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Deuxième méthode : On remarque que choisir k éléments parmi n revient à ( formule de Pascal) Soient n et 0 ⩽ k ⩽ n des entiers (avec (k,n) = (0, 0)) Exercice 6 Combien y a-t-il de chemins sur Z2 issus de (0, 0), faisant des pas +(1, 0) ou

Pour tout entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins menant à k succès sur les n tentatives est le nombre ( n k) (qui se lit « k parmi n ») Théorème (

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Pour tout k ∈ {0, 1, ,n}, le nombre de chemins fournissant k suc- cès sur les n répétitions est (n k ) (« k parmi n ») On peut démontrer que (n k ) = n k=0 ( −1)k(2n + 1 k ) pour tout n ∈ N Combien vaut S4 ? 3 En écrivant (k p ) = (k + 1

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A si Ai \ Aj = /0, pour tout i 6= j, et A = [iAi := A1 [ A2 [ ··· [ An [ ··· Par exemple {1,2, 3},{4},{5,6,7} Le nombre de dispositions sans répétition de k éléments parmi n ( k  n) est Dn,k := n n avec k chiffres) Combien de nombre de au plus k chiffres Le code confidentiel d'une certaine carte de crédit est fait par les nombres 1

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ce qui fait que la prononciation «p parmi n» contrarie le sens habituel de lecture Combien faut-il d'opérations (sans calculatrice) pour calculer (2010 2009 )

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0⩽i⩽m 1⩽j⩽n zi j Que se passe-t-il par exemple quand on multiplie deux être écrite de différentes manières selon le choix qu'on fait de la lettre-indice Le Pour tous n ∈ et k ∈ , on appelle (coefficient binomial) k parmi n le nombre : n

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6 mar 2008 · Notation : La fonction 'factorielle' est la fonction de domaine N = {0,1,2, } Notation : le nombre de permutations de k parmi n est noté An,k Exemple : Combien de mots de 3 lettres distinctes peuvent être formés dans

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d'une ensemble en contenant n (il se lit « p parmi n ») Les coefficients (n p ) = 0 Théorème 1 : Soient p, n ∈ N tels que p ⩽ n Alors (np) = n p (n − p) Remarque 3 : Le point (i) traduit le fait que le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est 2n En effet, ce Combien de tirages sont possibles où l'on ait

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se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k » C'est une car l'objet rouge ayant été retenu, il reste k−1 objets à choisir parmi les n−1 autres Voici Démonstration : La démonstration se fait par récurrence L' affirmation est Calculer de combien de façons on peut former ce comité dans chacun des

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p) tirages possibles de p boules parmi n boules, ces tirages étant sans remise 2- On tire 5 Quels que soient les entiers n et p tels que 0 p n, on a : (n p) ( n np)

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