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Cours I : SUITES NUMERIQUES

I Quelques rappels

1/ Définition

Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ℕ ou une partie de ℕ dans ℝ qui à chaque

élément

n de ℕ associe un unique élément noté un , appelé terme d'indice n de la suite un.

2/ Comment définir une suite

a/ Définition explicite

Définition : Une suite

un est dite explicite s'il est possible de calculer directement un à partir de n.

On note alors

un= gn avec g une fonction définie sur ℕ (et le plus souvent sur ℝ+ également).

Ex : :

un = 1 n1 ; (%i49) u[n]:=1/(n+1); (%i50) u[5]; (%o50) 1/6 (%i51) makelist([n,u[n]],n,0,5); (%o51) [[0,1],[1,1/2],[2,1/3],[3,1/4],[4,1/5],[5,1/6]] (%i52) wxplot2d([discrete,makelist(n,n,0,10),makelist(u[n],n,0,10)],[style,points]) b/ Suite définie par récurrence Définition : Une suite est définie par récurrence si le terme un1 peut être défini à partir de un : un1=fun avec f une fonction définie le plus souvent sur ℝEx : Soit un tel que un+1 = 0.5 un +2 et u0=1

Lecture graphique de

u1 ; u2... Construire les droites d'équation y=x et y=x2.

Déterminer graphiquement u1, u2, u3.

Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 2

(%i56) f(x):=1.5-0.5*x; (%i54) v[0]:2;v[n]:=f(v[n-1]); (%i58) load(dynamics); (%i63) evolution(f(x),2,10);(%i73) f(x):=2-1.1*x; (%i65) staircase(f(x),2,10);(%i77) f(x):=-1+1.5*x;

3/ Sens de variation d'une suite

Notation : ∃ signifie " il existe » et ∀ " quelque soit »

Définition : - Une suite

un est strictement croissante si :

∃N∈ℕ, tel que ∀ nN, un < un1 - Une suite (un) est strictement décroissante si :

Ex : Etudier le sens de variation des suites :

1.

un définie sur ℕ par un = n² + n 2. undéfinie sur ℕ par un+1 = un , u0=2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 2 4 6 8 10

x(n) n 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.5 1 1.5 2 2.5

x(n+1) x(n) -2 -1 0 1 2 3 4 -2-1 0 1 2 3 4 5 x(n+1) x(n) 0 5 10 15 20 25
30

0 5 10 15 20 25 30 35 40

x(n+1) x(n)

Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 3

II Suites arithmétiques et géométriques (rappels) a. Suite arithmétiques Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique si : " n Î ℕ, un+1 = un + r r est appelé la raison de la suite.

Calcul direct de un : On a alors un = u0 + nr

Somme de termes consécutifs, S :

S= u0 + u1 + ....+ un S = nb de termes

2 termederniertermepremier×+×´Cas particulier : S=1+2+...+ n = n×n1 2

Ex : Montrer que la suite

un définie par un = 2n+1 est arithmétique. Calculer S=u5...u16. b. Suite géométriques Définition : Une suite (un) est une suite géométrique si : q est appelé la raison de la suite.

Calcul direct de un : On a alors un = u0 qn

Somme de termes consécutifs :

S= u0 + u1 + ....+ unS = premier terme

q qtermesnb

×11

cas particulier : 1+q+q²+...+qn = 1-qn1

1-q (q¹1)

Ex : Montrer que la suite (un) définie par un = 2-n/3n-2 est géométrique. Calculer S=u5+...+u16.

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III Limite d'une suite

1/ Notion de limite d'une suite

Définition : Pour une suite numérique (un), il y a 3 types de limites : - (un) converge vers une limite finie L. (un) est dite convergente.un+1 = 2-0,5 un - (un) admet une limite +

∞ ou -∞.(un) est dite divergente. un+1= -1+1,5 un - (un) n'admet pas de limite. (un) est dite divergente.

un1=1-un Propriété : Soit une suite (un) définie par un = f(n). Si f(x) admet une limite L en +¥, alors on dit que la suite (un) admet la limite L en +¥

Ex : Soit un = ln

11 n . Calculer la limite de (un). 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 2 4 6 8 10

x(n n 0 5 10 15 20 25
30
35

0 2 4 6 8 10

x(n) n 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

x (n n

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2/ Application aux suites géométriques

Propriété : Soit une suite géométrique (un) définie par sa raison q (q>0) et son premier terme u0=1,

un = qn. On a alors :

· si q > 1,

+ ¥®nlimqn = +¥ · si q=1, + ¥®nlimqn = 1 · si |q| <1, + ¥®nlimqn = 0

Remarque : On retrouve ces limites en écrivant : qn = e nln(q). Si q>1, ln(q) >0 ...

Ex : Soit un=

n

ae22 définie sur ℕ. Calculer sa limite et déterminer le plus petit entier n tel que un<10-3

3/ Suites croissantes majorées

Propriété 1 : Si une suite (un) est croissante et majorée alors elle converge. Propriété 2 : Si une suite (un) est décroissante et minorée alors elle converge.

Ex : Soit un=1+ +...

n ae 2

1. Démontrer que un est croissante et majorée. Conclure.

III Ordre et comparaison de limites de suites

1/ Compatibilité avec l'ordre.

Théorème : Soit deux suites (un) et (vn) telles que : limn∞un=Let limn∞vn=L' Si à partir d'un certain rang N, on a toujours : un

£ vn alors L £ L'

2/ Théorèmes de comparaison

Théorème 1 : Soit un réel L.

Si à partir d'un certain rang N on a ∣un-L| £ vn et limn∞vn=0alors limn∞un=L

Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 6

Exemple incontournable: Soit (un) telle que : ∣un1-2|£ 1

2 ∣un-2∣ et u0 = 3.

a/ Démontrer par récurrence que ∣un-2∣£ 1

2n

b/ En déduire la limite de un. c/ Trouver p tel que si np alors ∣un-2∣<10-3. Théorème (dit des gendarmes): Soient trois suites (un) (vn) et (wn).

Si à partir d'un certain rang N, on a :

vn

£ un £ wn et limn

®+ ¥vn= limn

®+ ¥wn=L alors limn

®+ ¥un=L

Ex: soit (un) définie sur

ℕ par un=nsinn n21. Etudier la convergence de cette suite. En déduire sa limite.

3/ Suites adjacentes

Définition : Deux suites (un) et (vn) sont dites adjacentes ssi - (un) est croissante - (vn) est décroissante limn∞ vn-un =0. Propriété : Deux suites adjacentes sont convergentes vers une même limite L.

Méthode du Héron pour approximer

2 :

Soit (un) et (vn) définies par :

u0=1, un= 1

2unvn et vn=2

un Démontrer que (un) et (vn) sont adjacentes et conclure.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50