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Suites numériques

I) Modes de génération d'une suite numérique

1) Définitions et notations :

Une suite numérique est une application de Գ dans Թ. ࢔ est le terme de rang ࢔ (ou indice ࢔ ) • On note aussi ሺ࢛ ሻ la suite dont le terme de rang ࢔ est ࢛ • Le premier terme ࢛ de la suite est la valeur initiale de la suite.

Remarque : Une suite ሺݑ

ሻ peut n'être définie qu'à partir d'un rang 1. Dans ce cas, la suite est définie dans Գ et sa valeur initiale est ݑ

Exemple 1 : On définit la suite (ݑ

ሻ par: ݑ

Cette suite est définie sur Գך

ݑ est une application de Գך

Son premier terme est ࢛

= 1 ݑ etc ....

Exemple 2 : On définit la suite (ݑ

ሻ par: ݑ pour les entiers naturels strictement supérieur à 3 Cette suite est définie pour tout ݊൒͵, ݑ est une application de l'ensemble:

Son premier terme est ࢛

= 1 ݑ etc ....

Exemple 3 : On définit la suite (ݑ

ሻ par: ݑ

Cette suite est définie sur Գ

ݑ est une application de Գ vers Թ

Son premier terme est ࢛

= 1 ݑ etc ....

2) Définir une suite par une formule explicite

a) Cas général : On peut calculer directement chacun des termes d'une suite par la donnée d'une formule explicite de en fonction de ࢔

Exemple 1 : On définit la suite

par : ݑ

Alors ݑ

=1 ݑ = -1 ݑ = 1 ݑ = -1

Exemple 2 : On définit la suite

par : ݒ

Alors ݒ

b) Cas particulier : Avec une fonction.

Dans certains cas, il existe une fonction ࢌdéfinie sur [૙Ǣ൅λ[où la suite ࢛

peut s'écrire sous la forme : ࢛

Exemple: On définit la suite ሺݑ

par : ݑ

Il existe une fonction

݂ définie sur [0 ; ൅λ [ tel que ݑ ൌ݂ሺ݊ሻ avec ݂ሺݔሻൌݔ

On a donc :

Ȃ͵݊ ൅ ͳ alors

3) Définir une suite par récurrence

Soit ࢌ une fonction définie sur Թ. On définit une suite en posant pour tout entier naturel ࢔ ࢛

La valeur de ࢛

est donnée. On l'appelle " terme initial ». Remarque : La formule n'est pas explicite, on calcule chaque terme de la suite en fonction du terme précédent

Exemple :

considérons ࢌሺ࢞ሻൌ࢞ െ૜࢞൅૚ , avec ࢛

On peut donc définir une suite en posant

െ͵ൈͳͳ൅ͳൌͺͻ ; etc ... On constate que cette suite, malgré des apparences qui peuvent sembler proches de celles du paragraphe précédent, n'est pas du tout la même. On dira dans ce cas que la suite est donnée par une formule de récurrence

Représentation graphique de la suite

II) Sens de variation d'une suite numérique.

1) Définitions :

Soit ሺ࢛

, une suite numérique. On dit que cette suite est : • croissante si pour tout ࢔ ൒ ࢔ • strictement croissante si pour tout ࢔ ൒ ࢔ • décroissante si pour tout ࢔ ൒࢔ • strictement décroissante si pour tout ࢔൒࢔

Une suite ሺ࢛

, est monotone si elle est croissante ou décroissante Remarque : pour connaître le sens de variation d'une suite, on compare donc deux termes consécutifs de la suite. On doit faire cela pour tous les termes de la suite.

2) Méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite

Selon l'expression de la suite ሺݑ

• Méthode 1 : On calculera l'expression ݑ et on étudiera son signe :

Si, Pour tout entier naturel ࢔ ൒ ࢔

൒૙ alors la suite ࢛est croissante

Si, Pour tout entier naturel ࢔ ൒ ࢔

൑૙ alors la suite ࢛ est décroissante

En Effet ݑ

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