(x1 et x2 sont alors appelées les racines du trinôme) Cela signifie que si l' équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solutions, alors le trinôme ax2 + bx + c ne
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Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c Exemple : L'équation 3x2 − 6x − 2 = 0 est une équation du second degré
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(x1 et x2 sont alors appelées les racines du trinôme) Cela signifie que si l' équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solutions, alors le trinôme ax2 + bx + c ne
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((c)) La fonction trinôme du second degré est, apr`es les fonctions affines, la plus simple que l'on rencontre x1 est une racine double de l'équation f(x) = 0
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3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines 7 Théorème 2 : Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant
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12 sept 2015 · 2 Racines du trinôme Les solutions de l'équation p(x) = 0 dépendent du signe du discriminant ∆ • Si ∆ > 0, on a deux racines distinctes : x1 =
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Autrement dit une racine de P correspond à une solution de l'équation : dans Application à la factorisation de polynômes et à la recherche de racines :
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On appelle racine du polynôme ² toute solution de l'équation : ² 0 • Si le polynôme admet deux racines et distinctes ou confondues, alors : leur somme
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P(x) = ax2 + bx + c où, a, b et c sont des réels et a = 0 Définition 1 2 On appelle discriminant de P le nombre ∆ = b2 − 4ac 2 Etude des racines de P Propriété
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Une fonction polynomiale de degré deux (ou trinôme du second degré) est une fonction de Si ∆ = 0, l'équation admet une racine réelle (dite double) x0 = − b
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Trinômes du second degré
A. Fonctions trinômes du second degré
On appelle fonction trinôme une fonction qui à tout réel x associe ax2 + bx + c, avec a, b et c réels et
a non nul. ax2 + bx + c est la forme développée du trinôme.1. Forme canonique
Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² +
avec α=-b2a et β=c-b2
4a.Démonstration
Vérifions :
a(x-α)2+β=a(x+b 2a)2 +c-b24a=a(x2+b
ax+b24a2)+c-b2
4a=ax2+bx+b2
4a+c-b2
4a =ax2+bc+c2. Variations
Le tableau de variations d'une fonction trinôme dépend du signe de a.Si a > 0Si a < 0
Démonstration
Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² + .On se place dans le cas a > 0.
KB 1 sur 5x
a(x - )² + x a(x - )² + Considérons 2 réels u et v de l'intervalle ]-∞ ; ] tels que u < v. On a alors u - < v - , ajouter - ne change pas l'ordre des nombres.Comme u et v sont dans l'intervalle ]-∞ ; ] , u - et v - sont négatifs, or la fonction carré est
décroissante dans ℝ-, on a donc (u - )² > (v - )². Multiplier par a > 0 et ajouter ne change pas l'ordre des nombres, donca(u - )² + > a(v - )² + et f (u) > f (v). f a changé l'ordre de u et v, donc f est décroissante
sur ]-∞ ; ]. On démontre de même que f est croissante sur [ ; +∞[.Remarques
1) Dans tous les cas on a un extremum égal à pour x = .
Si a > 0, il s'agit d'un minimum et si a < 0, il s'agit d'un maximum.2) La courbe représentative d'une fonction trinôme est toujours une parabole.
Si a > 0 elle est tournée vers le haut et si a < 0, elle est tournée vers le bas.3. Forme factorisée
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme a(x - x1)(x - x2).Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une
solution car on a a(x - x1)(x - x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2. (x1 et x2 sont alors appelées les racines du
trinôme)Cela signifie que si l'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solutions, alors le trinôme ax2 + bx + c ne
peut pas être factorisé.B. Équations du second degré
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. La forme canonique du trinôme ax² + bx + c est a(x - )² + .L'équation proposée est donc équivalente à a(x - )² + = 0, soit a(x - )² = - et finalement
(x-α)2=-β a.On sait que α=-b
2a et β=c-b2
4a, donc -β
a=-c a+b24a2=b2-4ac
4a2. En posant = b² - 4ac, on
obtient l'équation : (x+b 2a)24a2. Le nombre est appelé discriminant du trinôme. On peut
alors distinguer plusieurs cas : -si < 0, alors l'équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif. -si = 0, alors l'équation devient (x+b 2a)2 =0 et elle a une solution unique x=-b 2a. -si > 0, on a 2 possibilités : soit x+b 4a2=2asoit x+b
2a=- 4a2=-2aKB 2 sur 5
Théorème 1
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On appelle discriminant de cette équation le réel = b² - 4ac. 2a. •Si = 0, l'équation a une seule solution x0=-b 2a. •Si < 0, l'équation n'a pas de solution réelle. Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 sont appelées racines du trinôme.Théorème 2 (factorisation)
On considère le trinôme ax² + bx + c (avec a ≠ 0) et son discriminant = b² - 4ac.
•Si > 0, le trinôme a deux racines distinctes x1 et x2 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2).•Si = 0, le trinôme a une seule racine x0 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x - x0)².
On dit alors que x0 est une racine double.
•Si < 0, le trinôme n'a pas de racine et ne peut pas être factorisé.Exemples
1) Résoudre x² - 5x + 6 = 0.
On a = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1. Il ya donc deux solutions qui sont : x1 =5 - 1 2 =42 =2 et x2 =5 1
2 =6 2 =3. On a la factorisation x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).2) Résoudre 4x² - 4x + 1= 0.
On a = (- 4)² - 4 × 4 × 1 = 16 - 16 = 0. Il a donc une seule solution x1 =4 8 =1 2.On a la factorisation 4x² - 4x + 1= 4
x-12 2
3) Résoudre x² + x + 1 = 0.
On a = 1² - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = - 3. Il n'y a donc pas de solution réelle. Le trinôme x² + x + 1
ne peut pas être factorisé.C. Signe du trinôme
On considère la fonction trinôme définie par f (x) = ax² + bx + c et son discriminant .
Le signe du trinôme va dépendre de l'existence d'éventuelles racines. •Si > 0, l'équation f (x) = 0 a deux solutions x1 et x2 et f (x) = a(x - x1)(x - x2).KB 3 sur 5
On a alors le tableau de signe suivant :
ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a entre les racines.
•Si = 0, l'équation f (x) = 0 a une seule solution x1. On a alors la factorisation f (x) = a(x - x1)². ax² + bx + c est du signe de a.•Si < 0, l'équation f (x) = 0 n'a pas de solutions, le trinôme ne peut pas être factorisé en un
produit de facteurs du premier degré. ax² + bx + c est du signe de a.En résumé :
ax² + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu'elles existent.Exemples
1) Étudier le signe de x² - 5x + 6.
L'équation x² - 5x + 6 = 0 a deux solutions x1 = 2 et x2 = 3. On en déduit le tableau de signes
suivant : x² - 5x + 6 est positif sauf si x est entre 2 et 3.