :notions de base et un peu plus (Easy Control of an Inverted Pendulum)

Olivier Eugène BACHELIER

Éditions Lily et Aksel

L"auteur en pleine réflexion

Représentations d"état linéairesdes systèmes mono-entrée, mono-sortie

Modélisation, analyse et commande :

notions de base et un peu plus

Version du 23 février 2021

Objet Cet ouvrage d"Automatique, écrit d"abord auLaboratoire d"Informatique et d"Automatique pour lesSystèmes (

LIAS), puis au domicile de l"auteur, est

la version étendue d"un cours s"inscrivant dans le cadre de la deuxième année de" cycle ingénieur »de l"ÉcoleNationaleSupérieure d"Ingénieurs dePoitiers ENSIP) et s"adressant initialement aux étudiants de la spécialitéMaîtrise de l"ÉnergieÉlectrique ( MEE). Ces derniers ont déjà suivi un enseignement relatif à l"étude des systèmes linéaires modélisés par une fonction de transfert (approche fréquentielle). Le cours initial (et donc le présent ouvrage qui s"ensuit) s"intéresse aux mêmes systèmes mais propose une étude via un modèle différent, appelé représentation d"état linéaire (approche temporelle). Cette version étendue vise bien sûr un plus large public. Elle comprend plus de détails, plus d"exemples, d"exercices et de corrections, ainsi que quelques biographies. La bibliographie est plus fournie.

L"ENSIP est une composante de l"

Université de Poitiers.

Le LIAS est un laboratoire de recherche sous tutelle de l"ENSIP et de l"École NationaleSupérieure deMécanique et d"Aérotechnique (

ENSMA).

Connaissances préalables souhaitées :

notions de systèmes linéaires, équations différentielles, fonction de transfert enp(voire enz), analyse et commande des systèmes linéaires par approche fréquentielle, quelques bases d"algèbre linéaire.

À bon lecteur, salut!

Il est temps de battre en brèche le lieu commun selon lequel les mathématiques prouvent. Elles découvrent.

Joshua Chover, mathématicien... et peintre

Beware the savage jaw of????.

Avant-propos

... sous forme de questions avec de vraies fausses réponses et d"obscures considéra- tions. L"approche temporelle de l"Automatique, parfois qualifiéede " moderne », eût pu tout aussi bien devenir l"approche " classique » en lieu et place de l"approche fré- quentielle et de ses fonctions de transfert. Du reste, ce qualificatif de "moderne» n"a lieu d"être qu"en Europe occidentale et en Amérique mais n"apas vraiment de sens, par exemple, dans l"ancien bloc soviétique. Le modèle utilisé pour décrire le com- portement des systèmes à commander, et sur lequel s"appuie l"approche temporelle, est lareprésentation d"état, qui fait l"objet de ce document. Mais elle n"est qu"une

écriture formalisée regroupant des équations différentielles et algébriques, c"est-à-

dire des modèles bien connus depuis quelques siècles. Alorspourquoi l"approche temporelle n"émergea-t-elle pas naturellement comme approche classique dans la communauté scientifique occidentale? Je n"ai pas de réponse certaine à cette question et je ne suis pas historien des sciences (ça ne s"improvise pas comme dirait mon ami PatriceRemaud), mais je me risque ici à une tentative d"explication succincte. La manipulation et l"analyse des équations différentielles, fussent-elles linéaires, ne sont pas toujours aisées. Les premières interrogations sur la nature et les propriétés des solutions d"une équa- tion différentielle remontent à I. Newton

1, G. W. von Leibnitz2et aux frères J.

et J. Bernouilli

3. Quant à l"idée d"en transformer les propriétés par un moyende

1. Philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome britannique (1642 ou 1643-

1727).

2. Gottfried Wilhelm Leibnitz, philosophe, mathématicien, juriste et diplomate allemand

(1646-1716).

