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Math´ematiques pour l"ing´enieur 1

Martine Olivi

11 d´ecembre 2007

1 INRIA, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, FRANCE,{olivi}@sophia.inria.fr, phone : 33 4 92 38 78

77, fax : 33 4 92 38 78 58

Chapitre 1Signaux et syst`emesLes notions de signaux et syst`emesapparaissent dans de nombreux domaines des sciences et tech-

nologies.Pourles d´ecrire et les ´etudier,on disposede puissantsoutils math´ematiques, suffisament

g´en´eraux pour s"appliquer `a des domaines tr`es divers. L"objectif de ce cours est de pr´esenter l"es-

sentiel de ces outils math´ematiques. Lorsque on observe des ph´enom`enes physiques, la notion designal correspond aux variations d"une quantit´e en fonction d"une ou plusieurs variables, par exemple : - l"intensit´e d"un courant ´electrique - la diff´erence de potentiel - la position d"un mobile au cours du temps - les niveaux de gris des points d"une image - l"intensit´e d"un son Nous nous bornerons au cas d"une variable qui peut ˆetre le temps, mais aussi la profondeur en

g´eophysique, l"altitude en m´et´eorologie, etc... La notion de fonction, en math´ematiques permet de

mod´eliser de nombreux signaux. Cependant, la notion de distribution est une mod´elisation `a la

fois plus g´en´erale et plus satisfaisante des signaux. On distingue lessignaux analogiques x:t→x(t)pour lesquels la variabletest continue et les signaux discrets x:n→xn,n?Zpour lesquels la variablenest discrete. En ´economie, l"indice

hebdomadaire Dow-Jones est un signal discret. Dans les ´etudes d´emographiques, on trouve aussi

de nombreux signaux discrets. Cependant, un signal discretr´esulte souvent de l"´echantillonage

d"un signal analogique. On appelle syst`eme, un processus dans lequel on peut distinguer des signaux d"entr´ee et des

signaux de sortie. En th´eorie du signal, on ne s"int´eressepas n´ecessairement aux composantes du

syst`eme,mais surtout `a la fac¸on dont il transforme un signal d"entr´ee en signal de sortie. C"est une

3 "boite noire". Elle sera mod´elis´ee par un op´erateur agissant sur des signaux

Σ:X→Y

x(t)→y(t) avecx(t)?X, l"ensemble des signaux d"entr´ees ety(t)?Y, l"ensemble des signaux de sorties. Unsyst`eme analogiquetransforme un signal analogique en un autre signal analogique. Unsyst`eme discrettransforme un signal discret en un autre signal discret.

1.1 Exemples et applications

1.1.1 Signaux discrets

1. Impulsion unit´e

?δ0=1 n=0 sin?=0 0

2. Echelon unit´e

?un=0,nentier n´egatif u n=1 sinentier positif ou nul 0

1.1.2 Signaux analogiques

1. Echelon unit´e de Heaviside

u(t) =?0 sit<0

1 sit>0

4 0 Ce signal mod´elise l"´etablissement instantan´e d"un r´egime constant.

La valeur ent=0 peut ˆetre pr´ecis´ee ou non. On verra que pour l"int´egration cette valeur n"a

pas d"importance.

2. Cr´eneau centr´e

r(t) =?0 si|t|1 si|t|>aa>0 donn´e 0

1.1.3 Signaux exponentiels et sinusoidaux

Signaux exponentiels r´eels

Les signaux exponentiels r´eels sont de la forme x(t) =Ceat, ouCetasont des nombres r´eels.

Signaux sinusoidaux

Les valeurs d"un signal sont souvent en pratique des nombresr´eels. Cependant pour des raisons de commodit´e on utilise couramment des fonctions `a valeurs complexes. En particulier, lesignal monochromatique x(t) =eiωt,

ouωest unnombre r´eelpositif appel´e lapulsation. Ce signal est p´eriodiquede p´eriodeT=2π/ω:

x(t+T) =x(t). Lafr´equencede ce signal estf=ω

2π, elle mesure le nombre de cycles par seconde,

ou hertz (Hz). Plus g´en´eralement, on consid`erera les signaux de la forme x(t) =Aei(ωt+φ),

ouAest l"amplitude du signal etφla phase initiale. La partie r´eelle de ce signal est de la forme

x(t) =Acos(ωt+φ). 5 -0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.15 cos(9.8 t +π/3)

Signaux exponentiels complexes.

