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Probabilites et variables aleatoires

Preparation a l'agregation interne

Frederique Bienven

ue-Duheille frederique.bienvenue@univ-lyon1.fr

1 Probabilite

1.1 Denitions

On se place sur un ensemble

appeleespace de probabiliteou univers.

Unetribusur

est un sous-ensemble de l'ensemble des parties de tel que; 2, est stable par passage au complementaire (i.e. siA2, alorsAc2) et par reunion denombrable (i.e. si (An) est une famille denombrable de parties de telle que pour toutn,An2, alors nAn2). On peut alors verier qu'une tribu est egalement stage par intersection denombrable .

Le plus souvent, si

est denombrable, la tribu utilisee seraP(

Dans le vocabulaire probabiliste,

{ Un element!de est appele uneepreuve { Un sous-ensembleAde qui appartient a est unevenement. { Unevenement elementaireest un singleton de { L'evenement certainest { L'evenement impossibleest l'ensemble vide. { Deux evenements disjoints sont ditsincompatibles. Denition 1.1Unemesure de probabilite(P;)est une fonction denie suret a valeurs dansRveriant les proprietes suivantes :

1. Pour tout evenementAde

,P(A)0. 2.P( ) = 1.

3. Si(An)n1est une famille denombrables de sous-ensembles de

deux a deuxdisjoints, on a P[ n1A n=X nP(An): On deduit la proposition suivante de la denition d'une mesure de probabilite :

Proposition 1.21.P(;) = 0,

2. SiAest un evenement,P(

nA) = 1P(A),

3. SiABsont deux evenements,P(A)P(B),

4. Pour tout evenementA,P(A)1,

5. SiAetBsont deux evenements,P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B).

En toute rigueur,P, en tant que fonction, est une mesure de probabilite. Le terme de probabilite se rapporte a la probabiliteP(A) de l'evenementA. Par abus de langage, on utilisera le mot"probabilite»dans les deux cas. 2 Remarque :Le troisieme point de la denition signie qu'une probabilite est une fonction croissante : c'est une facon de calculer la"taille»des evenements. Pour la suite de ce cours, on se placera sur un espace muni d'une mesure de probabilite P.

1.2 Probabilites discretes

La mesure de probabilitePest ditediscretedes que l'espace est ni ou denombrable ou plus generalement, des qu'il existe un sous-ensemble 0de ni ou denombrable et tel que P(

0) = 1. Une probabilite sur un ensemble denombrable sera toujours discrete.

On se placera dans la suite de ce paragraphe dans le cas ou est ni ou denombrable. Proposition 1.3Une probabilite sur un ensembledenombrableest completement determinee par lesP(f!g)pour tout!2 . En eet, pourA , on a

P(A) =X

!2AP(f!g):

Remarques :

{ Les poids d'une probabilite discretePverientP !2

P(f!g) = 1:

{ Une mesure de probabilite ne permet d'evaluer a priori que la taille de sous-ensembles de

Des exemples

Lancer d'une piece equilibree: on souhaite modeliser le resultat du lancer d'une piece sans tricherie. Pour cela, on choisit

1=fpile;faceg, et donc card

1= 2. L'ensemble des parties de

1comporte quatre elements et on denit la mesure de probabilitePparPfpileg=Pffaceg=

1=2 puisque les deux evenements sont equiprobables (c'est-a-dire de m^eme probabilite).

Remarque :On aurait tres bien pu choisir

1=fpile;face;rouge;vertg, et comme mesure

de probabilitePfpileg=Pffaceg= 1=2 etPfrougeg=Pfvertg= 0, mais tant qu'a faire, on choisit le plus simple...

Lancer dekpieces,k2 : on prend cette fois-ci

k= (

1)k, c'est-a-dire l'ensemble des

k-uplets de pile ou face. On a card k= 2ket cardP( k) = 22k. Les dierentsk-uplets sont tous equiprobables doncP(f!g) = 2k, pour tout!2 k.

Probabilite uniforme discrete: sur un ensembleni

=f!1;:::;!ng, avecn= card( on denit la probabilite uniforme parP(f!ig) = 1=npour toutientre 1 etn. Dans ce cas, tous les!iont la m^eme probabilite de se produire (i.e. sontequiprobables), et pour une partieA de , on a

P(A) =cardAn

=nb cas favorablesnb cas possibles Par exemple, lors du lancer d'un de regulier a six faces, chaque face est obtenue avec la m^eme probabilite 1=6. Remarque :Il ne peut bien s^ur pas y avoir de loi uniforme surN. Exemple de mesure de probabilite surN. On lance un de de facon repetee jusqu'a obtenir un 6, et on note le numero du tirage du premier 6. On a evidemmentP(f1g) = 1=6. 3

On a egalement

P(f2g) =P(au premier tirage, on n'a pas eu de 6; au deuxieme tirage, on a eu un 6) 536
car sur les 36 tirages possibles equiprobables, seuls 5 permettent d'obtenir le premier 6 au deuxieme tirage.

