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Mathematiques pour Ingenieur

L. El Alaoui

email : elalaoui@math.univ-paris13.fr https://www.math.univ-paris13.fr/ elalaoui/PageMPI/MPI.html bureau : D318

Institut Galilee { Universite Paris 13

Septembre 2016 { Janvier 2017

Deroulement

Enseignements

17 seances de cours magistraux de 1h30,

I24 seances de travaux diriges de 1h30,Contr^ole continu (interrogations en amphi et en td )

Deux partiels :

I lundi 24 octobre 2016,

Ilundi 16 janvier 2017.Note minimale : 09/20!

Presence obligatoire en Cours et Tds.

Plan du cours

Rapp els

Suites, S eries,D eveloppementde T aylor

2. F onctionsde plusieurs va riables,calcul d'extrema 2.App roximationde f onctions 2.1

Interp olationp olynomiale

2.2 Interp olationpa rsplines 3.R esolutionde syst emeslin eaires 3.1

Conditionnement

3.2 D ecompositionCholesky ,LU 4.R esolutionnum eriqued' equationsnon lin eaires 4.1

M ethodede la dichotomie

4.2

M ethodede p ointxe

4.3

M ethodede Newton 5.Int egrationet

Equations dierentielles5.1M ethodesd'app roximationd'une int egrale 5.2 M ethodede r esolutiona pprochesd'u ne equationdi erentielle3

References bibliographiques

Analyse :

I F. Monna et G. Monna,Suites et series de fonctions - Exercices corriges avec rappels de cours,

Broche.

IJ-J. Colin, J-M. Morvan et R. Morvan,Fonctions usuelles : Exercices corriges avec rappels de cours,

Broche.

IJ-M. Monier,Cours de mathematiques - Analyse PCSI-PTSI - Cours et exercices corriges,

Iwww.bibmath.fr (exercices corriges)

Iles livres de l'auteur J-M. Morvan http ://www.amazon.fr/Jean-Marie-Morvan/e/B004N21TGU et plus generalement dans la collection cepadues (www.cepadues.com)Analyse numerique : I A. Fortin,Analyse numerique pour ingenieurs, Broche. IF. Filbet,Analyse numerique - algorithme et etude mathematique. Cours et exercices corriges,

Dunod.Pour aller plus loin ...

I W. Rudin,Principes d'analyse mathematique : cours et exercices, Dunod. IM. Lefebvre,Equations dierentielles, Collection Parametres . IAllaire G. et Kaber S.M.,Algebre lineaire numerique : Cours et exercices, Ellipses. IDemailly J-P.,Analyse numerique et equations dierentielles, Presses Universitaires de Grenoble. IQuarteroni A., Sacco R. , Saleri F.,Methodes numeriques pour le calcul scientique : programmes en MATLAB, Springer. 4

1. Rappels

1.1 Suites r

eelles O u trouve-t-on des suites?Approximation des nombres reels :

Approcher des reels tels que

p2,ou de nombres denis comme solution d'une equation (ex=x3). Le but est alors de trouver les "meilleures" suites de reels, c'est-a dire celles

qui convergent le plus vite vers ces nombres ...Description du comportement de phenomenes dont l'etat, a un moment donne (mois,

annee), est represente par un nombre reel."Un homme met un couple de lapins dans un lieu isole de tous les c^otes par un mur.

Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple a compter du troisieme mois de son existence? "(Liber abaci, ouvrage de Leonardo Fibonacci ecrit en 1202)Unesuite de nomb rer eelsest une a pplicationde NdansR, (un) :N!R n!un:Denition 1

suite arithmetique de raisona:u02R,8n2N;un+1=un+aaveca;r2R,suite geometrique de raisonr:u02R,8n2N;un+1=r unaveca2R,suite puissance :un=navecn1 et2R,5

D'une suite donnee on peut prendre dans l'ordre certains de ses termes, on dit alors qu'on en

extrait une sous-suite.Soit :N!Nune application strictement croissante. On dit que (vn) estune suite

extraite (ou une sous-suite ) de (un) si pour toutn2N,vn=u(n).Denition 2 Exemple :(n) = 2n;vn=u2n; (n) = 2n;vn=u2n.i)Une suite ( un) estmajo reesi

9M2R;8n0;unM:ii)Une suite ( un) estmino reesi

9m2R;8n0;unm:iii)Une suite ( un) estb orneesi elle est majo reeet mino ree,i.e.