Il s"agit de signaux de la forme

x(t) =Aert+i(ωt+φ), et leurs parties r´eelles x(t) =Aertcos(ωt+φ). Elles sont repr´esent´ees par des sinusoides croissantes (r>0) ou d´ecroissantes (r<0).

02468101214161820-0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.1.4 Syst`emes

Σ:x(t)→v(t)

1.1.5 Applications

L"objet de la th´eorie des syst`emes ou th´eorie du controleest l"´etude des processus ent´ee-sortie en

vue de pr´edire leur comportement ou de les commander, c"est`a dire de d´eterminer l"entr´ee qui

produira un comportementdonn´e. Pour cela, il faut tout d"abord ´etablir un mod´ele math´ematique

du syst`eme : ´equation diff´erentielle, fonction dite de transfert, qui va relier les signaux d"entr´ee

aux signaux desortie. Pourcela, on utilise la connaissanceque l"on a duprocessus: lois physiques,

hypoth`eses raisonnables (lin´earit´e, invariance, causalit´e ...) et les mesures exp´erimentales dont on

dispose. Pour mesurer l"ad´equation du mod`ele au processus r´eel on comparera pour un mˆeme

signal d"entr´ee la sortie num´erique avec le signal r´eel.Cette comparaison s"effectuera au moyen

de normes qui mesurent la distance entre deux fonctions.

MathematiqueModelelois physiques

hypotheses experimentationsCONCRET

Processus

SortiesEntrees

x(t) y(t)

ABSTRAIT

Dans la suite de ce chapitre, nous allons introduire quelques notions essentielles en th´eorie des

syst`emes. 7

1.2 Propri´et´es alg´ebrique des syst`emesL"ensembleXdes signaux d"entr´ee et celuiYdes signaux de sortie sont suppos´es munis d"une

structure d"espaces vectoriels: on peut additionner deux signaux, multiplier un signal parune constante ... Lin´earit´e.On l"appelle aussiprincipe de superposition. Le syst`eme

Σ:X→Y,

est lineaire si?x1,x2?X,λ?RouC

Σ(x1+x2) =Σ(x1) +Σ(x2)

Σ(λx1) =λΣ(x1)

Invariance.Un syst`eme est ditinvariantoustationnairesi une translation du temps sur l"entr´ee entraine la mˆeme translation du temps sur la sortie : siΣx(t) =y(t), alorsΣxa(t) =ya(t)ou x a(t)etya(t)sont les signaux translat´es d´efinis par x a(t) =x(t-a) y a(t) =y(t-a).

Causalit´e.Un syst`eme est ditcausalsi pour deux signaux d"entr´ee qui coincident jusqu"au temps

t=t0, les signaux de sortie coincident au moins jusqu"au tempst0.

Cette propri´et´e est naturelle pour un syst`eme o`u la variable est le temps. Elle exprime le fait

que la r´eponse d"un syst`eme ne d´epend que du pass´e. Pour les syt`emes discrets,aest une nombre entier. Un syst`eme lin´eaire invariant est causal si et seulement si

1.3 Continuit´e d"un syst`eme

Un syst`eme est ditcontinusi, lorsque la suite(xn)tend versx, la suite(yn=Σxn)tend vers y=Σx. On suppose pour cela qu"une notion de convergence est d´efinie sur les ensemblesXetY

des signaux d"entr´ee et de sortie. La continuit´e est une hypoth`esenaturelle. Elle exprime que deux

signaux d"entr´ee proches conduisent `a des sorties proches. La notion de limite est souvent d´efinie 'a l"aide d"une norme.Pour les signaux analogiques les normes les plus courantes sont : 8 (i) la norme de la convergence uniforme ?x?∞=sup{|x(t)|,t?I},

Iintervalle utile,

(ii) la norme de la convergence en moyenne ?x?1=? I |x(t)|dt? (iii) l"´energie du signal : ?x?2=? I |x(t)|2dt? 1/2 (´energie dissip´ee dans une r´esistance :

Iv(t)2

Rdt). Cette derni`ere `a l"avantage d"ˆetre associ´ee `a un produit scalaire, et permet de disposer d"une notion d"orthogonalit´e de deux signaux. Un syst`eme lin´eaire est continu s"il existeM>0 tel que pour tout signalx?X o`u? ?Xet? ?Yd´esignent les normes respectives sur les espacesXetY.

1.4 Filtres analogiques

Unfiltre analogiqueest un syst`eme analogique qui est lin´eaire, invariant et continu. On montre qu"un tel syst`eme est d´ecrit par unproduit de convolution

Σ:x(t)→(h?x)(t) =?

