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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

ETUDE DE LA FONCTION DU SECOND DEGRE

NIVEAU

2

ème degré TQ math 4h, 4ème année

UNITE D'ACQUIS D'APPRENTISSAGE

Deuxième degré

RESSOURCES

Caractéristiques de la fonction du deuxième degré : zéro ; signe ; croissance/décroissance ; extrémum. Caractéristiques d'une parabole d'axe vertical : sommet ; axe de symétrie ; concavité.

PROCESSUS

APPLIQUER

• Construire un graphique à partir d'un tableau de nombres ou d'une formule. • Rechercher des caractéristiques d'une fonction du deuxième degré. • Rechercher des caractéristiques d'une parabole d'axe vertical. • Résoudre une équation du deuxième degré. • Établir le tableau de signe d'une fonction du second degré.

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

La fonction carré

Définition : la fonction carré est la fonction qui à nombre réel tout x associe son carré : x --> f (x) = x2.

La fonction carré est définie pour tout x de IR.

Les fonctions du second degré

Définition : a, b et c sont trois réels quelconques, a est non nul. On appelle fonction du second degré toute

fonction qui à tout réel x associe ax² + bx + c.

La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole que l'on peut déduire de la courbe

de la fonction carré.

Si f est une fonction du second degré dont la courbe représentative a pour sommet S ( ; ), alors on a f(x) =  a(x - )² + . L'expression a(x - )² + est appelé forme canonique de la fonction f.

Concavité de la parabole

•Une parabole est tournée vers le haut si le coefficient de x2 est positif. •Une parabole est tournée vers le bas si le coefficient de x2 est négatif.

Racines (ou zéros) de la parabole

Une parabole possède 0, 1 ou 2 racines (ou zéros).

Racine(s) d'une fonction

•Graphiquement : point(s) d'intersection entre la courbe et l'axe des x. •Algébriquement : valeur(s) qui annule(nt) la fonction (y = 0). Il faut résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0, càd trouver les valeurs de x tel que y = 0 (par factorisation (mise en évidence ; produits remarquables) ou delta).

Axe de symétrie et sommet

yÉquation de l'axe de symétrie : droite parallèle à y, d'équation x = -b 2.a yCoordonnées sommet : point d'intersection de la parabole avec l'axe de symétrie S ( -b

2.a ; f (

-b

2.a) )

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré Croissance ou décroissance de la fonction du second degré (variations de la fonction)

Croissance : Une fonction est croissante sur un

intervalle I si et seulement si : pour tout a et b de I,

Si a < b alors f(a) < f(b).

Décroissance : Une fonction est décroissante sur un intervalle I si et seulement si : pour tout a et b de I,

Si a < b alors f(a) > f(b).

Extremums

Définition : m est le minimum d'une fonction f si et seulement si pour tout x, f(x) ≥ m. Minimums et maximums d'une fonction sont ses extremums. Les variations d'une fonction et ses extremums sont résumés dans le tableau de variations.

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

Tableau de variation

H2 racines

Si le coefficient de x²  0, il y a un minimum et la parabole tourne sa concavité vers le sens positif de l'axe des ordonnées (axe y) Si le coefficient de x²  0, il y a un maximum et la parabole tourne sa concavité vers la sens négatif de l'axe des ordonnées (axe y)

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

H1 racine

Si le coefficient de x²  0, il y a un minimum et la parabole tourne sa concavité vers le sens positif de l'axe des ordonnées (axe y) Si le coefficient de x²  0, il y a un maximum et la parabole tourne sa concavité vers la sens négatif de l'axe des ordonnées (axe y)

Hpas de racines

Si le coefficient de x²  0, il y a un minimum et la parabole tourne sa concavité vers le sens positif de l'axe des ordonnées (axe y) Si le coefficient de x²  0, il y a un maximum et la parabole tourne sa concavité vers la sens négatif de l'axe des ordonnées (axe y)

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

Étude du graphe d'une fonction

Pour chaque fonction :recherche les racines, l'axe de symétrie, les coordonnées du sommet, représente la

fonction et dessine son tableau de variations.

Fonction f(x)=-x2+6x+3

Recherche des racinesÉquation de l'axe de symétrie

Coordonnées du sommet

Tableau de variations

Représentation

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

Fonction f(x) = x2 - 4

Recherche des racinesÉquation de l'axe de symétrie

Coordonnées du sommet

Tableau de variations

Représentation

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

Fonction f(x)=2x2+4x-6

Recherche des racinesÉquation de l'axe de symétrie

Coordonnées du sommet

Tableau de variations

Représentation

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

Fonction f(x) = 16x2 - 8x

Recherche des racinesÉquation de l'axe de symétrie

Coordonnées du sommet

Tableau de variations

Représentation

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

Fonction f(x)=-2x2+2x+4

Recherche des racinesÉquation de l'axe de symétrie

Coordonnées du sommet

Tableau de variations

Représentation

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré Fonction f(x)=-x2-3x+4Recherche des racinesÉquation de l'axe de symétrie

Coordonnées du sommet

Tableau de variations

Représentation

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

Fonctionf(x)=x2+10x+25

Recherche des racinesÉquation de l'axe de symétrie

Coordonnées du sommet

Tableau de variations

Représentation

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Chapitre 6 : Étude de la fonction du second degré

Étudie le signe des fonctions suivantes

a) f(x) = 2x2-x-3b) f(x) = -3x2-12x-12 c) f(x) = x2+4d) f(x) = 10x2+x-2e) f(x) = 4x-4x2-1 f) f(x) = 9-x2 g) f(x) = 2 3x2+4 3x+2

3h) f(x) = x-3x2-5

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