3. Jacques (1654-1705) et Jean (1667-1748), mathématiciens et physiciens suisses. Les trois

fils de Jean sont également de célèbres scientifiques. ix commande (dans un contexte évidemment plus physique), ouvrant ainsi la voie du calcul mathématique d"une loi de commande à partir d"un modèle, il semble que la paternité en revienne à J. C. Maxwell

4. Toutefois, " attaquer » ces équations

différentielles par la "face nord» n"est pas toujours très motivant. En revanche, l"uti- lisation de la transformation de Laplace

5(Marquis P. S. de Laplace, un Français)

ou du calcul opérationnel de O. Heaviside

6(un Britannique) sont des alternatives

à cette manipulation directe. Ces alternatives ont aussi l"avantage de conduire à une interprétation fréquentielle dans laquelle les systèmes à commander sont plutôt vus comme des filtres. La variable de Laplacep, difficile à interpréter physiquement dans sa généralité, se rapproche alors deiω,ireprésentant l"unité imaginaire, la grandeurωétant une pulsation (la relation avec la travail de J. Fourier

7, un autre

Français, est évidente). Il s"agit là des bases d"une approche fréquentielle de l"Au- tomatique dont le modèle clef est lafonction de transfertavec laquelle le lecteur gagnera à se sentir un minimum familier avant de poursuivre l"étude de cet ouvrage. Ce point de vue fréquentiel s"appuie donc sur les travaux de savants essentiellement européens, qui plus est, d"Europe occidentale. Il permit plus tard à l"électronique (analogique) de s"affirmer en tant que discipline scientifique à part entière dans les années 1930 avec les travaux précurseurs de H. S. Black, de H.Nyquist, puis dans les années 1940, de H. W. Bode

8. L"effort de guerre nécessaire à cette période, ef-

fort également scientifique, contribua à cette affirmation del"approche fréquentielle en électronique puis en Automatique. Des ingénieurs et chercheurs états-uniens re- prirent les habitudes " fréquentielles » des mathématiciens et physiciens européens. Ainsi, en occident (c"est-à-dire aux États-Unis puis dans le reste de ce qui serait le bloc de l"ouest), cette approche, qui avait alors de vraies visées en Automatique, parut quelque temps comme presque définitive et s"installa dans le monde de l"in- génierie et dans celui qui l"alimente en concepts, à savoir le monde académique de l"enseignement et de la recherche. Cependant, dans une autre partie de l"Europe où l"électronique florissait sans doute un peu moins, le cheminement intellectuel n"avait pas donnélieu à cette approche fréquentielle et la fonction de transfert n"était pas poulaire, voire pas utilisée. Ce n"est pas pour autant que l"on n"y faisait pas d"Automatique. Bien au contraire.

4. James Clerk Maxwell, physicien et mathématicien écossais (1831-1879), célèbre pour les

équations éponymes décrivant de façon unifiée les phénomènes électromagnétiques.

5. voir biographie

2.1page40.

6. voir biographie

2.2page41.

7. Baron Joseph (ou Jean Baptiste Joseph) Fourier, mathématicien et physicien français

(1768-1830).

8. cf. biographies

2.4,2.3, et2.5, page42.

Éditions Lily et Akselx

Simplement, on n"y avait pas abandonné la manipulation directe des équations diffé-

rentielles, même non linéaires, et les théories en vogue y étaient plutôt les méthodes

de A. M. Liapounov

9où les travaux de L. S. Pontryaguine10. Aussi hermétiques que

pussent à première vue paraître ces travaux pour un occidental de l"époque, ils n"em- pêchèrent pas les Soviétiques d"emporter la bataille initiale de la conquête spatiale en étant les premiers à envoyer, avec succès, un satellite dans l"espace (Spoutnik 1 en 1957). De quoi interpeler leurs homologues occidentaux.Ainsi, aux États-Unis, une équipe fut mise sur pied, sous la houlette du mathématicien S. Lefschetz 11, pour étudier le potentiel des approches soviétiques, notamment les méthodes de

Liapounov.