-∞h(t-s)x(s)ds,

o`uhlar´eponse impulsionnelledu syst`eme. La r´eponse impulsionnelle est caract´eristique du filtre,

puisque sa connaissance entraine celle de la sortie correspondant `a une entr´ee quelconque. La r´eponse d"un syst`eme de convolution `a un signal de typeexponentielle complexe x(t) =eλt,λ?C est donn´e, lorsque l"int´egrale converge, par y(t) =? -∞h(t-s)eλsds=? -∞h(s)eλ(t-s)ds=eλt?∞ -∞h(s)e-λsds.

C"est un signal de la forme

y(t) =H(λ)eλt. 9

Lesignald"´entr´eeajuste ´et´emultipli´e parunnombrecomplexeconstantH(λ). Onditquele signal

λtest unefonction propredu syst`eme associ´e `a lavaleur propre H(λ). De l`a vient l"importance des

signaux de type exponentiel pour l"´etude des syst`emes de convolution. La fonctionH(λ)est la transform´ee de Laplacede la r´eponse impulsionnelleh(t)

H(λ) =?

-∞h(s)e-λsds,

elle est appel´eefonction de transfertdu syst`eme. La fonction de transfert du circuit RC s"´ecrit

H(λ) =1

1+λRC.

En particulier, la r´eponse d"un syst`eme de convolution `aun signalmonochromatique x(t)de la formex(t) =eiωtest un signal de mˆeme fr´equence y(t) =H(iω)eiωt, dont l"amplitude est donn´ee par latransform´ee de Fourierde la r´eponse impulsionnelleh(t)

H(iω) =?

-∞h(s)e-iωsds. Lesyst`emene change pasla fr´equenced"unsignal monochromatique mais modifiesonamplitude, qui devientH(iω), d"o`u le non defiltre. Si on envoie successivement au syst`eme des signaux monochromatiques de la formeeiωnto`uwn prend un certain nombre de valeurs, pourn=1,...,N, dans un intervalle (bande de fr´equence), on obtient ainsi des mesures de la fontion de transfert sur l"axe imaginaireH(iωn),n=1,...,N. On appelle ces mesures desmesures harmoniques. En pratique, de telles mesures sont souvent dis-

ponibles et le probl`eme del"identification harmoniqueconsiste `a obtenir un mod`ele math´ematique

du syst`eme `a partir de telles mesures.

1.5 Conclusion

Nous avons vu qu"il ´etait n´ecessaire d"int´egrer les signaux pour d´efinir une norme, ou exprimer

la sortie d"un syst`eme LTI comme un produit de convolution.Or, un signal n"est pas toujour une

fonction bien r´eguli`ere (continue, analytique). On auradonc besoin d"une notion d"int´egrale pour

laquelle beaucoup de fonctions sont int´egrables. C"est pourquoi nous allons aborder l"int´egrale de

Lebesgue.Cela va nouspermettrede d´efinirlesespacesLpdefonctionsint´egrables quifournissent

des espaces de signaux avec lesquels on pourra travailler. Dans ce cadre, on ´etudira les produits

de convolution. Lessignaux exponentielscomplexes jouent unrˆole essentielen traitementdu signal. Nous verrons

que tout signal p´eriodique peut s´ecrire sous la forme d"une somme infinie de signaux monochro-

matiques x(t) =∑cneiωnt, 10

ou s´erie de Fourier. Ces signaux interviennent aussi dans l"´etude des syst`emes de convolution : ce

sont des fonctions propres. Ils sont `a l"origine des transform´ees de Fourier et de Laplace, qui per-

mettentde d´efinirla fonction de transfertd"unsyst`emedeconvolution. Latransform´ee de Laplace

a la propri´et´e de transformer un produit de convolution enproduit, une ´equation diff´erentielle en

´equation alg´ebrique ... de transformer certains probl`emes difficiles en des probl`emes plus faciles

`a r´esoudre. Bibliographie :C. Gasquet, P. Witomski [3]; A.V. Oppenheim et al. [5]. 11 12

Chapitre 2Int´egration2.1 IntroductionLes d´eveloppements de la th´eorie de la mesure et de l"int´egration peuvent se grouper en quatre

grandes p´eriodes. Les origines sont tr`es anciennes et remontent au IV`eme si`ecle avant J.C. Avec Eudoxe apparait

le calcul d"aires et de volumes pour des cˆones, pyramides, etc... Archim`ede calcule les aires de

(approximation par des fonctions lin´eaires par morceaux).