De m^eme, pour toutk2,

P(fkg) =P(k1 echecs puis une reussite) =5k16

k=56 k116 Cela constitue bien une mesure de probabilite discrete surNpuisqueP k1P(k) = 1. Attention :Ne pas confondre cette probabilite avec la probabilite de tirer un 6 exactement parmi leskpremiers lancers. Remarque :On pourrait chercher a ecrire un universUpermettant de decrire l'integralite des resultats des tirages successifs. Le plus simple est de choisirU=f1;:::;6gN. Cet ensemble n'est pas denombrable. Une tribu raisonnable dont on peut le munir est la tribu cylindrique : c'est la tribu qui est"engendree»par tous les evenements de la forme (x1;:::;xn) f0;1gN, avecn2Net (xi)in)2 f0;1gn(on xe lesnpremieres composantes et on laisse les autres libres).

1.3 Probabilite a densite

On se place surRet on notedxl'element d'integration de la mesure de Lebesgue. Soit f:R!Rune fonction positive et d'integrale surRegale a 1. On supposera quefest continue par morceaux. Il est facile de verier que l'on denit une mesure de probabiliteen posant, pour toutIR: (I) =Z R 1

I(x)f(x)dx:

Une telle mesure est dite a densite (par rapport a la mesure de Lebesgue surR). On dit egalement que c'est une probabilite continue.

Des exemples

La mesure uniforme sur l'intervalle [a;b], oua < b: On denit (A) =Z R 1

A\[a;b](x)dxba=Z

A 1 [a;b](x)dxba: La mesure de Gauss surR. On utilise ici la fonction f(x) =1p2exp (xm)222 oum2Ret2R+sont deux parametres xes. Un joli exercice consiste a prouver (au moins dans le casm= 0 et= 1 que l'integrale de la fonctionfsurRest egale a 1. 4

2 Probabilite conditionnelle, independance

Denition 2.1On se donne deux evenementsAetBde

, avecP(B)>0. On denit la probabilite conditionnelle deAsachantB, noteeP(AjB)ouPB(A)par P

B(A) =P(AjB) =P(A\B)=P(B):

Un cas typique ou interviennent des probabilites conditionnelles est les experiences aleatoires obtenues par des tirages successifs de boules dans des urnes (mais il y a bien s^ur d'autres cadres ou elles apparaissent naturellement!) On resout ces question le plus souvent en dressant un arbre de probabilite : les donnees gurant sur les ar^etes de l'arbre ont des probabilites conditionnelles. La probabilite conditionnelle verie les m^emes proprietes qu'une probabilite : on a ainsi P B( ) = 1,PB(;) = 0, siA1etA2sont disjoints,PB(A1[A2) =PB(A1)+PB(A2),PB( nA) =

1PB(A)...

On peut donc enoncer la proposition suivante :

Proposition 2.2SoitBun evenement de probabilite strictement positive. On notePBla pro- babilite conditionnelle sachant l'evenementB. AlorsPBest une probabilite sur , c'est-a-dire que { Pour toutA2 ,PB(A)0. {PB( ) = 1 { SiA1etA2sont incompatibles,PB(A1[A2) =PB(A1) +PB(A2). Les probabilites conditionnelles permettent de decomposer un evenement suivant des sous- ensembles de sur lesquels on ma^trise mieux ce qui se passe. Pour cela, introduisons la notion de systeme complet d'evenements : Denition 2.3Unsysteme complet d'evenementsest une famille denombrable ou nie (Bn)d'evenements deux a deux disjoints et veriant[nBn= Remarque :Plusieurs denitions d'un systeme complet d'evenements cohabitent : suivant l'une d'elle par exemple, un systeme complet d'evenements est une partition de , d'autres denitions imposent que lesBnsoient tous de probabilite strictement positive; on peut aussi ne pas imposer que la reunion desBnsoit egale a , mais plut^ot qu'elle soit de probabilite

1... Le point commun a ces denitions est que lesBnsont en nombre denombrables, deux a

deux disjoints et que leur reunion est"presque» . La denition indiquee ici n'implique en particulier pas que lesBnsoient non vides.