La reconnaissance de l"intérêt de ces approches fut telle que le premier congrès mondial de la fédération internationale d"Automatique (International Federation of Automatic Control (IFAC)) eut lieu, de façon consensuelle, à Moscou, dans un contexte pourtant tendu entre les deux grandes puissances de l"époque. Lors de ce congrès, R. E Kálmán

12, l"un des membres de l"équipe de S. Lefschetz, qui avait

déjà bien avancé dans ses recherches, proposa un formalismematriciel pour écrire

les systèmes d"équations algébro-différentiels linéairespouvant décrire le comporte-

ment de certains systèmes. Il jeta ainsi les bases (et même plus) de la représentation d"état, c"est-à-dire de ce que le lecteur trouvera dans ce document, et dans bien d"autres plus approfondis. Kálmán et ses acolytes (R. E. Bellman et J. E. Bertram

notamment) mirent en évidence les possibilités d"exploiter les propriétés de l"algèbre

linéaire dans un tel contexte et ce fut le renouveau, dans lesannées 1960-1970, de l"approche temporelle, curieusement requalifiée de "moderne». Un avantage certain de ce formalisme est la facilité avec laquelle il s"adapte aux systèmes comprenant plusieurs entrées et plusieurs sorties. Cette adaptation est bien moins évidente avec l"approche fréquentielle. Par ailleurs, l"approche temporelle facilite souvent l"implan- tation numérique des lois de commande. Pour autant, nulle ne fut question, fort logiquement du reste, d"abandonner les fonctions de transfert. Les deux approches sont complémentaires et ce document ne cherche en aucun cas à dénigrer un modèle au profit d"un autre. L"outil le meilleur est souvent celui que l"on maîtrise le mieux.

9. mathématicien et physicien russe (1857-1918) : voir sa biographie en annexe page772.

10. mathématicien soviétique (1908-1988).

11. Solomon Lefschetz, mathématicien russe d"origine turque (1884-1972) : voir biogra-

phie

3.1page76.

12. voir biographie en annexe

I.2page777.

Éditions Lily et Akselxi

On eût pu s"attendre à ce que les deux approches cohabitassent dans les documents didactiques, les cours etc. Selon moi, ce ne fut pas le cas pour ce qui concerne la France. Il semble que l"enseignement de l"Automatique en France, quoique de qua- lité, fut assez lent à intégrer ce retour de l"approche temporelle (cela va beaucoup mieux, je rassure le lecteur). Sans doute l"Automatique est-elle trop liée à l"enseigne- ment en électronique. Encore aujourd"hui, la représentation d"état n"est enseignée qu"une fois les fonctions de transfert assimilées par l"étudiant. Bien des ouvrages ne présentent que l"approche fréquentielle, surtout dès lorsqu"ils ne s"adressent qu"à des étudiants de niveau " Bac+2 » (ou L2). Bien d"autres, écrits à l"attention d"étu- diants plus avancés, consacrent un voire deux chapitres à lareprésentation d"état, contre peut-être six à dix chapitres dédiés à la fonction de transfert. Bien entendu, il existe des exceptions et il est possible de lire des livresentièrement consacrés à la représentation d"état. Toutefois, force est de constater que la fonction de transfert se taille la part du lion. Il est rare de voir un apprentissageéquilibré des deux ap- proches dès le premier niveau d"enseignement. Pour l"avoirtesté en tant qu"élève, je le conseille pourtant. À ce titre, il faut noter l"excellent ouvrage, très original dans sa forme, de Bernard Pradin et Germain Garcia,Modélisation, analyse et com- mande des systèmes linéaires, édité aux Presses universitaires du Mirail (Toulouse), qui me semble être la meilleure exception à l"usage en vigueur. Il s"agit d"un ou- vrage très didactique à l"image de l"enseignement des auteurs (je puis en témoigner). Une explication facile du choix généralement admis de commencer par l"approche fréquentielle, voire de s"y restreindre, pourrait résiderdans la difficulté des notions mathématiques requises. Et pourtant, là encore, on peut s"interroger. La fonction de transfert nécessite quelques connaissances sur le travail de Laplace, Fourier; évo- luer dans le domaine de Laplace, proposer des inteprétations fréquentielles (marges de stabilité, etc.) du comportement d"un système alors que l"on s"intéresse à une réponse temporelle (indicielle, impulsionnelle, etc.) n"est pas si immédiat pour un esprit vierge de toute idée préconçue. Bien entendu, pour manipuler des représenta- tions d"état, il faut être quelque peu familier des équations différentielles, du calcul matriciel et de l"algèbre linaire. Mais finalement, tout cela n"est pas plus difficile que la transformation de Laplace. Là encore, il faut sans doute invoquer la particularité française. En France, l"Automatique est presque systématiquement enseignée selon le modèle typique du monde de l"EEA (Électronique, Électrotechnique, Automa- tique) dont les habitants sont à l"aise avec les concepts fréquentiels. Dans d"autres pays, ce lien est souvent plus ténu. S"appuyer sur les difficultés mathématiques ne me paraît pas une justification raisonnable pour prévilégier l"approche fréquentielle. Du reste, il suffit de regarder le cursus d"un mathématicien pur. Il est fort probable que ce dernier se soit exercé à l"art du calcul matriciel et aux subtilités de l"algèbre

