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17 jan 2013 · Signe de (1/2)x + 8 (en utilisant le sens de variations de la fonction x (1/2)x + 8 2 Signe de Une expression du premier degré est une expression de la forme ax + b où a ≠ 0 et faire un tableau de signes

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Application : signe d'un produit de facteurs du premier degré Le signe du binôme est introduit par l'étude des variations de la fonction affine L'étude du signe 

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Fonctions affines-équations et inéquations du premier degré Tableau des signes ✓ Sur ]1,5;+∞[ la courbe est strictement au dessus de l'axe des abscisses

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La résolution d'inéquations du premier degré se fait de la même manière que pour les équations On utilise un tableau de signes lorsque l'on veut résoudre une inéquations Soient f et g deux fonctions de courbes représentatives Cf et Cg

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Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré Vidéo https://youtu be/ On dresse alors le tableau de signe de f ' : x −∞ 1 +∞

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Signe d'une fonction du premier degré 16 7 Intersection des (pas du 1er degré) b) Établis un tableau de valeurs pour chaque expression analytique x f(x) 0

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Résoudre des inéquations autres que celles du premier degré surtout, établir le tableau du signe de la dérivée pour en déduire les variations d'une fonction

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Pour tout nombre réel x, x²est positif, (signe +dans un tableau), (x² 0) ➢ Pour tout Connaître les signes évidents en fonction de l'intervalle d'appartenance de x : ➢ Si x∈ [1 ; 5], alors (trinôme du second degré) : bien repérer a = , b= ,c=

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1 sur 3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frFONCTIONS POLYNOMES (Partie 1) I. Fonctions polynômes du second degré Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du second degré Vidéo https://youtu.be/EXTobPZzORo Vidéo https://youtu.be/zxyKLqnlMIk Soit la fonction f définie sur

par f(x)=3x 2 -6x+2

. 1) Calculer la fonction dérivée de f. 2) Déterminer le signe de f ' en fonction de x. 3) Dresser le tableau de variations de f. Avant tout, il est utile de tracer la courbe représentative de la fonction f à l'aide de la calculatrice. Cela permettra de vérifier au fur et à mesure les résultats. 1) On a :

f'(x)=3×2x-6=6x-6 . 2) On commence par résoudre l'équation f'(x)=0 : Soit :

6x-6=0

Donc 6x=6

et x= 6 6 =1

. On dresse alors le tableau de signe de f ' : x -∞ 1 +∞

f'(x)=6x-6

- + 3) On dresse alors le tableau de variations : x -∞ 1 +∞ f' - + f -1 Si Alors Théorème : - Si , alors f est croissante. - Si , alors f est décroissante.

2 sur 3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr En effet : f1

=3×1 2 -6×1+2=-1 . La fonction f admet un minimum égal à -1 en x=1

. II. Fonctions polynômes du troisième degré Méthode : Étudier les variations d'une fonction polynôme du troisième degré Vidéo https://youtu.be/23_Ba3N0fu4 EXEMPLE 1 Soit la fonction f définie sur

par f(x)=x 3 +x 2 +3x-1

. 1) Calculer la fonction dérivée de f. 2) Déterminer le signe de f ' en fonction de x. 3) Dresser le tableau de variations de f. On trace la courbe de la fonction f à l'aide de la calculatrice : 1) On a :

f'(x)=3x 2 +2x+3 . 2) On commence par résoudre l'équation f'(x)=0 : Le discriminant du trinôme 3x 2 +2x+3 est égal à Δ = 22 - 4 x 3 x 3 = -32 Δ < 0 donc l'équation f'(x)=0

ne possède pas de solution. Le coefficient de x2, égal à 3, est positif, donc la parabole est tournée dans le sens " cuvette ». La dérivée est donc positive pour tout x. x -∞ +∞

f'(x)=3x 2 +2x+3 + 3) On dresse alors le tableau de variations : x -∞ f'(x)

+ f Si Alors

3 sur 3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr EXEMPLE 2 Soit la fonction f définie sur

par f(x)=x 3 -1,5x 2 -6x+1

. 1) Calculer la fonction dérivée de f. 2) Déterminer le signe de f ' en fonction de x. 3) Dresser le tableau de variations de f. On trace courbe de la fonction f à l'aide de la calculatrice : 1) On a :

f'(x)=3x 2 -1,5×2x-6=3x 2 -3x-6 . 2) On commence par résoudre l'équation f'(x)=0 : Le discriminant du trinôme 3x 2 -3x-6 est égal à Δ = (-3)2 - 4 x 3 x (-6) = 81 L'équation possède deux solutions : x 1 3-81

2×3

=-1 et x 2 3+81

2×3

=2

Le coefficient de x2, égal à 3, est positif, donc la parabole est tournée dans le sens " cuvette ». La dérivée est donc positive à l'extérieur de ses racines -1 et 2. x -∞

-1 2 +∞ f'(x)=3x 2 -3x-6 + - + 3) On en déduit le tableau de variations de f : x -∞ -1 2 +∞ f'(x)

+ - + f 4,5 -9 En effet,

f(-1)=-1 3 -1,5×-1 2 -6×-1 +1=4,5 et f(2)=2 3 -1,5×2 2 -6×2+1=-9quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41