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Amphi 3
Conditionnement / Esp
´erance conditionnelle
J´er´emie Bigot
Cours de probabilit
´es MA105
ISAE/SUPAERO 1A
Ann´ee 2013 - 2014
Amphi 3
Motivations
1Motivations2Probabilit´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement3Conditionnement par rapport`a une v.a. discr`ete4Conditionnement par rapport`a une v.a. continue5Esp´erance conditionnelle et projection orthogonale
Amphi 3
Motivations
Importance de la notion de probabilit
´e conditionnelle
Quand a-t-besoin de la la notion de probabilit
´e conditionnelle?
chaque f oisque ,pendant le d´eroulement d"une exp´erience
al ´eatoire, une information partielle est fournie`a l"exp´erimentateur un ´ev´enement en conditionne un autre, si la r´ealisation de ce dernier d´epend de la r´ealisation du premier.
Les notions d"ind
´ependance et de conditionnement sont donc
etroitement li´ees.Amphi 3
Motivations
Exemple de conditionnement discret
Envisageons les trois cas suivants :
1.On lance un d
´e`a six faces : quelle est la probabilit´e d"obtenir le chiffre 3? R´eponse :1=6
2.On lance un d
´e`a six faces : quelle est la probabilit´e d"obtenir le chiffre 3sachant que le r´esultat est impair? R´eponse :1=3
3.On lance un d
´e`a six faces : quelle est la probabilit´e d"obtenir le chiffre 3sachant que le r´esultat est pair? R´eponse :0
Amphi 3
Motivations
Exemple de conditionnement continu
Mod `ele de d´eplacement d"un mobile (ex : v´ehicule) d´ecrit pour un vecteurxt2R2ouR3au cours du tempst2R+: le v ecteurxtest la position du mobile`a l"instanttdans le cas id´eal d"un mod`ele th´eorique
la position r ´eelleXtest mod´elis´ee en introduisant un terme perturbateur al´eatoire
X t=xt+Vt;avecVtv.a. centr´ee; suivi du v´ehicule`a partir de mesuresYtqui donnent une
approximationde sa position r´eelle Y t=Xt+Wt;avecWtv.a. centr´ee: Question :connaissant les mesuresYt1;:::;Ytn, comment pr ´edire/estimer la position r´eelle du mobile au tempstn+1? R ´eponse :utilisation de l"esp´erance conditionnelle (filtre de Kalman)Amphi 3
Motivations
Objectifs du conditionnement
Apprendre
`a utiliser de nouvelles informations pour augmenter la pr ´ecision d"un mod`ele al´eatoire (exemple : d´etection des spams)La d ´efinition du mod`ele conditionnel dans le cas discret est naturelle et remonte au XVIII si `ecle (Thomas Bayes, math ´ematicien britannique, 1702-1761). La d´efinition g´en´erale est plus abstraite.Le formalisme des espaces de Hilbert et la notion projection orthogonale peuvent ˆetre utilis´es pour d´efinir les notions d"esp ´erance conditionnelle et de loi conditionnelle.Le conditionnement ouvre la voie `ala statistique et l"inf´erence bay ´esienne- Notion de mod`elea prioriet mod`elea posteriori.Approches fr
´equentistes6=Approches bay´esiennes
Amphi 3
Probabilit
´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement1Motivations2Probabilit´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement3Conditionnement par rapport`a une v.a. discr`ete4Conditionnement par rapport`a une v.a. continue5Esp´erance conditionnelle et projection orthogonale
Amphi 3
Probabilit
´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementD ´efinition de la probabilit´e conditionnelleD´efinitionSoit(
;A;P)un espace probabilis´e. SoitB2 Atel queP(B)>0. On appelleprobabilit´e deAsachantBle nombrePB(A)(not´e egalementP(AjB)) d´efini par PB(A) =P(AjB) =P(A\B)P(B):Lanc
´e de d´e: on noteA"chiffre 3" etB"chiffre impair". On a queA\B=A;P(A\B) =card(A\B)card
=16 ;P(B) =cardBcard =36 =12 D"o `u PB(A) =P(AjB) =P(A\B)P(B)=16