Le XVII`eme si`ecle voit la cr´eation, essentiellement parNewton et Liebniz, ducalcul diff´erentiel et

int´egral. Grˆace `a la notion d"infiniments petits, on d´etermine la tangente `a une courbe, on cal-

cule l"aire d"une surface en la d´ecoupant en bandes infimes eton s"aperc¸oit que d´etermination

de tangentes et calcul d"aires sont deux facettes d"un mˆemeph´enom`ene; en fait deux op´erations

r´eciproques l"une de l"autre. Les fonctions ´el´ementaires sont d´efinies (par des expressions analy-

tiques). Les int´egrales les plus simples apparaissent (?x at2dt) et Newton d´ecouvre le logarithme (par logx=?x 1dt t).

On ne se pose pas alors la question de l"int´egrabilit´e, pour cela, il faut attendre le d´ebut du

XIX`eme si`ecle. Fourier d´ecouvre que toute fonction continue peut se repr´esenter par une s´erie tri-

gonom´etrique, et constate la n´ecessit´e de proc´eder `a des int´egrations sur de telles repr´esentations.

C"est pour r´epondre `a ce besoin que Cauchy et surtout Riemann cr´eent, en reprenant l"id´ee d"Ar-

chim´ede d"approximation par des fonctions en escalier, l"int´egrale de Riemann(1867).

Soitf:[a,b]→Rune fonctionborn´eed´efinie sur un intervalleborn´e[a,b]. SoitΔnune subdivision

de l"intervalle[a,b]: a=x0On consid`ere la somme de Riemann

I(Δn) =n∑

i=1f(ξi)(xi-xi-1),ξi?]xi-1,xi[. LorsqueI(Δn)admet une limite finie, lorsquentend vers l"infini et la plus grande des longueurs x

i-xi-1tend vers 0, on dit quefest int´egrable au sens de Riemann (R-int´egrable). La limite est

appel´ee int´egrale de Riemann sura,bet not´ee b af(x)dx.

On peut aussi d´efinir l"int´egrale de Riemann `a l"aide defonctions en escalier: une fonctionφ:

[a,b]→Rest dite en escalier si il existe une subdivisionΔnde[a,b]telle queφait une valeur

constantecisur chacun des intervalles]xi-1,xi[,i=1,...,n. L"int´egraleI(φ)deφest d´efinie par

I(φ) =n∑

i=1c i(xi-xi-1).

L"int´egrale inf´erieureI(f)

et l"int´egrale sup´erieureI(f)defsont alors d´efinies par I(f) I(f) =inf{I(ψ),ψfonction en escalier,ψ≥f}.

La fonctionf´etant born´ee,I(f)

int´egrable.

Propri´et´es :

- l"applicationI:f→?b af(x)dxest une forme lin´eaire - sifest une fonctionborn´ee, continue sur[a,b]sauf en un nombrefinide points, alorsfest

R-int´egrable

- Si(fn)n?Nest une suite de fonctions R-int´egrable sur[a,b]et si(fn)n?Nconvergeuniform´ement vers une fonctionf, alorsfest R-int´egrable et b af(x)dx=limn→∞? b afn(x)dx - th´eor`eme fondamental de l"analyse : sifest continue sur[a,b]alors la fonctionFd´efinie sur [a,b]par

F(x) =?

x af(t)dt, est d´erivable sur[a,b]et sa d´eriv´ee est ´egale `af. Bien que cette approche semble parfaitement naturelle et simple, l"int´egrale de Riemann est im-

parfaite et son maniement est malais´e et limit´e. Cela tient `a une raison unique dont nous donnons

trois aspects : 14

1. Elle demande beaucoup de r´egularit´e `a la fonction que l"on int`egre et pas "assez" de fonc-

tions sontint´egrables. Par exemple, la fonction de Dirichlet sur[0,1]:fonction caract´eristique

des rationnels, qui vaut 1 pourxrationnel et 0 pourxirrationnel, n"est pas int´egrable.

2. Il se peut qu"une suite(fn)de fonctions R-int´egrables converge simplement sur[a,b]vers

une fonctionfqui n"est pas R-int´egrable. Par exemple, si on num´erote les rationnels de l"intervalle[0,1](d´enombrables!) :r1,r2,...,rk,... et si pourn?N, on consid`ere la fonc- tion caract´eristiquegnde l"ensemble{r1,r2,...,rn}. Lesgnsont R-int´egrables et la suite(gn) converge simplement vers la fonction de Dirichlet, qui ne l"est pas.