9M0;8n0;junj M:Denition 36

i)Une suite ( un) estcroissante apa rtird'un certain rang si

9N2N;8nN;un+1un:ii)Une suite ( un) estd ecroissante apa rtird'un certain rang si

9N2N;8nN;un+1un:iii)Une suite ( un) eststationnaire si apa rtird'un certain rang elle est constante.

9N2N;8nN;un=uN:iv)Une suite est (strictement) monotone si elle est (strictement) cro issanteou

(strictement) decroissante.v)Une suite ( un) estp eriodique apa rtird'un certain rang si

9N2N;9p2N;8nN;un=un+p:Denition 4

Exemple.

u n=E(4n+1). La suite (un) est constante a partir du rangn0= 4.La suite des decimales de 190
est constante a partir du rangn0= 2.u n=jn5j. La suite (un) est croissante a partir du rangn0= 5.La suite des decimales de

532475est periodique, de periodep= 2 a partir du rangn0= 3.7

Les operations (addition, multiplication par un scalaire, multiplication, comparaison) sur les reels

s'etendent aux suites en des operations terme a terme.On dit que la suite (un) converge vers un reel`(sa limite) si tout intervalle ouvert contenant`,

contient aussi tous lesunpournassez grand. Autrement dit, a partir d'un certain rangunest proche de`.On dit que (un)converge vers `2Rsi

8 >0;9N();8nN();jun`j< :On noteun!`ou limn!+1un=`ou limnun=`.

Le reel`s'appellelimite de la suite. Denition 5

Exemple.un= 1 +sin(n)n

La suite (un) converge vers`= 1 :

jun`j sin(n)n 1n :Figure:Les 50 p remierstermes de l asuite ( un).8

La suite (un)tend vers + 1si

8A>0;9n02N;8nn0;un>A:La suite (un)tend vers 1si

8A>0;9n02N;8nn0;un n!+1un= +1ouun!+1(resp. limn!+1un=1ouun!1)Denition 6
Exemple.

Suite arithmetique :un=u0+an.

ISia>0, (un) tend vers
+1.I
Sia= 0, (un) est
constante.I
Sia<0, (un) tend vers

1.Suite geometrique :un=u0rn.

ISiu0= 0, (un) est
constante.
ISir 1, etu06= 0, (un)
ne converge pas.I
Si1 vers 0.
ISir= 1, (un) est
constante.I
Sir>1 etu0>0, (un)
tend vers +1.
ISir>1 etu0<0, (un)
tend vers1.Suite de Riemannun=n.
ISi >0, (un) tend vers
+1.I
Si= 0, (un) est
constante (tend vers 1).I
Si <0, (un) tend vers 0.9
Si (un) est une suite convergente, alors sa limite est unique.Toute suite convergente est bornee.
Une suite majoree et croissante est convergente.
Une suite minoree et decroissante est convergente. Une suite croissante non majoree tend vers +1.Proposition 1 Soient (un) et (vn) deux suites convergentes de limite respective`et`0. i)8;2R;limn(un+vn) =`+`0, ii) lim n(unvn) =``0, iii) si p ourtout n;un6= 0 etx6= 0,zn=1u nalors limnzn=1` iv) lim njunj=j`j, v) si `6= 0,unest du signe de`a partir d'un certain rang,Proprietes10
Point fixe
Soient (un) une suite convergente d'elements d'un intervalleIdeRdont la limite` appartient aI, etune fonction continue en`. Alors la suite ((un)) est convergente et a pour limite(`).Theoreme 1 On deduit de ce theoreme que si une suite veriant la relation de recurrenceun+1=(un) est
convergente et a pour limite`et si estest continue en`, on a alors :`=(`).Un tel point`est ditp ointxe de .Denition 7

Remarque.
Si la fonction continue n'a pas de point xe alors une suite, qui verie la relation u
n+1=(un), ne peut avoir de limite;en revanche sia un point xe cela n'entra^ne pas que la suite admette ce point comme
limite.Un point xe, de coordonnees (`;`), est le point d'intersection du graphe deet de la premiere bissectrice.11
Comparaison de suites

