Table des matières 1 fonction exponentielle de base q : x ↦− → qx avec q > 0 2 Cf passe par B(x; 3), que vaut x? exercice 2 : 3 combien de jours devrait- elle attendre au minimum pour que son compte contienne 2000 € ? (on considère
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4) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x + 0 expx ( )' = expx exp(0) = 1 expx > 0 expx ( )' = expx > 0 lim
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Définition: ‚ Si a ă 0 et n est un entier impair, on définit la racine n-ième par : r “ n elle est de l'ordre de 100m et enfin après 60 pliages, elle vaut 0,1 ¨ 260 Exercice 4 4: Au bout de combien d'années une somme placée à 6 triple-t-elle ?
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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b ) = ln(a) − ln(b) ln(1/a) = − ln(a) ln( √a) = ln(a)/2 ln(aα) = α ln(a) e0 = 1 ex+y =
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fonction exponentielle de base q
Table des matières
1 fonction exponentielle de baseq:x?-→qxavecq >02
1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2
1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4
1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5
1.4 devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 6
1.4.1 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6
2 fonction exponentielle de base e8
2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8
2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9
2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 10
3 fonctions aveceu11
3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11
3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11
3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 12
3.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14
4 devoir maison15
4.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15
4.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 16
4.3 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 18
11 fonction exponentielle de baseq:x?-→qxavecq >0
1.1 activités
activité 1 :(croissance, décroissance exponentielle, continuité)123456789
0 2 4 6 8-2-4-6-8-10
xq x x?-→1,25xx?-→0,8x x?-→1xune ville compte actuellement1 millier d"habitants1. si la variation annuelle est de25%
(a) calculer la population dans1,2,10ans (b) exprimer la populationp(x)dansxannées (c) montrer qu"une variation annuelle de25%équivaut à une variation mensuelle
d"environs1,877% en déduire la population dans6mois (d) proposer un moyen de retrouver ce résultat directement avecp(x) (e) déterminer la population dans7ans et3mois (f) quelle était la population il y a1,2,10ans? (g) quelle était la population il y a3ans et demi? (h) quelle est la nature de la fonctionp:x?-→1,25x?2. si la variation annuelle est de-20%
(a) calculer la population dans1,2,10ans (b) exprimer la populationr(x)dansxannées (c) déterminer la population dans7ans et2mois (d) quelle était la population il y a8ans et demi? (e) quelle est la nature de la fonctionr:x?-→0,8x?3. (a) que donne la calculatrice pour-0,52et-0,52,5
(b) pour quelles valeurs deq,f(x) =qxsemble t-elle définie pour tout nombre réelxdeR?4. essayer de trouverxpour que0,8x= 0ou0,8x=-1ou1,25x= 0ou1,25x=-1?
5. conjecturer le sens de variation et les limites dex?-→qxen fonction deq
activité 2 :(propriétés algébriques)1. on admet que les égalités sur les puissances entières vuesau collège se prolongent aux nombres réels,
compléter alors les égalités suivantes : (a) quels que soienta?R+?,x?Rety?R:ax×ay=... (b) quels que soienta?R+?,x?Rety?R:ax ay=... (c) quels que soienta?R+?etx?R:1 ax=... (d) quels que soienta?R+?,x?Rety?R:(ax)y=... (e) quels que soienta?R+?,b?R+?etx?R:ax×bx=... (f) quels que soienta?R+?,b?R+?etx?R:ax bx=... (g) quel que soita?R+?:a0=...2. Montrer queA=B
(a)A= 8×2xetB= 2x+3 (b)A= 100×0,01xetB= 102-2x (c)A=40,25xetB= 4x+1
(d)A= 6×0,2x×5×5xetB= 30(e)A=16x0,53etB= 24x+3
(f)A=15×0,3x10×0,1xetB= 0,5×3x+1
1.2 à retenir
définition 1 :(fonction exponentielle de baseq) quel que soit le nombre réel positif strictq >0: fest la fonction exponentielle de baseq??quel que soitx?R:????f(x) =qx exemples : i. fonction exponentielle de base2:f(x) = 2x ii. fonction exponentielle de base0,5:f(x) = 0,5x propriété 1 :(fonction exponentielle de baseq) quels que soient les réelsa >0,b >0,xety ???ax×ay=ax+y? ax ay=ax-y????(ax)y=axy? 1 ax=a-x???? ax bx= (ab)x ???ax×bx= (ab)x????a0= 1????a1=a????ax>0(un exponentiel est positif strict) propriété 2:(limite et sens de variation ) quel que soit le nombre réel positif strictq >0: si????q >1 alorsf:x?-→qxest????strictement croissante? limx→+∞qx= +∞? limx→-∞qx= 0 q >1 si????q= 1 alorsf:x?-→qxest????constante? limx→+∞qx= 1? limx→-∞qx= 1 q= 1 si????0< q <1 alorsf:x?-→qxest????strictement décroissante? limx→+∞qx= 0? limx→-∞qx= +∞0< q <1
exemples: i. soit la fonctionfdéfinie parf(x) = (4 5)x q=45= 0,8donc0< q <1doncfest strictement décroissantelimx→+∞(45)x= 0,limx→-∞(45)x= +∞
ii. soit la fonctionfdéfinie parf(x) = (5 4)x q=54= 1,25doncq >1doncfest strictement croissantelimx→+∞(54)x= +∞,limx→-∞(54)x= 0
remarques i. aveca?Retq >0, pour résoudre l"équation :? ???qx=aen valeur exacteon utilisera ultérieurement la fonction logarithme népérien(sinon la calculatrice pour une valeur
approchée) 3 x= 12pourx?2,262au tableau de valeurs de la calculatrice pour une valeur approchée ii. aveca?Retq >0, pour résoudre l"équation :? ???xq=a on utilise la première propriété :? x3= 12??x= 121/3(valeur exacte)?2,289(valeur approchée)
(ou bien au tableau de valeurs de la calculatrice pour une valeur approchée)1.3 exercices
exercice 1 :123456789
0 2 4 6 8-2-4-6-8-10
xf(x)g(x)1. conjecturer la nature des fonctions fetg2. sous cette hypothèse, déterminer les
formules des deux fonctions sachant que les points marqués sont sur les courbes3. à quelles variations relatives
correspondent-elles à 1% près?4.Cgpasse t-elle parA(-7;8)?
