Résoudre algébriquement un système d'équations du premier degré à deux inconnues Transformer le système pour obtenir deux équations à une inconnue
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E1 : 3x − 2y = z E2 : −5x + 4y = −4z On fait la combinaison linéaire qui vire y, c'est 2E1 + E2, soit x = −2z Et celle qui vire x, c'est 5E1 + 3E2, soit 2y = 7z,
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SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1
erDEGRÉ À DEUX INCONNUES
RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
FFIICCHHEE DDEE PPRRÉÉS
S EE NN TT AA TT II OONN FFIICCHHEE DDEE PPRRÉÉSSEENN
TT AA TT II OONN FFIICCHHEE DDEE PPRRÉÉSSEENNTT
AA TT II OO NN 1/1OBJECTIF(S)
Résoudre algébriquement un système d'équations du premier degré à deux inconnues.EXPLICITATION
Être capable à l'issue des travaux de calculer les valeurs numériques des inconnues dans un système ayant un seul couple de solutions par exemple : les valeurs de x et y dans le système : 23135 21xy
xy les valeurs de d et t dans le système : 9050 280dt
dtPRÉ-REQUIS
Maîtriser :
la résolution d'une équation du premier degré à une inconnue. l'écriture d'un couple de nombres.CONDITIONS
Traiter la fiche d'entraînement en trois parties. Après chaque partie consulter la fiche auto-corrective.Première partie : Exercice 1.
Deuxième partie : Exercices 2 et 3.
Troisième partie : Exercices 4 et 5.
CRITÈRES DE RÉUSSITE
Au moins trois réponses exactes dans la partie 3.CONSEILS
Vérifier vos réponses avant de consulter la fiche auto-corrective.SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1
erDEGRÉ À DEUX INCONNUES
RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMA A TT II OONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN
1/1 Introduction :
Un fleuriste propose deux types de bouquets :
l'un composé de 5 roses jaunes et 4 iris pour 16 €. l'autre composé de 3 roses jaunes et 6 iris pour 15 €.Pour calculer le prix x en
€ d'une rose et le prix y en € d'un iris, il faut résoudre le système suivant :5 4 16
3 6 15xy
xyMode de résolution :
Par combinaison linéaire (ou addition) :
1ère
ÉTAPE : Transformer le système pour obtenir deux équations à une inconnueÉliminer y : Éliminer x :
3 25 4 16
3 6 15
xy xy 3 55 4 16
3 6 15
xy xy15 12 48
6 12 30
xy xy 15 12 4815 30 75xy
xy Additionner les deux équations : Additionner les deux équations :9 x 18 18 y 27
On obtient deux équations à une inconnue chacune : 9 1818 27x
y 2 eÉTAPE : Résoudre chaque équation
9 x 18 18 y 27
x 18 9 y 2718 x 2 y 1,5 2 1,5x y 3 e ÉTAPE : Vérification : avec x 2 et y 1,5 Première équation : 5 x 4 y 16 Deuxième équation : 3 x 6 y 15
5 x 4 y 5 2 4 1,5 3 x 6 y 3 2 6 1,5
5 x 4 y 10 6 3 x 6 y 6 9
5 x 4 y 16 3 x 6 y
15 4 eÉTAPE : Donner la solution du système
Le couple (x ; y) solution du système est égal à (2 ; 1,5) 5 eÉTAPE : Donner la solution du problème
SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1
erDEGRÉ À DEUX INCONNUES
RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN
2/2Le prix d'une rose est 2 €.
Le prix d'un iris est
1,50 €.
Par substitution :
1ère
ÉTAPE :
Transformer le système pour que l'une des deux équations soit une équation à une inconnueExprimer x en fonction de y dans l'équation :
5 4 16
3 6 15xy
xy5 4 16
3 15 6
xy xy5 4 16
5 2 xy xy Remplacer (ou substituer) x par l'expression dans l'équation : x 5 2 y 5 (5 2 ) 4 16 5 2 yy xy 2 e ÉTAPE : Résoudre l'équation : 5 (5 2 y) 4 y 1625 10 4 16
5 2 yy xy6 16 25
5 2 y xy6 9
5 2 y xy 1,5 5 2 y xy 3 e ÉTAPE : Résoudre l'autre équation : x 5 2 y Remplacer dans l'expression , y par la valeur trouvée 1,55 2 1,5y
x 1,5 5 3 y x 1,5 2y x 4 e ÉTAPE : Vérification : avec x 2 et y 1,5 Première équation : 5 x 4 y 16 Deuxième équation : 3 x 6 y 155 x 4 y 5 2 4 1,5 3 x 6 y 3 2 6 1,5
5 x 4 y 10 6 3 x 6 y 6 9
5 x 4 y 16 3 x 6 y 15
5 eÉTAPE : Donner la solution du système
Le couple (x ; y) solution du système est égal à (2 ; 1,5) 6 eÉTAPE : Donner la solution du problème
Le prix d'une rose est 2 €.
Le prix d'un iris est
1,50 €.
Remarque :
SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1
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RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN FFIICCHHEE DDEE FFOORRMMAATTIIOONN
3/3Dans un système, l'une des inconnues peut être calculée par combinaison linéaire et l'autre par
substitution.SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1
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RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
FFIICC
HH EE DD EE NN TT RR AA NN EE MM EE NNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRR
AA NN EE MM EE NNTT FFIICCHHEE
DD EE NN TT RR AA NN EE MM EE NN TT 1/11. Résoudre le système en utilisant successivement les deux méthodes (combinaison linéaire et
substitution) : 213521
x y x y
Méthode par combinaison linéaire :
Méthode par substitution :
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FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT
2/22. Résoudre par la méthode de combinaison linéaire le système suivant :
3711525x y
x y3. Résoudre par la méthode de substitution le système suivant :
418914x y
x ySYSTÈME D'ÉQUATIONS DU 1
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RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE
FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT FFIICCHHEE DD''EENNTTRRAAÎÎNNEEMMEENNTT
3/34. Résoudre par la méthode de calcul de votre choix le système suivant :
295 x y x y
Méthode choisie : ................................................................................................