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Exemples de fonctions discontinues

Continuité et dérivabilité d"une fonction définie par morceaux

Cette fiche a été élaborée par des enseignantes et des enseignants des lycées et universités de

l"académie de Créteil.

Objectifs :

?Donner une définition rigoureuse de la continuité ; ?Manipuler la notion de continuité et de dérivabilité ; ?Manipuler des fonctions définies par morceaux. Mise en place :Une séance de 2h + le reste en travail à la maison. Les élèves peuvent travailler en groupe ; l"aval du professeur peut être utile pour valider chacune des étapes. Contenu :Dans cette fiche on s"intéresse à ce que signifie : "une fonctionfdéfinie sur un intervalleIest continue" ou "une fonctionfdéfinie sur un intervalleIest dérivable". On commence par rappeler les définitions et ensuite on regarde sous quelles conditions une fonction définie par morceaux est continue/dérivable.

1 Deux Rappels et une nouvelle définition

On se donne une fonctionf:I→Rdéfinie sur un intervalleIdeR.

Définition graphique de la continuité.

On dit quefest continue surIsil"on peut tracer son graphe sans lever le stylo. Cette définition a le bon gout d"être intuitive, par contre, il n"est pas aisé de l"utiliser en pratique. Afin de palier ce défaut on énonce une définitionéquivalentede la continuité. Définition mathématique de la continuité.

Soitx0?I, On dit quefestcontinueenx0si

lim x→x0xx0f(x) =f(x0). Six0est un point du bord de l"intervalleI(par exemplex0= 0etI= [0,1[), alors on ne demande que lim x→x0xx0f(x) = lim x→x+0f(x) =f(x0)six0est l"extrémité de gauche deI. On dit aussi quefest continue sur l"intervalleIsi elle est continue en tout point deI. 1

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Définition de la dérivabilité.

On rappelle quef:I→Rest une fonctiondérivableen un pointx0?Isi letaux d"accroissementf(x)-f(x0) x-x0 admet une limite égale à un réel lorsquextend versx0. Comme pour la continuité en un pointx0d"un intervalleI, six0est un point d"extrémité de

Ialors on adapte les limites en ne calculant que l"une des deuxlimites latérales qui fait sens : en

x

0ou bien enx-0.

Dire quextend versx0signifie queh=x-x0,l"écart [relatif] entrexetx0, tend vers0. Ainsi le taux d"accroissement f(x)-f(x0) x-x0peut se réécrire en posantx=x0+h f(x0+h)-f(x0) h. Par suite une fonctionf:I→Rest une fonctiondérivableen point unx0?Ilorsque le taux d"accroissementf(x0+h)-f(x0) h admet une limite égale à un réel lorsquehtend vers0. On dit aussi quefest dérivable surIsi elle est dérivable en tout point deI. Rappel.On rappelle que si une fonction est dérivable sur un intervalleI(ou bien en un réel x

0?I) alors elle est continue sur l"intervalleI(ou bien enx0?I).

1. Soit

f: [0,2]→R x?→?

1six?[0,1]

2six?]1,2].

a. Dans le graphique ci-contre tracer la courbe représentative de la fonctionfsur l"intervalle[0,2]. b.La continuité par le graphique.En observant la représentation graphique de la fonctionf, selon vous,fest-elle continue sur l"intervalle[0,2]? c.La continuité par le calcul.Cal- culerlimx→1x>1f(x). La fonctionfest-elle continue enx0= 1?

La fonctionfest-elle continue sur[0,2]?

12 1 2 2

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2 Le vif du sujet

2. Soitf: [0,1]→Rune fonction dérivable sur[0,1]. On définit

g: [0,1]→R x?→?????f(2x)six?[0,1 2] f(2x-1)six?]1 2,1].

Vérifier quegest bien définie sur[0,1].

Indication. Il suffit de vérifier que six?[0,1]alors on peut calculerg(x)...

3.La continuité deg.

(a) Montrer que sif(0) =f(1)alors la fonctiongest continue enx0= 1/2. (b) Montrer que si la fonctiongest continue enx0= 1/2alorsf(0) =f(1). (c) Montrer quegest continue enx0pour toutx0?[0,1/2[?]1/2,1]. (d) Sous quelle conditiongest-elle continue sur[0,1]?

4. Donner un exemple

(a) de fonctionfpour laquelle la fonctiongcorrespondante est continue sur[0,1]. (b) de fonctionfpour laquelle la fonctiongcorrespondante n"est pas continue sur[0,1].

5.La dérivabilité deg.

(a) Montrer que sif(0) =f(1)etf?(0) =f?(1)alors la fonctiongest dérivable enx0= 1/2. Indication. Pour la limite du taux d"accroissement en1/2-on pourra faire le change- ment de variableX= 2xet celle en1/2+le changement de variableX= 2x-1. (b) Montrer que sigest dérivable enx0= 1/2alorsf(0) =f(1)etf?(0) =f?(1). Indication. On pourra commencer par remarquer que sigest dérivable alors elle est continue et donc on af(0) =f(1). (c) Montrer quegest dérivable enx0pour toutx0?[0,1/2[?]1/2,1]. (d) Sous quelle conditiongest-elle dérivable sur[0,1]?

6. Donner un exemple

a. de fonctionfpour laquelle la fonctiongcorrespondante est dérivable sur[0,1]. b. de fonctionfpour laquelle la fonctiongcorrespondante n"est pas dérivable sur[0,1]. 3quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41