si l2 = 0, alors vn = 0 pour n assez grand et un/vn est convergente de limite l1/l2 Mathématiques 3, 2015 Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions
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Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions
Mathematiques 3, 2015
Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions1 / 51I. Suites et series numeriques
Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions2 / 51I. 1. Suites numeriques
Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions3 / 51 Dans la suiteKdesigne lecorpsdes nombresr eelsRou lecorpsdes nombres complexes C.Rappel Pour tout nombre complexez=a+ib2C,il existe un unique couple (;)2R+[0;2[ tel quez=ei.On a jzj==pa2+b2;a=cos();b=sin():Sixest reel alors la valeur absoluejxjconcide avec le module dex.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions4 / 51
Denition 1
Un suite
num eriquer eelle est une suite d enomb resr eels u0;;un;et une suitenum eriquecom plexeest une suite de nomb rescomplexes
u0;;un;Formellement, c'est une application
u:N!K; n7!un;ouK=RouK=C, selon on considere les suites reelles ou complexes.On note par( un)n2Nou( un)la suite. On appelleunleterme g eneralde la suite ( un).Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions5 / 51
Une suite peut ^etre denie de multiples facons :
en donnant explicitement le terme generalunen fonction den: exemples :un=1n ,un= (1 +i)n, ...par recurrence : exemples :un+1=un+ 3;un+1=pu n+ 2;un+2=un+1+ 3un, ...par d'autres moyens plus ou moins theoriques ou pratiques : exemples :unest lan-ieme decimale de,unest la population mondiale en l'anneen, ... Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions6 / 51Remarque
L'espace des suites deKest unK-espace vectoriel pour les operations :(un)n2N+ (vn)n2N= (un+vn)n2N; (un)n2N= (un)n2N:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions7 / 51
Convergence
Denition 2
Soitr>0 eta2K.On appelledisque de ra yonret de centreadansK, l'ensemble D r(a) =fx2K;jxaj rg:SiK=C,z=x+iy;z0=x0+iy0, alors D r(z0) =n z2C;jzz0j=q(xx0)2+ (yy0)2ro ce qui represente dans le plan undisquede rayonret de centre(x0;y0).SiK=R, alorsDr(a) estl'intervalle[ar;a+r].Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions8 / 51
Convergence
Denition 3
Soita2K. Un sous-ensembleVKest appeleu nvoisinage de as'ilexister>0 tel queDr(a)V.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions9 / 51
Convergence
Denition 4
Soient (un) une suite deKeta2K.On dit queaest lalimite de ( un) et on note lim n!+1un=asi pour toutr>0, il existeNr2Ntel que pour toutnNr, on aitun2Dr(a).Denition equivalente On dit queaest lalimite de ( un) et on note limn!+1un=asi pour tout voisinageVdea, il existeNV2Ntel que pour toutnNV, on ait u n2V.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions10 / 51Convergence
Convergence
On dit que (un) estconvergente s'il existea2Ktel que limn!+1un=a.Une suite qui n'est pas convergente est ditedivergente .