1 2=13:Amphi 3
Probabilit
´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementD ´efinition de la probabilit´e conditionnelleD´efinitionSoit(
;A;P)un espace probabilis´e. SoitB2 Atel queP(B)>0. On appelleprobabilit´e deAsachantBle nombrePB(A)(not´e egalementP(AjB)) d´efini par PB(A) =P(AjB) =P(A\B)P(B):Lanc
´e de d´e: on noteA"chiffre 3" etB"chiffre pair". On a queA\B=;;P(A\B) =card(A\B)card
=0;P(B) =cardBcard =36 =12 D"o `u PB(A) =P(AjB) =P(A\B)P(B)=01
2=0:Amphi 3
Probabilit
´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementD ´efinition de la probabilit´e conditionnelleProposition L"applicationPB:A7!PB(A)est une probabilit´e sur( ;A).Preuve :i)PB( ) =P( \B)P(B)=P(B)P(B)=1etPB(A) =P(A\B)P(B)2[0;1]car A\BB. ii) Soit suite d" ´ev´enementsAn, incompatibles 2`a 2 (i.e.An\Am=;). Les ´ev´enementsAn\Bsont aussi incompatibles 2`a 2 et donc : P B [ nA n! =PS nA n \BP(B)=PS n(An\B)P(B) =P nP(An\B)P(B)=X nP B(An)Amphi 3
Probabilit
´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementFormule des probabilit´es totalesTh
´eor`emeSoit(
;A;P)un espace probabilis´e. Soit(Bi)i2Iun syst`eme complet d" ´ev´enements de probabilit´es non nulles i.e. (i)Bi2 Apour touti2I, (ii)S i2IB i= (iii)sii6=j, alorsBi\Bj=;, (iv)P(Bi)6=0pour touti2I(ensemble d´enombrable).Alors, pour toutA2 A,
P(A) =X
i2IPBi(A)P(Bi) =X
i2IP(AjBi)P(Bi):Amphi 3
Probabilit
´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementFormule des probabilit´es totales
Cas particulier tr
`es utile :P(A) =PB(A)P(B) +PB
(A)P(B) =P(AjB)P(B) +P(AjB)P(B) Exemple :Le taux de r´eussite d"un examen donn´e est de 60 % pour les candidats issus de l"´etablissement A et de 80 % pour ceux issus
de B. D"autre part, 55 % des candidats proviennent de A et 45% de B.Quel est le taux d"
´echec`a cet examen?
Amphi 3
Probabilit
´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementFormule des probabilit´es totales
Exemple :Le taux de r´eussite d"un examen donn´e est de 60 % pour les candidats issus de l"´etablissement A et de 80 % pour ceux issus
de B. D"autre part, 55 % des candidats proviennent de A et 45% de B. Solution :soit les´ev´enementsA: "ˆetre issu deA",B: "ˆetre issu deB",R: "r´eussir" etE: "ˆetre en´echec".
Par la formule des probabilit
´es totales on a que le taux de r´eussite
est :P(R) =P(RjA)P(A) +P(RjB)P(B) =6055100
2+8045100
2=69%;
et doncP(E) =1P(R) =31% :taux d"´echec.
Amphi 3
Probabilit
´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enementFormule de BayesSoitAetBdeux´ev`enements. On a que
P(AjB) =P(A\B)P(B)et=P(BjA) =P(B\A)P(A)
Donc, on peut aussi
´ecrire que (formule de Bayes) :
P(AjB) =P(BjA)P(A)P(B)
P(BjA)P(A)P(BjA)P(A) +P(BjA)P(A);
ecrite (souvent!) sous la formeP(AjB)/P(BjA)P(A)
Amphi 3
Conditionnement par rapport
`a une v.a. discr`ete1Motivations2Probabilit´es conditionnelles par rapport`a un´ev`enement3Conditionnement par rapport`a une v.a. discr`ete4Conditionnement par rapport`a une v.a. continue5Esp´erance conditionnelle et projection orthogonale
Amphi 3
Conditionnement par rapport
`a une v.a. discr`eteLois conditionnelles pour un couple discretSoitXetYdeux v.a.r. discr`etes, d´efinies sur(
;A;P), avec X( ) =fxi;i2IgetY( ) =fyj;j2Jg;I;Jd´enombrables:Loi de probabilit
´e du couple(X;Y)est d´etermin´ee par
p ij=P([X=xi]\[Y=yj])pouri2Ietj2J:Lois marginalesdeXetY
P(X=xi) =pi:=X
jp ijetP(Y=yj) =p:j=X ip ij:D ´efinitionSipi:6=0, la loi conditionnelle deYsachant[X=xi]est d´efinie par : P [X=xi](Y=yj) =P(Y=yjjX=xi) =P([X=xi]\[Y=yj])P(X=xi)=pijp i:;j2J:Sipi:=0, alors, par convention,P[X=xi](Y=yj) =0.
