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1 Ensembles et logique mathématique 3 1 1 ´Eléments de logique mathématique Mathématiques pour l'ingénieur, Tome 2 5 Les p-sous

Maurice Chossat

Yannick Privat

Mathématiques

de l"ingénieur

AIDEMÉMOIRE

4 e

édition

chossat_prelim.indd 308/03/2017 21:56:14

© Dunod, 2001, 2010, 2012, 2017

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.com

978-2-10-076223-1

Illustration de couverture :

© belchonoksun - 123rf.com

chossat_prelim.indd 408/03/2017 21:56:15 III © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit

Table des matières

Partie A : Algèbre et géométrie1

1. Arithmétique, algèbre et trigonométrie3

1.1 Symboles usuels de lalgèbre3

1.2 Structures algébriques4

1.3 Calculs dans lensemble des nombres réels6

1.4 Numération binaire10

1.5 Algèbre de la logique ou algèbre de Boole13

1.6 Analyse combinatoire15

1.7 Équations algébriques18

1.8 Déterminants, systèmes linéaires et matrices24

1.9 Fonctions usuelles simples40

1.10 Croissance et limites46

1.11 Nombres complexes ou imaginaires49

1.12 Trigonométrie50

1.13 Séries61

2. Calcul vectoriel et calcul tensoriel77

2.1 Calcul vectoriel77

2.2 Vecteurs glissants. Moments81

2.3 Analyse vectorielle84

2.4 Calcul tensoriel90

3. Géométrie97

3.1 Birapport, critère de cocyclicité97

3.2 Géométrie et formules du triangle98

3.3 Géométrie analytique106

ChossatTDM.fm Page III Lundi, 13. mars 2017 9:06 09 IV ide-mémoire de Mathématiques de lingénieur

3.4 Propriétés métriques des courbes planes117

3.5 Courbes en coordonnées polaires r = f (θ)119

3.6 Problèmes relatifs au cercle121

3.7 Coniques124

3.8 Géométrie dans lespace138

Partie B : Analyse et probabilités163

4. Éléments danalyse165

4.1 Dérivées et différentielles165

4.2 Intégrales174

4.3 Équations différentielles213

4.4 Équations intégrales 225

4.5 Calcul des variations228

5. Analyse numérique231

5.1 Dérivation numérique, différences finies 231

5.2 Calcul approché des intégrales définies234

5.3 Polynômes dinterpolation de Lagrange238

5.4 Résolution numérique d'équations non linéaires 239

5.5 Méthodes numériques de résolution des équations

différentielles246

5.6 Optimisation dans R

n 249

5.7 Calcul numérique de valeurs propres et de vecteurs

propres 262

6. Fonctions diverses267

6.1 Intégrales de Fresnel267

6.2 Sinus intégral et cosinus intégral268

6.3 Fonction Θ ou fonction derreur et fonction π269

ChossatTDM.fm Page IV Lundi, 13. mars 2017 9:06 09 V © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit

Table des matières

6.4 Fonctions eulériennes 270

6.5 Fonction hypergéométrique 274

6.6 Fonctions de Bessel 275

6.7 Série et polynômes de Legendre 283

6.8 Fonction de Weber-Hermite 285

6.9 Polynômes de Tchebycheff 288

6.10 Polynômes de Laguerre 291

7. Algèbre des transformations293

7.1 Transformation de Laplace293

7.2 Transformation de Fourier313

7.3 Transformation de Mellin315

8. Probabilités et statistiques319

8.1 Probabilités319

8.2 Éléments de statistiques341

8.3 Simulation de variables

aléatoires réelles et méthode de Monte-Carlo 353

Index356

ChossatTDM.fm Page V Lundi, 13. mars 2017 9:06 09 99
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit A

AlgèbreAlgèbre

et géométrie 1 3 © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit

1.1Symboles usuels de l'algèbre

Symboles Symboles dits quantificateurs

?signifie " quel que soit » ; par exemple ?a ? E, quel que soit a appartenant à E. ?signifie " il existe » ; par exemple ?a ? E, il existe a appartenant à E, tel que ... . a ? Ea est un élément de l"ensemble E. a ? Ea n"appartient pas à E. Symbole de linclusion signifiant que F est un sous- ensemble de E, c"est-à-dire contenu dans E et pouvant

être E lui-même.