Exemples
u n=1n ,n1, limn!+1un= 0.u n=nn+1, limn!+1un= 1.u n=nn+1+i2n2n2+2, limn!+1un= 1 + 2i.u
n=zn;z2C, avec 0 jzj<1, limn!+1zn= 0.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions11 / 51
Limite innie
Denition 5
Soit (un) une suiter eelle.On dit que (un) tend vers +1et on ecrit limn!+1un= +1, si8M>0;9NM2N;8n(nNM)unM):On dit que (un) tend vers1et on ecrit limn!+1un=1, si
8M<0;9NM2N;8n(nNM)unM):Exemples
u n=n, limn!+1un= +1.un=lnn, limn!+1un=1.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions12 / 51
Remarque
Si (un) est une suite complexe, limn!+1un= +1ou limn!+1un=1 n'a pas de sens. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions13 / 51Proposition 1
Soit (zn) une suite de nombres complexes.Les proprietes suivantes sontequivalentes :1(zn) est convergente,2les suites reelles (Re(zn)) et (Im(zn)) sont convergentes.De plus lim
n!+1zn=a+ibsi et seulement si limn!+1Re(zn) =aet lim n!+1Im(zn) =b.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions14 / 51Operation sur les limites
Proposition 2
Soient (un) et (vn) deux suites convergentes deK, de limites respectives1et`2.Alors :
pour tout2K, la suite (un) est convergente de limite`1,la suite (un+vn) est convergente de limite`1+`2,la suite (unvn) est convergente de limite`1`2,si`26= 0, alorsvn6= 0 pournassez grand etun=vnest convergente
de limite`1=`2.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions15 / 51Comparaison des suites reelles
Proposition 3
Soient (un) et (vn) deux suites reelles telles queunvnpournassez grand.Si (un) et (vn) sont convergentes de limites respectives`1et`2 alors`1`2.Theoreme des gendarmes Soient (an), (bn) et (un) trois suites reelles telles que anunbnpournassez grand,(an) et (bn) convergent vers une m^eme limite`:Alors (un) est convergente de limite`.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions16 / 51
Proposition 4
Si (un) est une suite convergente de limite`alors la suite (junj) est convergente de limitej`j.Preuve.Consequence de la propriete jjunj j`jj jun`j:Rappel Si (un) est une suite complexe alorsjunjest le module deunet si (un) estreelle alorsjunjest la valeur absolue deun.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions17 / 51
Suites arithmetiques, geometriques
Suites arithmetiques
Soita;r2K.La suite arithmetique de premier termeaet de raisonrest la suite denie par recurrence par : u0=a; u n+1=un+r:Proprietes : u n=a+nr;pour toutn2N;k=nX k=0u k=u0+u1++un= (n+ 1)a+rn(n+ 1)2:(un) converge,r= 0,(un) est constanteMathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions18 / 51
Suites arithmetiques, geometriques
Suites geometriques
Soita;r2K.La suite geometrique de premier termeaet de raisonrest la suite denie par recurrence par : u0=a; u n+1=run:Proprietes : u n=arn;pour toutn2N;k=nX k=0u k=u0+u1++un=( a1rn+11rsir6= 1;
a(n+ 1) sir= 1:(un) converge,0 jrj<1 our= 1:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions19 / 51
Denition 6
Une suite (un), reelle ou complexe, est diteb orneesi 9M2R;8n2N;junj M:Denition 7Une suite
r eelle ( un) est ditemajo reesi 9M2R;8n2N;unM;etmino reesi9m2R;8n2N;mun:Propriete
Une suite reelle est bornee si et seulement si elle est majoree et minoree. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions20 / 51Theoreme 1
Toute suite (reelle ou complexe) convergente est bornee. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions21 / 51Suites monotones
Denition 8
On dit qu'une suite reelle (un) estcroissante si 8n2N;un+1un;decroissantesi8n2N;un+1unetmonotone si elle est croissante ou d ecroissante.
Theoreme 2
Une suite reelle croissante est convergente si et seulement si elle est majoree.Une suite reelle decroissante est convergente si et seulement si elle est minoree. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions22 / 51I. 2. Series numeriques
Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions23 / 51 Soit (un) une suite reelle ou complexe.On s'interesse a lasomme du nombre inni de termes u0+u1++un+dont on voudrait donner un sens et voir si elle est nie ou non.