Remarque :Si l'ensemble

est ni, tout systeme complet ne comporte qu'un nombre ni d'evenements non vides. Proposition 2.4 (Formule des probabilites totales)Soit(Bn)un systeme complet d'eve- nements tel que, pour toutn1,P(Bn)>0, etAun evenement quelconque. On a

P(A) =X

nP(A\Bn) =X nP

Bn(A)P(Bn):

5 Remarque :Si par exempleP(B1) = 0, on pourrait poserPB1(A) = 0, ou 1, ou 1/2 pour toutA, cela n'interviendrait pas dans la formule ci-dessus. Neanmoins il est plus pedagogique d'imposer que lesBnsoient tous de probabilite strictement positive, pour que la formule ci- dessus soit rigoureuse. Preuve :Par denition, pour toutn,PBn(A)P(Bn) =P(A\Bn) et les evenementsA\Bnsont deux a deux disjoints car lesBnle sont. On en deduit donc que X nP

Bn(A)P(Bn) =P([n(A\Bn))

=P(A\([nBn)) =P(A): Un probleme courant est de determinerPB(A) a partir dePA(B). La seule donnee dePA(B) n'y sut pas. Il faut par exemple conna^tre aussiP(A) etP(B) : on a alors P

B(A) =PA(B)P(A)=P(B):

Une autre possibilite est de conna^treP(A) etPA(B) ouAest le complementaire deA:

Formule de Bayes:

{ SoientAetBdeux evenements de probabilite strictement positive, veriant egalement

P(A)>0. On verie que

P

B(A) =PA(B)P(A)P

A(B)P(A) +PA(B)P(A):

{ Soient (An) un systeme complet d'evenements tel que, pour toutn,P(An)>0 etBun evenement tel queP(B)>0. On a pour touti: P

B(Ai) =PAi(B)P(Ai)P

nPAn(B)P(An): Preuve :Le denominateur du membre de droite vaut en faitP(B), alors que le numerateur vaut

P(A\B), d'ou le resultat.

Denition 2.5Deux evenementsAetBsont ditsindependantssiP(A\B) =P(A)P(B). On a alorsP(AjB) =P(A)etP(BjA) =P(B)siP(A)>0etP(B)>0. Exercice 11. Montrer qu'un evenement de probabilite nulle est independant de tout eve- nement.

2. Montrer que siAetBsont independants, alors

nAetBle sont.

3. Montrer qu'un evenement de probabilite 1 est independant de tout evenement.

Exemples :

Lors d'un lancer depile ou face, les evenements"tomber sur pile au premier tirage»et "tomber sur pile au deuxieme tirage»sont generalement independants (sauf en cas de triche- rie...) 6 Tirage avec remise. On dispose d'une urne contenantNboutons noirs etJboutons jaunes.A chaque tirage, on prend un bouton au hasard, on note la couleur du bouton ob- tenu et on le remet dans l'urne. Les evenementsA=ftirer un bouton noir au premier tirageg etB=ftirer un bouton jaune au deuxieme tiragegsont-ils independants? Urne de Polya. On dispose toujours d'une urne contenantNboutons noirs etJboutons jaunes.A chaque tirage, on note la couleur du bouton obtenu et on le remet dans l'urne accom- pagne d'un bouton de la m^eme couleur. M^eme question que precedemment. Denition 2.6Soitnun entier superieur ou egal a 2.nevenementsA1;:::;Ansont(mu- tuellement ounan) independantssi pour tout choix d'indicesi1;:::;ikdeux a deux distincts, on a

P(Ai1\:::\Aik) =P(Ai1) P(Aik):

Des evenementsnanindependants le sont bien evidemment2a2mais la reciproque est fausse.

Exercice 2On choisit

=f1;2;3;4get on le munit de la probabilite uniforme. Trouver trois evenements deux a deux independants mais pas trois a trois. Sur =f1;:::;8gmuni de la probabilite uniforme, trouver trois evenementsA,BetC tels queP(A\B\C) =P(A)P(B)P(C)mais tels queA,BetCne sont pas independants.

3 Variables aleatoires reelles

3.1 La loi

3.1.1 Denition

Unevariable aleatoireXsur

est une fonctionX: ( ;)!Rtelle que pour tout intervalleIdeP, l'image-reciproque deIparXappartienne a.

Notation : on noterafX2Ig=f!2

;X(!)2Ig=X1(I). Notation : Pour tout intervalle I et pour toutx2R, on note fX2Ig=f!2 ;X(!)2Ig=X1(I); et pour toutx2R, fX=xg=f!2 ;X(!) =xg=X1(fxg): Les ensemblesfX2IgetfX=xgsont des sous-ensembles de . On pourra donc etudier par exemplePfX2Igpour tout intervalleIdeR, mais pasP(I).