Amphi 3
Conditionnement par rapport
`a une v.a. discr`eteEsp´erance conditionnelle dans le cas discretD
´efinitionSupposons queE(jYj)<+1.
L"esp ´erance d"une v.a. dont la loi est la loi conditionnelle deY`a l" ´ev´enement[X=xi]est appel´eeesp´erance conditionnelle deY`a l"´ev´enement[X=xi].
Elle est not
´eeE[X=xi](Y)ouE(YjX=xi). On a donc
E [X=xi](Y) =X jy jP[X=xi](Y=yj); not´ee´egalement
E(YjX=xi) =X
jy jP(Y=yjjX=xi):Amphi 3
Conditionnement par rapport
`a une v.a. discr`eteEsp´erance conditionnelle dans le cas discret
Exemple: soientX P()etY P()ind´ependantes (loi dePoisson de param
`etres >0et >0). Les v.a.XetYsont discr`etes et`a valeurs dansNde loiP([X=i]) =eii!;i2N;
etP([Y=j]) =ejj!;j2N:Proposition
La v.a.X+Ysuit une de loi de Poisson de param`etre+.Amphi 3
Conditionnement par rapport
`a une v.a. discr`eteEsp´erance conditionnelle dans le cas discret
Exemple: soientX P()etY P()ind´ependantes.
Etant donn
´e queX+Y P(+), on a que pour0in,
P [X+Y=n]([X=i]) =P([X=i]\[X+Y=n])P([X+Y=n])=P([X=i]\[Y=ni])P([X+Y=n]) (+)(+)nn! =Cin+ i 1+ ni =PZ(fig) o `uZest de loi binomialeB n;+ . Ainsi, la loi conditionnelle deX`a [X+Y=n]est la loi binomialeB n;+ , d"esp´erancen+et donc
E [X+Y=n](X) =E(XjX+Y=n) =n+:Amphi 3
Conditionnement par rapport
`a une v.a. discr`eteEsp´erance conditionnelle dans le cas discretD
´efinitionSoitXune v.a. r´eelle discr`ete sur( ;A;P)telle que, pour tout x2X( ),P([X=x])6=0et soitYune v.a. r´eelle discr`ete sur( ;A;P) admettant une esp´erance i.e.E(jYj)<+1.
On appelleesp´erance conditionnelle deYsachantX, lavariable al´eatoirediscr`ete EX(Y) =h(X);
o `uh:X( )!Rest la fonction d´efinie par h(x) =E[X=x](Y); pour toutx2X( ).Remarque :on la note´egalementE(YjX) =EX(Y).Amphi 3
Conditionnement par rapport
`a une v.a. discr`eteEsp´erance conditionnelle dans le cas discret
Exemple: soientX P()etY P()ind´ependantes.
On a que
h(n) =E[X+Y=n](Y) =E(XjX+Y=n) =n+;n2N; et donc EX+Y(X) =E(YjX+Y) =(X+Y)+
Remarque importante :EX+Y(X)est une variable al´eatoire!Amphi 3
Conditionnement par rapport
`a une v.a. discr`eteEsp´erance conditionnelle dans le cas discretTh
´eor`eme (Th´eor`eme de l"esp´erance totale)SoitXetYdeux v.a.r. discr`etes d´efinies sur le mˆeme espace telles
queE(jYj)<+1. Alors la v.a.r. discr`eteEX(Y)admet une esp´erance et