∅Ensemble vide. E ∩ FIntersection de E et de F; ensemble des éléments communs à E et à F. E ? FRéunion de E de F; ensemble des éléments apparte- nant soit à E, soit à F, soit à leur intersection. C A

Complémentaire de A sous-ensemble de E; on a

A ∩ C

A a b = cRelation exprimant que c est le résultat de l"opération interne effectuée sur a et b éléments de E. On trouve aussi : a ? b ;a b;a + b;a . b. a e = e a = a e est l"élément neutre de l"opération . a a′ = e a et a′ sont des éléments symétriques dans l"opération EF? FE?

Arithmétique,

algèbre et trigonométrie LivreSansTitre1.book Page 3 Jeudi, 2. mars 2017 4:42 16 4

Algèbre et géométrie

aRb a et b satisfont à une relation binaire désignée par R. f (x)x élément de E s"applique sur y, élément de F. y ? f (x)L"application est bijective. f o gapplication composée signifiant y f [g(x)] ; ne pas confondre avec g o f signifiant y g[f (x)]. a modulo nsignifie a + Kn, quel que soit K entier relatif. |a| valeur absolue ou module de a.

1.2Structures algébriques

A) Groupe

Groupe abélien : ?a, b ? G : a b = b a (commutativité). y→

Groupe

Ensemble G non vide possédant une loi de composition interne satis- faisant aux axiomes suivants :

1°?a, b, c ? G : (a b) c = a (b c) (associativité),

2°?e ? G, ?a : a e = e a = a(e, élément neutre),

3°?a ? G, ?a′ : a′ a = a a′ = e(a′ , symétrique).

Propriétés

?a, b, c ? G, a c = b c a = b, c a = c b a = b (tout

élément est régulier) ;

?a, b ? G, ?x ? G tel que a x = b : x = a′ b etx a =b : x = b a′. Sous-groupe : G′ G est un sous-groupe de G si ?a, b ? G′ : a b′ ? G′ (b′ symétrique de b dans G). LivreSansTitre1.book Page 4 Jeudi, 2. mars 2017 4:42 16 5 1

Arithmétique, algèbre et trigonométrie

B) Anneau

Anneau unitaire : ?e ? A, ?a : ea = ae = e

(e, élément neutre pour la deuxième loi, appelé unité). Anneau intègre : ?a ≠ 0, ?b ≠ 0 ab ≠ 0 (pas de diviseurs de zéro).

C) Corps

Anneau

Ensemble A muni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : I.A est un groupe abélien pour la première loi (addition) :

1° ?a, b, c ? A : (a + b) + c = a + (b + c);

2°?0 ? A, ?a : a + 0 = 0 + a = a;

3°?a ? A, ?(- a) : a + (- a) = (- a) + a = 0 ;

4° ?a, b ? A : a + b = b + a.

II.?a, b, c ? A : (ab) c = a(bc) (associativité de la multiplication). III.?a, b, c ? A : a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc (distributivité).

Propriétés

?a, b : (- a) b = a(- b) = (- ab), ?a : a.0 = 0.a = 0. Corps Ensemble K muni de deux lois de composition interne satisfaisant aux axiomes suivants : I. K est un groupe abélien pour la première loi (addition).

1° ?a, b, c ? K: (a + b) + c = a +(b + c),

2° ?0 ? K, ?a : a + 0 = 0 + a = a,

3° ?a ? K, ?(- a) : a +(- a) = (-a) + a = 0,

4° ?a, b ? K : a + b = b + a.

II.K (privé de 0) est un groupe pour la deuxième loi (multiplication).

1° ?a, b, c ? K : (ab) c = a(bc),

2° ?e ? K, ?a : ea = ae = a,

3° ?a ≠ 0, ?a

-1 : aa -1 = a -1 a = e, III. ?a, b, c ? K : a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc. Corps commutatif (ou droit) : la deuxième loi est commutative. LivreSansTitre1.book Page 5 Jeudi, 2. mars 2017 4:42 16 6

Algèbre et géométrie

1.3Calculs dans l'ensemble

des nombres réels

1.3.1Exposants et radicaux

Exposants : p, q entiers positifs, négatifs ou nuls, a et b réels différents de 0 a° = 1,a ...p = ,a p a q = a p + q (a p q = a pq ,(ab) p = a p b p Radicaux : n, q entier positifs, p entier relatif, a et b réels = b ? a = b q = = = a m m, m′ rationnels, a et b réels positifs a m a m′ = a m + m′ ,(a m m′ = a mm′ ,a ...m (ab) m = a m b m

1.3.2Identités usuelles

X X X 1 a p a b p a p b p a q a nq a qn a npnq a pq a p q 1 a m a b m a m b m a b±() 2 a 2