Soient (un) et (vn) deux suites de reels convergentes.Si pour toutn2N,unvn, alors : limnunlimnvn:Soitvntendant vers 0. Si pour toutn2N,junj jvnj, alors (un) tend vers 0.Proposition 2
Soient (un), (vn) et (wn) trois suites de reels telles que (un) et (wn) convergent vers la m^eme limite`, et pour toutn2N,unvnwn. Alors (vn) converge vers`.Corollaire 1
Exemple.un=n+ (1)nn+ 2, limnun= 1.Soient (un) et (vn) deux suites de reels telles que pour toutn2N,unvn.Siuntend vers +1alorsvntend vers +1.Sivntend vers1alorsuntend vers1.Proposition 312
Soient (un) et (vn) deux suites de reels.On dit que la suite (un) estdomin eepa rla suite ( vn) si :
9M2R;8n2N;junj Mjvnj:

On ecritun=O(vn), qui se lit" unest un grandOdevn".On dit que la suite (un) estn egligeabledevant la suite ( vn) si :

8" >0;9n0;8nn0;junj "jvnj:

On ecritun=o(vn), qui se lit" unest un petitodevn".On dit que la suite (un) est equivalente ala suite ( vn) si :

8" >0;9n0;8nn0;junvnj "jvnj:
On ecritunvn, qui se lit" unest equivalent avn".Denition 8
Soient (un) et (vn) deux suites de reels et on suppose que lesvnsont tous non nuls.La suite (un) est dominee par (vn) si et seulement si la suite (unv
n) est bornee.La suite (un) est negligeable devant (vn) si la suite (unv n) converge vers 0.Les suites (un) et (vn) sont dites equivalentes si la suite (unv n) tend vers 1.Proposition 413
Exemple.

p4n2+ 1 =O(n);p4n2+ 1 =o(n2);p4n2+ 12n.Soient (un);(vn);(u0n);(v0n) des suites de reels.i)unvnest une relation d'equivalence dans l'ensemble des suites reelles.ii)Si unvnetvnest convergente, alorsunest convergente et limnun= limnvn.iii)Si unvnetvnest ne converge pas, alorsunest ne converge pas.iv)Si unvn, alorsunvn=o(un) =o(vn).v)Si unvnetu0nv0n, alorsunu0nvnv0netunu
0nvnv
0nsiu0n6= 0 etv0n6= 0.vi)Si un=o(vn) alorsun+vnzn.Proposition 5
Attention!En general,unu0netvnv0nn'implique pasun+vnu0n+v0n.
Exemple.un=pn

2+n+ 13
p8n3+n2, limnun=12 u n=n+ (1)n;vn=n+ (1)n, maisun+vnn'est pas equivalent a 0!14
Vitesse de convergence
Soit (un) une suite de reels convergeant vers un reel`. Si la suite (jun+1`jjun`j) est
convergente de limite, on dit que la convergence de la suite (un) vers`est :lente, lorsque= 1,geometrique de rapport, lorsque2]0;1[,rapide, lorsque= 0.Le reel, lorsque qu'il existe, est appeleco ecientde convergence de la suite. Denition 9

Remarque.Si la suite (jun+1`ju
n`) converge, sa limiteest necessairement dans [0;1].
Exemple.un=1n
b;b>0. La suite (un) converge lentement. u n=an;0eries numeriquesParadoxe de Zenon d'Elee :Achille ne rattrape jamais la tortue apres laquelle il court!
Supposons qu'Achille et la tortue courrent le long d'une ligne droite, Achille avancant a
10m.s1, la tortue a 1m.s1et la tortue partant avec 100m d'avance.Le temps (en seconde) necessaire est :

10 + 1 +
110
+1100
+11000
+Il s'agit d'une somme comportant une innite de termes ...qui vaut un nombre ni! les series reelles permettent de construire des nombres commeequi ne sont ni rationnels ni m^eme algebriques et d'en calculer des valeurs approchees. Les series de fonctions conduisent a denir de nouvelles fonctions. Les series entieres et les
series de Fourier, en particulier.Soit (un) une suite de nombres reels. On associe a cette suite la suite (Sn) denie par
S n=nX k=0u k:La suite (Sn) s'appelle laserie de terme generalunetSnest appelee lasomme partielle d'ordrende la serie.On notera simplement (
Pun) cette suite.Denition 1016

La serie (
Pun) converge si la suite (Sn) converge et diverge sinon. Si la serie converge alorss= limnSnest appelee lasommede la serie et on notes=+1X n=0u n.Soit ( Pun) une serie convergente de sommes.On appellele reste d'ordre nde la serie (Pun),Rn=sSn.Denition 11
Remarque :La suite peut-^etre denie pourn1, auquel cas on utilisera le m^eme vocabulaire.La serie de terme generalun=xnest appeleeserie geometrique de raisonx.Denition 12