Enoncons la propriete fondamentale de:

Proposition 3.1La fonctionainsi denie est une probabilite surR(ou sur l'ensemble X( Denition 3.2La probabiliteest appelee lamesure imagedePparX, ou laloideX. 7 Sa loi est ainsi completement determinee par la donnee de l'ensembleX( )ainsi que par les quantites(B) =P(X1(I))pour tout intervalleIdeR. On note parfois=X(P)ou=PX (attention dans ce dernier cas a ne pas faire de confusion avec la probabilite conditionnelle). La loi est la principale information dont on disposera sur une variable aleatoire : souvent l'ensemble sera inconnu ou implicite, on n'aura donc pas d'information surX(!). Denition 3.3{ La variable aleatoireXseradiscretesi elle prend ses valeurs dans un ensemble discret (et sa mesure-image est alors une mesure discrete). Sa loi sera caracte- risee par l'ensembleX( )(ou par un ensemble denombrable contenantX( )) et par les probabilitesP(X=x)pour toutx2X( {Xseraa densite(on dit aussi queXest continue) si sa mesure image admet une densite, c'est-a-dire s'il existe une fonctionf:R!R+, continue par morceaux, d'integrale surR egale a 1, telle que pour tous reelsaetbveriantab,

P(X2[a;b]) =Z

b a f(x)dx: En particulier en prenanta=bdans l'egalite ci-dessus, on remarqueP(X=a) = 0pour touta2R.

Remarque :Si

est un ensemble ni ou denombrable, toute variable aleatoire denie sur sera discrete. Attention :Deux variables aleatoires peuvent suivre la m^eme loi sans ^etre egales : par exemple deux tirages successifs de pile ou face. Nous allons maintenant etudier quelques exemples de variables aleatoires discretes ou a den-

site, mais il faut garder a l'esprit que cela ne recouvre pas tous les types de variables aleatoires.

3.2 Exemples de variables aleatoires discretes

Denition 3.4Laloid'une variable aleatoire discrete est donnee par { l'ensemble (denombrable)X( { pour toutx2X( ), la quantite P(f!2 tels queX(!) =xg) =P(X1fxg) =P(X=x)

Remarque :On doit avoirP

xP(X=x) = 1, ou la somme est prise surx2X( Pour construire une variable aleatoire discrete a valeurs dansN, on peut aussi commencer

par denir une mesure de probabilite surNen se donnant le poidspnde chaque entiern(avecPpn= 1) puis considerer une variable aleatoireXd'un certain espace

dansNdont la loi est donnee parP(X=n) =pn.

Exercice 3On se donne une variable aleatoireX:

!N. Montrer que la familleAn= f!;X(!) =ngpour toutn0forme un systeme complet d'evenements.

Des exemples

8

Pour un evenementA

, on note1Ala fonction suivante :1A(!) = 1si!2Aet 1 A(!) = 0sinon. Cette fonction, appeleel'indicatrice de l'evenementA, est une variable aleatoire discrete tres utile. Le nombre de"piles»obtenus lors des 8 premiers tirages d'un jeu de pile ou face est aussi une variable aleatoire discrete. Loi de Diracena2R. On xe un nombre reela. La loi de Dirac ena, generalement noteea, est la loi de la variable aleatoire suivante :X( ) =fagetP(X=a) = 1. On dit que

Xvaut"presque-s^urement»a.

Exercice 4Montrer que, siXsuit la loi de Dirac ena, pour toutAR,P(X2A) =1A(a). Loi de Bernoulli. La loi de BernoulliB(p)de parametrep2[0;1]est donnee parX( f0;1getP(X= 1) =p= 1P(X= 0). Lors d'un tirage de pile ou face d'une piece equilibree, si on noteX= 1si la piece tombe sur pile et 0 sinon, on obtient une variable aleatoire de loi de BernoulliB(12 ). Plus generalement, pour un evenementAquelconque, la variable aleatoire 1

Asuit une loi de Bernoulli de parametreP(A).

Loi binomiale. La loi binomialeBin(n;p), pourn2Netp2[0;1]est donnee par X( ) =f0;:::;nget, pour toutk2 f0;:::;ng,P(X=k) =n kpk(1p)nk. On retrouve ici la probabilite d'obtenirkfois exactement au cours dententatives (independantes) la realisation d'un evenement dont la probabilite estp. Par exemple, la probabilite de tirer exactementk6 lors desnpremiers lancers d'un de estn k5nk6n.