Éditions Lily et Akselxii

linéaire bien avant d"avoir étudié les transformations de Fourier et de Laplace, si même il étudie la seconde. Ces dernières sont en fait introduites à dessein dans certains parcours, premiers cycles, ayant une vocation d"ingénierie (ce que je ne cherche pas à contester). En conséquence, le lecteur intéressé par le document et par l"approche temporelle en général, ne doit pas " s"en faire un monde » et ne doit croireen aucun cas qu"il s"agit d"une étape " avancée » sur la route de l"Automatique.C"est juste un chemin parallèle, ni plus direct, ni plus piégeux. Ce document était à l"origine un recueil de notes de cours quis"est étoffé peu à

peu. Il était destiné à des étudiants de deuxième année de cycle ingénieur à l"

ENSIP (École Nationale Supérieure d"Ingénieurs de Poitiers). Dans leur cursus, l"Automa- tique prend une part importante (je l"écris pendant que c"est encore vrai!). Les programmes de ce cycle sont une illustration de la tendance française à enseigner l"Automatique : l"approche fréquentielle est vue en début de deuxième année, l"ap- proche temporelle dans la suite de l"année, et les méthodes plus avancées et plus spécifiques en troisième et dernière année. Que l"on ne se méprenne pas sur ma pensée, je n"ai rien contre cette façon de procéder. Je note qu"elle fonctionne bien, qu"elle s"est généralisée et je m"y suis en l"occurence adapté pour ces enseignements. Je tiens juste, eu égard aux réflexions ci-avant, à ne pas faire apparaître l"approche temporelle comme une inélucatable " seconde étape ». Je reconnais néanmoins que l"approche temporelle a ma faveur, mais essentiellement pour une affaire de goûts. Une autre question se pose : un fichier électronique en ligne ou un livre? J"ai pesé le pour et le contre du livre. Parmi les inconvénients du livre, il faut contacter un éditeur, se conformer scrupuleusement au format imposé, peut-être se contraindre à utiliser un traitement de texte WYSIWYG d"unecélèbre marque de logiciels (quelle horreur!), se renseigner rigoureusement sur les propriétés intellec- tuelles, se limiter dans le contenu (!!!), éviter les fantaisies... de quoi se décourager. Parmi les avantages, il faut citer une ligne sur mon CV (légersourire), l"enrichisse- ment personnel par le profit des ventes (franche rigolade mais je vais contacter J. K. Rowling pour une éventuelle cosignature) et l" " objet livre» en lui même, parce qu"un livre, ça peut être un bel objet (et là, je dois confesser que je suis attaché à cet aspect mais à l"heure où il convient de prendre en comptedes considérations

écologiques...).

