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Loi normale : déterminer l'écart-type σ Une étude a permis de révéler que le retard d'un train, en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit

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Pour chaque µ, σ, il existe une loi normale de moyenne µ et d'écart-type σ On la note N Cette formule n'est pas utile pour ce cours Chapitre 3 2012–2013 Exercice Quel est le quantile `a 90 pour une loi normale N(11, 2) ? Chapitre 3

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Rappel de cours Corrigés des exercices 6 2 Intervalles de confiance pour des paramètres de lois normales 131 6 3 Intervalles de

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2 a) Montrer que Sn suit la loi binomiale de paramètres n et p, par une preuve directe puis en utilisant Exercice 2 Preuves du cours : caractérisation des lois

Corrigés des exercices

FX(x) − FX(x − ) Note : Dans la note de l'exercice 1 1, on a établi que P(X < x) = FX(x − ) qui est la probabilité pour k de la loi binomiale de param`etres n et λ1 λ1+λ2 Pour la valeur totale des sinistres en cours on a un IC `a 95 de :

Loi normale centree reduite : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

jaicompris.com Fonction de Laplace-Gauss On appelle fonction de Laplace-Gauss la fonction'denie surRpar'(x) =1p2ex22

1) La fonction'est-elle paire, impaire? Justier.

2)Etudier les variations de'surR.

3) Determiner les limites de'aux bornes du domaine de denition.Loi normale centree reduite et graphique

Une variable aleatoire X suit la loi normale centree reduite.

On a trace la courbe de Gauss.

Determiner graphiquement un encadrement P(0;36X60;5).

Verier la coherence de ce resultat a l'aide d'une calculatrice.Utiliser les proprietes de la courbe en cloche

Z est une variable aleatoire qui suit la loi normale centree reduiteN(0;1).

On donne P(Z61;2)0;885 a 103pres.

Determiner sans calculatrice, a 10

3pres, P(Z>1;2) puis P(1;26Z61;2).Une variable aleatoire X suit la loi normale centree reduite.

On sait que P(X<0;2)0;58 et P(X60;3)0;38.

A l'aide de ces informations et sans calculatrice, determiner une valeur approchee de :

P(X>0;2) P(0;26X60;3) P(X60;3[X>0;2)Utiliser sa calculatrice pour calculer des probabilites avec une loi normale

X est une variable aleatoire qui suit la loi normale centree reduite.

Determiner a l'aide d'une calculatrice, avec trois decimales, P(X<0;6) puis P(1;2X0;4).Savoir utiliser Inverse Normale

X est une variable aleatoire qui suit la loi normale centree reduite.

A l'aide d'une calculatrice, determiner a 10

2pres,tel que P(X) = 0;9.On a trace la courbe de Gauss.

L'aire du domaine colore en marron vaut 0;2.

Determinerxa 103pres.Determiner un intervalle centre en 0 X est une variable aleatoire qui suit la loi normale centree reduite ettun reel positif.

1) Demontrer que si P(t6X6t) = 0;7 alors P(X6t) = 0;85.

2) A l'aide d'une calculatrice, en deduire la valeur deta 102pres.Esperance de la loi normale centree reduite

Une variable aleatoire X suit la loi normale centree reduite.

Determiner l'esperance de X, notee E(X).1

Theoreme du cours : Demonstration

Une variable aleatoire X suit la loi normale centree reduite. On note'la densite associee.

L'objectif de cet exercice est de montrer que :

Pour tout reel2]0;1[, il existe un unique reel positifu, tel queP(u6X6u) = 1 On considere la fonctionfdenie sur [0;+1[ parf(t) = P(t6X6t).

1) Justier que 1appartient a ]0;1[.

2) Justier que pour toutt>0,f(t) = 2Z

t 0 '(x) dx. 3) Etudier les variations defsur [0;+1[ puis conclure.Savoir determineru Une variable aleatoire X suit la loi normale centree reduite et2]0;1[. L'objectif de cet exercice est de savoir determinerutel que P(u6X6u) = 1.

1) Demontrer queuverie P(X6u) = 12

2) En deduireu0;05etu0;01.La temperature, en degre Celsius, a 6h du matin a La Rochelle, suit en janvier la loi normale centree reduite.

1) Quelle temperature peut-on esperer avoir a 6h du matin?

2) Est-il vrai que dans 99% des cas, la temperature a 6h du matin est comprise entre -2et 2?

3) Dans quel intervalle centre en 0, se situe 60% des temperatures a 6h du matin?

4) Quelle est la probabilite a 10

1pres d'avoir en janvier une temperature a 6h du matin superieure a 4?2

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