Loi uniformesurf1;:::;ng. On a iciX(

) =f1;:::;nget cette loi aecte le m^eme poids a chacun des elements. On a doncP(X=k) = 1=n, pour toutk2 f1;:::;ng. Loi geometriqueG(p),p2]0;1[: Cette loi est donnee parX( ) =NetP(X=k) = p(1p)k1pour toutk2N. On a vu plus haut que c'est la loi du numero du tirage ou la reussite survient pour la premiere fois (toujours dans le cadre d'une repetition independante des experiences de Bernoulli). Loi de PoissonP(), >0. C'est la loi de la variable aleatoireXveriantX( ) =Net P(X=k) =ek=k!. Elle est generalement utilisee pour modeliser le nombre d'appels recus par un serveur au cours d'un laps de temps donne. Loi hypergeometrique: Soitr,betntrois entiers naturel non nuls. La loi hypergeometrique (b+r;r;n)est la loi du nombre de boules rouges que l'on obtient lorsque l'on tire simultanement nboules dans une urne contenantrboules rouges etbboules blanches. On a :

P(X=k) =

r k b nk r+b n

3.3 Exemples de variables aleatoires a densite

Loi uniforme sur[a;b]: c'est la loi de la variable aleatoireXde densite1[a;b]=(ba). La probabilite qu'une variable aleatoire de loi uniforme sur[a;b]appartienne a un sous-intervalle de[a;b]est proportionnelle a la longueur de ce sous-intervalle. On a en particulierP(X2 [a;b]) = 1. 9 Loi exponentielle de parametre.Il s'agit de la loi de densitef(x) =exp(x)1x>0. SiXsuit cette loi, on aP(X0) = 1. La loi exponentielle est ditesans memoireau sens ou pour tous reels positifssett, on aP(X > t+sjX > s) =P(X > t). C'est pour cette raison qu'elle est utilisee generalement pour modeliser des temps d'attente entre deux evenements : par exemple entre deux pannes successives d'une machine, ou entre deux requ^etes recues par un serveur informatique. Loi normale, ou loi de Gauss centree reduite. Il s'agit de la loi de la variable aleatoireX de densitef(x) =ex2=2=p2. C'est une loi tres utilisee en statistique et en modelisation. Nous allons commencer par verier que c'est bien la densite d'une probabilite :fest une fonction continue positive, il reste a voir queI=R Rf(t)dt= 1. On ne conna^t pas de primitive explicite de la fonctionf, mais nous allons calculerI2. On a I 2= Z+1 1 f(t)dt 2 Z+1 1 f(t)dt Z+1 1 f(s)ds Z R

2e(s2+t2)=2dsdt2:

Procedons a un changement de variables en coordonnees polaires en posants=rcosett= rsin. Il vient I 2=Z 1 0Z er2=2rdrd2 =Z 1 0 rer2=2dr = 1:

La loi normaleN(m;2)est de densite

f(x) =1p2exp(xm)222

3.4 Esperance

Donnons tout d'abord la denition generale de l'esperance, avant de l'appliquer aux variables aleatoires discretes ou a densite.

SoitX:

!Rune variable aleatoire de loi. Denition 3.5Une variable aleatoireXest diteintegrablesi la quantite Z jXjdP=Z R jxjd est nie. On denit alors sonesperancepar

E(X) =Z

X dP=Z

R x d: 10 Plus generalement, pour toute fonction continue par morceauxh:R!R, on a

E(h(X)) =Z

h(X)dP=Z R h(x)d; lorsque la quantite Z jh(X)jdP=Z R jh(x)jd <1: Dans le langage courant (et aussi probabiliste), l'esperance est appeleemoyenne. C'est un parametre de position, qui indique autour de quelle valeur la variable aleatoire est repartie. Insistons des maintenant sur le fait qu'une variable aleatoireXbornee par une constante M (c'est-a-dire queP(jXj M) = 1) est toujours integrable, que l'on a dans ce casE(jXj)M etE(X)2[M;M]. Cette denition generale induit deux ecritures dierentes suivant que la variable aleatoire

Xest discrete ou a densite :

{ SiXest une variable aleatoirediscrete, l'integrabilite se traduit par X x2X( )jxjP(X=x)<1 et on a alors :

E(X) =X

x2X( )xP(X=x):

Plus generalement, pour toute fonctionh:X(

)!R, on a

E(h(X)) =X

x2X( )h(x)P(X=x) sih(X)est integrable, c'est-a-dire, si

Ejh(X)j=X

x2X( )jh(x)jP(X=x)<1: { SiXest une variable aleatoire a valeurs reelle et dedensitef:R!R+, elle est integrable siZ R jxjf(x)dx <1 et on a dans ce cas

E(X) =Z

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