2ab±b

2 a 2 b 2 -ab+()ab-()= ab ab + 2 2 ab - 2 2 a b±() 3 a 3 3a 2 b±3ab 2 b 3 LivreSansTitre1.book Page 6 Jeudi, 2. mars 2017 4:42 16 7 1

Arithmétique, algèbre et trigonométrie

Formule des anneaux :

x n ... a n = (x - a) (x n - 1 + ax n - 2 + ··· + a p x n - p - 1 + ··· + a n - 1

Identité de Lagrange :

(a 2 + b 2 + c 2 ) (a′ 2 + b′ 2 + c′ 2 ) - (aa′ + bb′ + cc′) 2 = (bc′ - cb′) 2 + (ca′ - ac′) 2 + (ab′ - ba′) 2 Théorème de Bezout. - Si 2 polynômes A et B sont premiers entre eux, ilexiste un polynôme u de degré < à celui de B et un polynôme v de degré 1.3.3Sommations usuelles Somme des premiers termes d"une suite arithmétique : a = premier terme, r = raison, n = nombre de termes. Somme des n premiers termes S = a + (a + r) +...+ (a + (n - 1)r) Somme des premiers termes d"une suite géométrique : q = raison, a = premier terme

Somme des n premiers termes S = a + aq +...+ aq

n...1 1 12 22
12 11 33 2
12 11 1 12 1 1 ()2 () 3 6 n n ni ij in ijn ni ij ijk in ijn ijkn kpk nn n p

2an1-()r+[]n

2 a q n 1- q1-quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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Maurice Chossat

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978-2-10-076223-1

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Table des matières

Partie A : Algèbre et géométrie1

1. Arithmétique, algèbre et trigonométrie3

1.1 Symboles usuels de lalgèbre3

1.2 Structures algébriques4

1.3 Calculs dans lensemble des nombres réels6

1.4 Numération binaire10

1.5 Algèbre de la logique ou algèbre de Boole13

1.6 Analyse combinatoire15

1.7 Équations algébriques18

1.8 Déterminants, systèmes linéaires et matrices24

1.9 Fonctions usuelles simples40

1.10 Croissance et limites46

1.11 Nombres complexes ou imaginaires49

1.12 Trigonométrie50

1.13 Séries61

2. Calcul vectoriel et calcul tensoriel77

2.1 Calcul vectoriel77

2.2 Vecteurs glissants. Moments81

2.3 Analyse vectorielle84

2.4 Calcul tensoriel90

3. Géométrie97

3.1 Birapport, critère de cocyclicité97

3.2 Géométrie et formules du triangle98

3.3 Géométrie analytique106

3.4 Propriétés métriques des courbes planes117

3.5 Courbes en coordonnées polaires r = f (θ)119

3.6 Problèmes relatifs au cercle121

3.7 Coniques124

3.8 Géométrie dans lespace138

Partie B : Analyse et probabilités163

4. Éléments danalyse165

4.1 Dérivées et différentielles165

4.2 Intégrales174

4.3 Équations différentielles213

4.4 Équations intégrales 225

4.5 Calcul des variations228

5. Analyse numérique231

5.1 Dérivation numérique, différences finies 231

5.2 Calcul approché des intégrales définies234

5.3 Polynômes dinterpolation de Lagrange238

5.4 Résolution numérique d'équations non linéaires 239

5.5 Méthodes numériques de résolution des équations

5.6 Optimisation dans R

5.7 Calcul numérique de valeurs propres et de vecteurs

6. Fonctions diverses267

6.1 Intégrales de Fresnel267

6.2 Sinus intégral et cosinus intégral268

6.3 Fonction Θ ou fonction derreur et fonction π269

Table des matières

6.4 Fonctions eulériennes 270

6.5 Fonction hypergéométrique 274

6.6 Fonctions de Bessel 275

6.7 Série et polynômes de Legendre 283

6.8 Fonction de Weber-Hermite 285

6.9 Polynômes de Tchebycheff 288

6.10 Polynômes de Laguerre 291

7. Algèbre des transformations293

7.1 Transformation de Laplace293

7.2 Transformation de Fourier313

7.3 Transformation de Mellin315

8. Probabilités et statistiques319

8.1 Probabilités319

8.2 Éléments de statistiques341

8.3 Simulation de variables

Index356

AlgèbreAlgèbre

1.1Symboles usuels de l'algèbre

Symboles Symboles dits quantificateurs

1.1 Symboles usuels de lalgèbre3

1.3 Calculs dans lensemble des nombres réels6

3.8 Géométrie dans lespace138

4. Éléments danalyse165

5.3 Polynômes dinterpolation de Lagrange238

6.3 Fonction Θ ou fonction derreur et fonction π269