Il en r´esulte une difficult´e ou une impossibilit´e de combinaison avec les autres op´erations de

l"analyse, i.e. d"´ecrire les relations suivantes b b afn(x)dx lim x→x0? b af(x,t)dt=? b alimx→x0f(x,t)dt b a∞∑ n=1f n(x)dx=∞∑ n=1? b afn(x)dx ∂x? b af(x,t)dt=? b a∂∂xf(x,t)dt qui sont pourtant tr`es utiles ...

3. Si l"on munit l"espaceC0[a,b]des fonctions continues sur[a,b]de la norme

?f?1=? b a|f(x)|dx, onobtientunespacequin"estpascomplet(unesuitedeCauchy peutnepasconverger).Pour les fonctions deC0[a,b], les notions d"int´egrale de Riemann et de Lebesgue coincident. Pour obtenir un espace complet, il faut consid´erer la classe desfonctions Lebesgue int´egrables. Les travaux de Riemann suscitent de nombreuses ´etudes pourd´efinir une notion d"int´egrale

dans les cas les plus g´en´eraux. C"est vers 1900 que Lebesgue propose sa th´eorie de l"int´egration.

Les sommes de Riemann ne conviennent que pour des fonctions discontinues qui varient peu

dans l"intervalle]xi-1,xi[. Le point de vue de Lebesgue est diff´erent (voir [3, 11.3]).En cr´eant

son int´egrale, Lebesgue l"a lui-mˆeme compar´ee `a l"int´egrale de Riemann : " Imaginez que je

doive payer une certaine somme; je peux sortir les pi`eces demon porte-monnaie comme elles

viennent pour arriver `a la somme indiqu´ee, ou sortir toutes les pi`eces et les choisir selon leur va-

leur. La premi`ere m´ethode est l"int´egrale de Riemann, ladeuxi`eme correspond `a mon int´egrale."

L"int´egration de Riemannparcourtle segment et mesure lahauteurde la fonction au fur et `a me- sure, tandis que l"int´egrale de Lebesgue consid`ere latailledes ensembles de niveau. Au lieu de

d´ecouper l"ensemble de d´epart en petits morceaux, on d´ecoupe l"ensemble d"arriv´ee, i.e. l"espace

desy:

α=y0 ou[α,β]est l"intervalle des variations def(x). A l"intervalleJi=]yi-1,yi[, il associe E 15
Ces ensembles peuvent ˆetre tr`es compliqu´es et la difficult´e est de d´efinir convenablement leur
mesurem(Ei). On remplace alors les sommes de Riemann par les sommes n∑ i=1η im(Ei),yi-1<ηiPartition de Riemann

Partition de Lebesgue

La situation pour les ensembles de fonctions est la mˆeme quepour les ensembles de nombres :

si les calculs pratiques se font sur l"ensemble des rationnels, l"ensemble complet des r´eels est tr`es

utile pour l"´etude de la convergence des suites. Ce sont lesint´egrales de Riemann que l"on calcule.

Par contre, les combinaisons de l"int´egration avec les autres op´erations de l"analyse (passages `a la

limite, d´erivation sous le signe somme ....) sont facilit´ees avec l"int´egrale de Lebesgue.Si le manuel

de l"utilisateur de l"int´egrale de Lebesgue est simple, saconstruction est difficile ... nous ne ferons

que la survoler.

2.2 Ensembles mesurables

L"id´ee est d"´etendre la notion de mesure d"un intervalle,d"aire d"un rectangle ... On donne ici les

propri´et´e ensemblistes fondamentales des ensembles mesurables. D´efinition 2.2.1Un ensembleTde parties deRpest unetribusi et seulement si (i)∅? T,Rp? T (ii)S? T ?Rp\S? T( le compl´ementaire de S par rapport `aRp) (iii)S1,S2,...? T ??∞n=1Sn? T. Les ´el´ements deTsont appel´esensembles mesurables. 16 D´efinition 2.2.2Unemesuresur une tribuTest une application m:T →[0,∞]qui poss`ede les propri´et´es suivantes : (i)m(∅) =0

(ii)Additivit´e d´enombrable :Si Snest une suite d"ensembles mesurables, deux `a deuxdisjoints, on a :

m n=1S n? n=1m(Sn)

La notion de mesure est d´efinie pour un ensemble queconque et joue un rˆole essentiel en probabi-

lit´e.