Informellement, c'est ce qu'on appelle une
s erieL'idee est de considerer la suite (Sn) denie parS
n=u0+u1++un et d'etudier sa convergence.Si (Sn) est convergente de limite`, alorsu0+u1++un+=`et on ecrit
+1X n=0u n=`:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions24 / 51Denition 1
Soit (un) une suite reelle ou complexe.On appelles eriede terme g eneral u net on noteXu n, lasuite ( Sn) denie parS n=nX k=1u k=u0+u1++un;n2N:On appelleSnlala somme pa rtielled' ordrende la serieXu n.On dit que la serie Xu nconverge (resp. diverge) si la suite (Sn) converge (resp. diverge).Si la serie converge, lim n!+1Snest notee+1X n=0u net est appelee la somme de la s erie Xu n.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions25 / 51Exemple : series geometriques
Soientz2Cet soitPunla serie de terme generalun=zn, qu'on appelle serie geometrique de raisonz.La suite (un) est une suite geometrique de raisonzet on asiz6= 1;Sn= 1 +z+z2++zn=1zn+11z:siz= 1;Sn=n+ 1:La serie Xu nconverge si et seulement si 0 jzj<1.Si elle converge, on a +1X n=0z n=11z.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions26 / 51Exemple : serie harmonique
La serie
Punde terme generalun=1n
est appelee la s erieha rmonique .On a S n= 1 +12 +13 ++1n ;S2nSn=1n+ 1+1n+ 2++12nn2n=12
et donc la serie harmonique P1n est divergente.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions27 / 51Exemple : series de Riemann
On appelle
s eriede Riemann une s eriede la fo rme P1n ou >0.La serie de Riemann P1nconverge si et seulement si >1.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions28 / 51
Proposition 1
Une serie complexe de terme generalunest convergente si et seulement si les deux series reelles de terme general respectifRe(un) etIm(un) sont convergentes. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions29 / 51Operations sur les series
Proposition 2
Soient
PunetPvndeux series convergentes et soit2R.Alors les seriesPunetP(un+vn) sont convergentes et1 X n=0un=+1X n=0u n;+1X n=0(un+vn) =+1X n=0u n++1X n=0v n:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions30 / 51Theoreme 1 (Condition necessaire de convergence)
Si la serie
Xu nconverge, alors limn!+1un= 0.Preuve.On a, pourn1,u n=SnSn1et donc commePunest convergente, limn!+1Sn=`etlim
n!+1un= limn!+1SnSn1=``= 0:Denition 2On dit d'une serie
Punqu'elle estgrossi erementdivergente si
lim n!+1un6= 0.Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions31 / 51Remarques
Pour prouver la divergence de certaines series, en montre que le terme generalunne tend pas vers 0. Exemple : la serie de terme general lnnest divergente car lim n!+1lnn6= 0.La reciproque est fausse en general.Exemple : la serie harmoniqueP1n
est divergente alors que1n tend vers 0. Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions32 / 51Convergence absolue
Denition 3
On dit de la serie
Punqu'elle estabsolument convergente si la s eriePjunjest convergente.Theoreme 2 Une serie absolument convergente est convergenteet +1X n=0u n+1X n=0junj:Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions33 / 51Convergence absolue
Exemple
SoitPunla serie de terme general(1)nn
2.On ajunj= 1=n2et la serieP1n
2est une serie de Riemann convergente.Par consequent, la serie
P(1)nn
2est absolument convergente et donc convergente.Denition 4
Lorsqu'une serie est convergente mais pas absolument convergente, on dit qu'elle est semi-convergente Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions34 / 51Series a termes positifs
Soit Punune serie reelle de terme generalun.On dit que la serie est a termes positifs si un0 pournassez grand.Si Punest une serie a termes positifs, alors la suite (Sn) est croissante (a partir d'un certain rang) S n+1Sn=un+10et donc pour prouver que la seriePunest convergente, il sut de
montrer que la suite (Sn) est majoree.Si Punest une serie quelconque (reelle ou complexe),la seriePjunjest
une serie a termes positifset donc la convergence de cette derniereimplique la convergence de la serie initialePun(convergence absolue).Mathematiques 3, 2015Chapitre 2 : Suites et series numeriques et de fonctions35 / 51