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LONGUEUR D"UN ARC DE COURBE
Soit un arc de courbe
_AB(...gure 1). On considère un pointMqui se déplace le long de la courbe deAàB;par déplacements
in...nitésimaux!dM:A B xyMFigure1dM
OChacun de ces déplacements a une longueur égale à !dM ;et la longueur totaleLde l"arc_ABest évidemment la somme de ces longueurs in...nitésimales. DoncL=Z B A !dM (1) Si on travaille en coordonnées cartésiennes, on a !dM=dx!i+dy!j :(2)Il en résulte immédiatement queL=Z
B Apdx2+dy2(3)
Exemple :Calculer la longueur de l"arche de cycloïde (TLM1 pages 169-170), dé...nie par la représentation paramétrique :
x=R(t-sint) y=R(1-cost)(4)Le déplacement du pointM(x;y)est dû à la variation du paramètret;qui pour une arche de cycloïde varie entre 0 et
2;comme le montre la ...gure 2 :2R
02pR4pRFigure2 : La cycloïdepR3pR
(t =0)(t =p) (t =2p)Lorsquetvarie dedt; xvarie dedxetyvarie dedy;et on a dxdt =x0(t)=R(1-cost);dydt =y0(t)=Rsint: On en déduitdx=R(1-cost)dtetdy=Rsintdt:Puisquetcroît en variant de 0 à2;on adt > 0;donc !dM =pdx2+dy2=Rq(
1-cost)2+sin2tdt:
TLM1Longueur d"un arc de courbe2En développant et en utilisant la formule cos2=1-2sin2;il vient !dM =Rp2 (1-cost)dt=2Rrsin 2t2 dt=2Rsint2 dt:Puisquetvarie entre0et2;t2
varie entre0etet sint2 0: On peut donc supprimer la valeur absolue, et la longueur de l"arche de cycloïde vaut L=Z t=2 t=0 !dM =2RZ 2 0 sint2 dt=4R -cost2 2 0 =8R:Ce résultat peut s"interpréter de la façon suivante : lorsqu"un cercle de rayonRroule sans glisser sur un plan, la longueur
totale parcourue par un point de ce cercle lors d"un tour complet vaut 8 fois le rayon du cercle.Remarque :Pour le calcul de la longueur d"un arc dé...ni en coordonnées polaires, voir le complément "Courbes en
polaires".EXERCICES
Exercice 1 :On considère lacardioïde(TLM1 page 166), d"équation paramétrique x=R(2cost-cos2t);y=R(2sint-sin2t): Calculer la longueur totale de la courbe (...gure 3).D (t = 0)A (t =p/3)B (t = 2p/3)
C (t =p)OR
Figure3:La cardioïdeExercice 2 :Lachaînetteest la courbe représentative de la fonctiony=chx(TLM1 page 161). Calculer la longueur
de l"arc de chaînette compris entre les points d"abscisses-betb, oùb > 0(...gure 4).Figure4 x y 1 0b y = chx b2 TLM1Longueur d"un arc de courbe3Exercice 3 :Montrer que la longueur de l"arc de paraboley=12 x2compris entreOet le pointAd"abscisse 1 vaut L=Z 10p1+x2dx:
Calculer cette intégrale en intégrant par parties. On rappelle (exercice 17.1 page 210 de TLM1) que
Z1p1+x2dx=ln
x+px 2+1 +C:SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 1 :Cette longueur vautL=Z
2 0px0(t)2+y0(t)2dt=2RZ
2 0q( sin2t-sint)2+(cost-cos2t)2dt: Mais en développant et en utilisant les formules d"addition et de duplication, il vient sin2t-sint)2+(cost-cos2t)2=2-2[cos2tcost+sin2tsint]=2-2cos(2t-t) =2(1-cost) =4sin2t2Remplaçons dans l"intégrale. On obtient
L=4RZ 2 0rsin 2t2 dt=4RZ 2 0 sint2 dt=16R:Ce résultat peut s"interpréter ainsi : lorsqu"un cercle de rayonRroule sans glisser sur un autre cercle (...xe) de rayonR;
l"hypocycloïde à un rebroussement (TLM1 page 171).Exercice 2 :Dans le cas d"une courbey=f(x);le paramètre estxcarx=xety=f(x):Alorsx0=1et la formule qui
donne la longueur d"un arc de courbe est L=Z x2 x