4) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x + 0 expx ( )' = expx exp(0) = 1 expx > 0 expx ( )' = expx > 0 lim
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques
4) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x + 0 expx ( )' = expx exp(0) = 1 expx > 0 expx ( )' = expx > 0 lim
[PDF] La fonction exponentielle complexe
Plus gnralement, la fonction réciproque de la fonction logarithme de base a > 0 et différent de 1, x ↦→ loga x = lnx lna , est la fonction exponentielle x ↦→ ex ln
[PDF] Puissances, racines, exponentielles et logarithmes - JavMathch
Définition: ‚ Si a ă 0 et n est un entier impair, on définit la racine n-ième par : r “ n elle est de l'ordre de 100m et enfin après 60 pliages, elle vaut 0,1 ¨ 260 Exercice 4 4: Au bout de combien d'années une somme placée à 6 triple-t-elle ?
[PDF] Cest quoi une exponentielle ?
La fonction qui permet de calculer la distance x en fonction du temps t est appelée « la » fonction exponentielle et on la note exp : exp(t) = x Combien vaut exp(0,
[PDF] Les Exponentielles
Remarque : On rappelle que la fonction ln n'est définie que sur ]0 ; +∞[ mais Définition 1 : On appelle fonction exponentielle la fonction f définie sur R par f(x)
[PDF] FORMULAIRE
Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α ln(a) e0 = 1 ex+y =
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE
Cette fonction f est définie par : f(x) = a × exp(kx) pour tout x ∈ IR Exercice 01 On considère un partage de l'intervalle [0 ; 1] en n intervalles de même amplitude (
[PDF] Fonction exponentielle et fonction logarithmique
possède une asymptote horizontale d'équation y = 0 , -0,2t Au bout de combien de temps le volume des ventes mensuelles sera-t-il le double de ce qu'il était
[PDF] fonction exponentielle de base q
Table des matières 1 fonction exponentielle de base q : x ↦− → qx avec q > 0 2 Cf passe par B(x; 3), que vaut x? exercice 2 : 3 combien de jours devrait- elle attendre au minimum pour que son compte contienne 2000 € ? (on considère
[PDF] combinaison au poker texas hold'em
[PDF] combined audit approach example
[PDF] combined audit definition
[PDF] combined audit meaning
[PDF] combined audit strategy
[PDF] combined audit vs integrated audit
[PDF] combined auditor 2014 advertisement
[PDF] combined auditor ossc
[PDF] combined english language skills assessment
[PDF] comcast internet
[PDF] comédie française youtube
[PDF] comédie française f
[PDF] command and control regulation definition
[PDF] command and control regulation example
1
FONCTION EXPONENTIELLE
I. Définition
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que etDémonstration de l'unicité (exigible BAC) :
L'existence est admise
- Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ.Soit la fonction h définie sur ℝ par .
Pour tout réel x, on a :
La fonction h est donc constante.
Comme , on a pour tout réel x :.
La fonction f ne peut donc pas s'annuler.
- Supposons qu'il existe une fonction g telle que et .Comme f ne s'annule pas, on pose .
k est donc une fonction constante.Or donc pour tout x : .
Et donc . L'unicité de f est donc vérifiée. Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que et .On note cette fonction exp.
Conséquence :
Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : f'=f f(0)=1 h(x)=f(x)f(-x) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)-f'(-x) =f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x) =f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0 h(0)=f(0)f(0)=1 f(x)f(-x)=1 g'=g g(0)=1 k(x)= g(x) f(x) k'(x)= g'(x)f(x)-g(x)f'(x) f(x) 2 g(x)f(x)-g(x)f(x) f(x) 2 =0 k(0)= g(0) f(0) 1 1 =1 k(x)=1 f(x)=g(x) f'=f f(0)=1 exp(0)=1 2 Remarque : On prouvera dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard.II. Etude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ et Démonstration : Conséquence immédiate de sa définition2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais.Or, par définition, donc pour tout x, .
Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.3) Limites en l'infini
Propriété : et
- Propriété démontrée au paragraphe III. -4) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x 0 expx '=expx exp(0)=1 expx>0 expx '=expx>0 lim x→-∞ expx=0 lim x→+∞ expx=+∞ expx expx 3III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Démonstration :
Comme , on pose avec y un nombre réel.
Pour tout x, on a .
Donc la fonction f est constante.
Comme , on en déduit que .
Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) b) c) avec expx+y =expxexpy expx≠0 f(x)= exp(x+y) expx f'(x)= exp(x+y)expx-exp(x+y)expx expx 2 =0 f(0)= exp(y) exp(0) =expy exp(x+y) expx =expy exp-x 1 expx expx-y expx expy expnx =expx n n∈! 4Démonstration :
a) b) c) La démonstration s'effectue par récurrence.L'initialisation est triviale.
La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition :2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e.Notation nouvelle :
On note pour tout x réel,
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique .Ses premières décimales sont :
e 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est t ranscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers. Le nombre par exempl e, est irrationnel mais n'est pas transcendant puisqu'il est solution de l'équation . Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de son nom ma is peut être car e est la première lettre du mot exponentiel. expxexp-x =expx-x =exp(0)=1 expx-y =expx+(-y) =expxexp-y =expx 1 expy expx expy expn+1 x =expnx+x =expnx expx=expx n expx=expx n+1 exp1=e expx=exp(x×1)=exp(1) x =e x expx=e x 2 x 2 =2 5 Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : Rappelons que par exemple 5! se l it "factorielle 5" et e st égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) et b) et c) , , , , avec . d) et Remarque : On retrouve les propriétés des puissances.