Il convient aussi de mentionner les avantages du fichier électronique. Il a une large

Éditions Lily et Akselxiii

diffusion, permet un retour rapide des lecteurs (c"est important le" feedback »en Automatique), ce qui autorise une évolution plus rapide du document. Le lecteur l"aura compris, je compte sur lui pour me signaler les nombreuses coquilles, petites ou grosses inexactitudes, approximations légères ou grossières, énormités honteuses, etc. qui parsèment ce document fort peu relu. En outre, toutesuggestion est la bien- venue même si aucune garantie n"est donnée qu"elle sera suivie d"effets (ce n"est pas mon seul travail que de faire évoluer ce document)... néanmoins de nombreux ajouts sont déjà en germination. Ce que j"espère, c"est que de nombreux lecteurs trouveront dans ce travail de quoi avancer un peu sur le sentier de l"Automatique. Le lectorat visé consiste en des étudiants, essentiellement de L3 et M1 (Bac+3, Bac+4). Maisun étudiant de M2 (Bac+5) pourra peut-être aussi y trouver son compte. Bien sûr, les élèves ingé- nieurs sont des lecteurs potentiels. Il est peut-être également une autre catégorie de lecteurs qui peut porter un intérêt à ce document : celle des jeunes doctorants,

fraîchement recrutés, sans doute déjà très savants (sans plaisanterie aucune) et dé-

sireux néanmoins d"assoir un peu leur savoir ou de se remémorer quelques notions de base sur l"approche temporelle avant de se lancer dans leurspropres investigations sur le sujet. Enfin, un enseignant nouvellement en charge d"un cours sur le sujet aura éventuellement matière à se faciliter la tâche. Le document dans ses versions allégée et complète est disponible sur la toile à l"adresse Que tout ceci serve l"Automatique! Ou du moins ne le desservepas! Enfin, il est d"usage de remercier ceux sans qui ces quelques pages seraient en- core pires. Je me prête à la coutume avec plaisir. Je remerciebien entendu mes enseignants, mes élèves, mes collègues qui, tous, ont contribué ou contribuent à leur façon au bouillon de culture automaticienne dans lequel je cherche à éviter la noyade. Je suis particulièrement reconnaissant à Bernard Pradin, professeur émé- rite

13à l"INSA de Toulouse(Institut National des Sciences Appliquées) de Toulouse

et Germain Garcia, professeur dans le même institut, mes principaux enseignants d"Automatique, de m"avoir donné le goût de cette discipline. Je demande à Ber- nard de me pardonner quelques emprunts à ces indispensablespolycopiés de notes de cours. Je remercie d"ailleurs tous les auteurs des ouvrages d"Automatique que j"ai pu lire et qui m"ont sans doute influencé. J"exprime également ma gratitude à

13. enfin... plus maintenant mais émérite un jour, émérite toujours.

Éditions Lily et Akselxiv

Guillaume Mercère, maître de conférences habilité à diriger les recherches à l"EN- SIP , qui partageait avec moi cet enseignement de représentation d"état et qui en a aujourd"hui la pleine charge. Il est un collaborateur et amisympathique, énergique et efficace, dont les remarques sont toujours pertinentes. Elles m"ont aidé à amé- liorer le document. Avant lui, Jérôme Bosche, aujourd"hui maître de conférences habilité à diriger les recherches à l" Université de Picardie Jules Verne, avait essuyé les plâtres en participant avec moi à la première mouture de cet enseignement. Il a été le premier relecteur de la version initiale du document. Et ce ne fut pas une mince affaire d"autant plus qu"il devait de surcroît souffrirmon encadrement et ma collaboration dans son activité de recherche. Son célèbre homonyme

14a peint l"en-

fer. J"espère ne pas lui avoir fait subir. Merci à lui de son amitié et de ses précieux amendements au document. Enfin, je remercie ceux qui sont obligés de supporter que mon esprit vagabonde dans unespace d"étataux moments où il devrait être tout dédié à leur bonheur : ma femme Fatiha, ma fille Lily, mon fils Aksel.

À Fatiha, la discrète,

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