Sijxj 1, la serie geometriquePxndiverge.Sijxj<1, la serie geometriquePxnconverge et sa somme vaut11x.Pour toutx2]1;1[,+1X
n=0x n=11x.Proposition 617 Soient (un) et (vn) deux suites reelles telles que les seriesPunetPvnsont convergentes.
Alors la serieP(un+vn) est convergente et

X(un+vn) =Xu
n+Xv n:Proposition 7(Linearite)La serie ( Pun) est convergente si et seulement si elle verie le critere de Cauchy
8 >0;9N2N;8mnN;
m X k=nu k < :Theoreme 2(Critere de Cauchy.)Si (
Pun) converge alors limnun= 0.Corollaire 2

Remarque :La reciproque est fausse.Si le terme generalunne tend pas vers 0 on dit que la serie (Pun) diverge grossierement.Denition 1318

Soient (

Pun) et (Pvn) deux series.i)Si apa rtird'un certain rang, junj vnet si la serie (Pvn) est convergente, alors la

serie (Pun) est convergente.ii)Si apa rtird'un certain rang, 0 vnunet si la serie (Pvn) est divergente, alors
la serie (Pun) est divergente.Theoreme 3(de comparaison.)Soient (quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Mathematiques pour Ingenieur

L. El Alaoui

Institut Galilee { Universite Paris 13

Septembre 2016 { Janvier 2017

Deroulement

Enseignements

17 seances de cours magistraux de 1h30,

Deux partiels :

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Rapp els

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Conditionnement

M ethodede la dichotomie

M ethodede p ointxe

M ethodede Newton 5.Int egrationet

References bibliographiques

Analyse :

Broche.

Broche.

Iwww.bibmath.fr (exercices corriges)

Dunod.Pour aller plus loin ...

1. Rappels

1.1 Suites r

Approcher des reels tels que

9M2R;8n0;unM:ii)Une suite ( un) estmino reesi

9m2R;8n0;unm:iii)Une suite ( un) estb orneesi elle est majo reeet mino ree,i.e.

9M0;8n0;junj M:Denition 36

9N2N;8nN;un+1un:ii)Une suite ( un) estd ecroissante apa rtird'un certain rang si

9N2N;8nN;un+1un:iii)Une suite ( un) eststationnaire si apa rtird'un certain rang elle est constante.

9N2N;8nN;un=uN:iv)Une suite est (strictement) monotone si elle est (strictement) cro issanteou

9N2N;9p2N;8nN;un=un+p:Denition 4

Exemple.

532475est periodique, de periodep= 2 a partir du rangn0= 3.7

8 >0;9N();8nN();jun`j< :On noteun!`ou limn!+1un=`ou limnun=`.

Le reel`s'appellelimite de la suite. Denition 5

Exemple.un= 1 +sin(n)n

La suite (un) converge vers`= 1 :

La suite (un)tend vers + 1si

8A>0;9n02N;8nn0;un>A:La suite (un)tend vers 1si

Exemple.

Suite arithmetique :un=u0+an.

ISia>0, (un) tend vers

Sia= 0, (un) est

Sia<0, (un) tend vers

1.Suite geometrique :un=u0rn.

ISiu0= 0, (un) est

ISir 1, etu06= 0, (un)

ISir= 1, (un) est

Sir>1 etu0>0, (un)

ISir>1 etu0<0, (un)

ISi >0, (un) tend vers

Si= 0, (un) est

Si <0, (un) tend vers 0.9

Une suite majoree et croissante est convergente.

Point fixe

Remarque.

Comparaison de suites

9M2R;8n2N;junj Mjvnj:

8" >0;9n0;8nn0;junj "jvnj:

8" >0;9n0;8nn0;junvnj "jvnj:

Exemple.

0nsiu0n6= 0 etv0n6= 0.vi)Si un=o(vn) alorsun+vnzn.Proposition 5

Exemple.un=pn

2+n+ 13

Vitesse de convergence

Remarque.Si la suite (jun+1`ju

Exemple.un=1n

10m.s1, la tortue a 1m.s1et la tortue partant avec 100m d'avance.Le temps (en seconde) necessaire est :

10 + 1 +

Pun) cette suite.Denition 1016

La serie (

Alors la serieP(un+vn) est convergente et

X(un+vn) =Xu

8 >0;9N2N;8mnN;

Pun) converge alors limnun= 0.Corollaire 2

Soient (