On appelletribu des bor´eliens, not´eeB, la plus petite tribu contenant (ou tribu engendr´ee par)

l"ensemble des ouverts deRp. Pour construire la mesure de Lebesgue, on commence par d´efinir la mesure d"unpav´edeRp

P=]a1,b1[×...]an,bn[,ai de la fac¸on suivante : m(P) = (b1-a1)...(bn-an).
Puis, on montre qu"on peut ´etendre cette mesure `a la tribu des bor´eliens (difficile). C"est la mesure
de Lebesgue, on la noteram. Elle estinvariante par translation m(x+E) =m(E).
En fait, la tribu des bor´eliens n"est pas tout fait la plus grande possible sur laquelle on puisse

d´efinir la mesure de Lebesgue. Elle ne contient pas tous les ensemblesn´egligeables, c"est-`a-dire
contenusdansunbor´eliendemesurenulle.On aimerait bienqueles n´egligeablessoientdemesure
nulle. C"est pourquoi, on est amen´e `a consid´erer latribu de Lebesgue, not´eeL, engendr´ee par les
bor´eliens et les n´egligeables. La mesure de Lebesgue s"´etend `aL.
Les ensembles de mesure nulle jouent un rˆole primordial pour l"int´egration. Tout ensemble d´e-
nombrable est de mesure nulle. La r´eciproque est fausse : par exemple, l"ensemble de Cantor dans[0,1]est n´egligeable mais a la puissance du continu (il est en bijection avec l"ensemble des r´eels). Notons que les inclusionsB ? L ?Rpsont strictes. Cependant, la tribu des bor´eliens
contient tous les ouverts, tous les ferm´es, toutes les r´eunions d´enombrables de ferm´es, intersec-

tions d´enombrables d"ouverts, etc... il y a donc ´enorm´ement d"ensembles mesurables,tous les en-

sembles se pr´esentant naturellement sont mesurables. L"impossibilit´e de mesurer tous les ensembles se

r´ev`elera sans gravit´e. Il est au contraire difficile de construire un ensemble non mesurable (Vitali,

1905), il faut pour cela utiliser l"axiome du choix : dans l"intervalle[0,1], on consid`ere la relation
d"´equivalence :xetysont dits ´equivalents six-yest rationnel. SoitAun sous-ensemble de[0,1]
obtenu en prenant un ´el´ement dans chacune des classes d"´equivalences;An"est pas mesurable!
17
2.3 Fonctions mesurablesDans le chapitre pr´ec´edent on a introduit les ensembles sur lesquels on va pouvoir int´egrer. De

mˆeme, on ne pourra pas travailler avec n"importe quelles fonctions ... les fonctions devront ˆetre
mesurables.
On note

¯R=R?{∞}?{-∞}. Si on d´efinit laborne sup´erieured"une partie non vide, non major´ee
comme ´etant+∞, alors toute partie non vide de¯Radmet une borne sup´erieure.
Proposition 2.3.1Une fonction f:Rp→Rest mesurable si et seulement si pour tout r´eel a l"ensemble
f -1(]a,+∞[)={x?Rp;f(x)>a} est mesurable.
Remarques.

1. En fait,fest mesurable si et seulement si l"image r´eciproque de toutbor´elien est mesurable.
On peut choisir pour le montrer n"importe quelle partie g´en´eratrice deB: les intervalles de la forme]a,+∞[, ou[a,+∞[...
2. Le lien entre ensembles mesurables et fonctions mesurables est le suivant : l"ensembleAest
mesurable si et seulement si la fonction caract´eristiqueχAdeAd´efinie par
A(x) =?1 six?A

0 six/?A
est mesurable.
3. Il y a une analogie de d´emarche entre la topologie et la th´eorie de la mesure :
ouverts↔ensembles mesurables fonctions continues↔fonctions mesurables.
Exemples.

1. Toutefonctioncontinue estmesurable. Il existebeaucoup defonctions mesurables nonconti-
nues.
2. La fonction caract´eristiqueχAd"un ensemble mesurableA, est mesurable. En particulier, la
fonction caract´eristique des rationnels est mesurable. Proposition 2.3.2Soient f et g des fonctions mesurables deRpdansR. Alors, les fonctions suivantes
sont mesurables :λf (λr´eel); f+g (lorsque cette somme est d´efinie); fg;|f|;sup(f,g),inf(f,g);
f +=sup(f,0); f-=-inf(f,0) =sup(-f,0).
Remarque :f◦gpeut ne pas ˆetre mesurable.
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