5.Cfpasse parB(x;3), que vautx?
exercice 2 : soit le taux d"évolution annuel det= 24%1. trouver le taux mensuel équivalent àtà0,01%près
2. trouver le taux trimestriel équivalent àtà0,01%près
3. trouver le taux semestriel équivalent àtà0,01%près
4. trouver le taux quotidien équivalent àtà0,01%près
exercice 3 :une personne placé il y a quelques temps une certaine somme sur un compte épargne à5%d"intérêts
annuels et a ce jour, le compte a un solde de992e1. la personne souhaite fermer son compte dans deux an trois mois et quatre jours, quel sera alors le
solde du compte?(une année = 365,25 jours; un mois = 30,4375 jours)2. le compte a été crée il y a10ans trois mois et 20 jours, combien la personne a t-elle placéinitialement?
3. combien de jours devrait-elle attendre au minimum pour que son compte contienne2000e?(on
considère que la banque arrondi à l"euro inférieur) exercice 4 :123456789
0 2 4 6 8-2-4-6-8-10
xf(x) g(x)on sait quef(x) = 1,5xetg(x) = 1,25x1. graphiquement,en combien de points ces
courbes semblent-elles pouvoir se couper?2. trouver la réponse algébriquement
( montrer quef(x) =g(x)??f(x) g(x)= 1 ??1,2x= 1puis conclure)1.4 devoir maison1.4.1 corrigé devoir maison
corrigé devoir maisonExercice 1 : (38 p 48)
1. on remarque qu"il semble que la valeur def(x)soit égale à0,25quelle que soit la valeur dex
2.f(x) =1
8(2x)5×0,55x-1=123×25x×125x-1
= 2-3×25x×(2-1)5x-1 f(x) = 2-3×25x×2-5x+1= 2-3+5x-5x+1= 2-2=122=14=????0,25
Exercice 2 : (45 p 48)
1.g(x) =qxetg(1) = 2doncq1= 2doncq= 2donc?
???g(x) = 2x k(x) =qxetk(-1) = 1,25doncq-1=1 q= 1,25doncq=11,25doncq= 0,8donc????k(x) = 0,8x2.h(x) =qxeth(2) = 2doncq2= 2doncq=⎷
2(q=-⎷2est à rejeter carq >0)donc????h(x) = (⎷2)x
3.f(x) =qxetf(0,5) = 0,6doncq0,5=⎷
q= 0,6doncq= 0,62= 0,36donc????f(x) = 0,36xExercice 3 : (46 p 48)
1. une baisse de10%correspond à une multiplication parCM= 1-10
100= 0,9donc la valeur de la
machine danstannées est? ???f(t) = 10×0,9t2.0< q <1donc la fonctionfest strictement décroissante
t0 10 10 f(t)? ?3,487 f(10) = 10×0,910?3,4873. courbe
graphiquement, la machine perd la moitié de10000e? ???après 6,5 ans numériquement, avec la calculatrice pour résoudref(t)<5 t6,46,5 f(t)5,0414,989 comparaison à5> 5<5 on retrouve 6,5 ans0123456789
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9xx?-→10×0,9x
Exercice 4 : (47 p 48)
1.? ???f(t) = 50200×0,8t(taux = -20% donne CM = 0,8)2.t= 0correspond à l"année2011ett= 10correspond à l"année2021
3. numériquement, avec la calculatrice pour résoudref(t)<12500
t6,236,24 f(t)1250112473 comparaison à12500> 12500<12500 on trouve?6,23ans soit durant l"année2011 + 6 =????20172 fonction exponentielle de base e2.1 activité
soit la fonctionfdéfinie parf(x) =ex(exponentielx)la fonction "exponentielle de basee" appelée plus simplement "fonction exponentielle" oùe?2,718(appelé
"nombre de Néper")