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Équipe académique Mathématiques - Bordeaux Page 1 sur 5 2009

Tangentes communes à deux paraboles

Niveau

Première S

Prérequis

Construction de représentations graphiques de fonctions à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

Création d'un point mobile sur une courbe.

Utilisation des outils de résolution de Maxima. Pour plus de détails voir la grille de compétences jointe.

Objectifs

Modélisation d'une situation géométrique à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

Utilisation d'un logiciel de calcul formel pour résoudre un système d'équations non linéaires.

Organisation pratique

La situation géométrique est simple à modéliser avec un logiciel de géométrie dynamique (le travail est plus

facile à réaliser avec GeoGebra qu'avec Geoplan).

Cette modélisation permet de faire sentir la nécessité d'une recherche mathématique des solutions du

problème après en avoir conjecturé l'existence ; l'étude mathématique débouchant sur la résolution d'un

système d'équations à deux inconnues non linéaire et de degré 2, il est intéressant de pouvoir faire

intervenir un logiciel de calcul formel afin de s'affranchir du problème de calcul.

Il est à noter qu'une organisation bien pensée des calculs avec Maxima permet de résoudre la totalité du

problème sans passer par l'étape de la représentation graphique (cf. fiche professeur). Équipe académique Mathématiques - Bordeaux - 2009

Tangentes communes à deux paraboles

Équipe académique Mathématiques - Bordeaux Page 2 sur 5 2009

Fiche élève

Soient f et g deux fonctions définies sur R par 2

1fx x et

2

23gx x x .

On appelle respectivement c

f et c g leurs représentations graphiques dans un repère orthonormal

O, ,ij.

Le but du problème est de déterminer les tangentes communes aux deux courbes c f et c g Partie A : Explorer la situation à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique

1. Créer les courbes c

f et c g

2. Créer un point A sur la courbe c

f d'abscisse a 55a, puis la tangente t à la courbe c f en ce point.

3. En faisant déplacer le point A, conjecturer le nombre de tangentes communes aux deux

courbes. 4.

Déterminer les valeurs approchées à 0,01 près de a correspondant aux tangentes trouvées.

Partie B ; Étude mathématique

1. Déterminer l'équation réduite de la tangente t

a

à c

f au point A d'abscisse a.

2. Déterminer l'équation réduite de la tangente t

b

à c

g au point B d'abscisse b.

3. Quel système doivent vérifier les nombres a et b pour que les droites t

a et t b soient confondues ? Partie C : Résolution du problème avec le logiciel Maxima

1. En utilisant Maxima, résoudre le système précédent.

2. Calculer les coordonnées des points A

1 et A 2 pour lesquels la tangente à c f est aussi tangente à c g

3. Calculer les coordonnées des points B

1 et B 2 de c g correspondant aux points A 1 et A 2 pour lesquels les tangentes sont communes aux deux courbes.

4. Déterminer les équations des deux tangentes t

1 et t 2 passant respectivement par A 1 et A 2

Tangentes communes à deux paraboles

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Fiche professeur

Tangentes communes à deux paraboles

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Tangentes communes à deux paraboles

Équipe académique Mathématiques - Bordeaux Page 5 sur 5 2009
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