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Fiche méthode : encadrement dune valeur par balayage
Principe
Lorsque quon travaille avec des fonctions un peu " compliquées » , on ne peut pas toujours résoudre
par le calcul une équation . Mais on peut avoir besoin ( pour faire un graphique plus précis par
exemple) de donner une valeur approchée des solutions . On peut alors utiliser la méthode de dichotomie ou la méthode de balayage . Cest celle-ci quon va détailler ici .Méthode
On entre la fonction dans la calculatrice , on créée des tableaux de valeurs successifs en divisant le
pas par 10 à chaque fois .Exemple
On va chercher à encadrer à 0,001 près la solution de f(x) = 0 dans [1 ;8] avec f(x) = x² -5x 12 On commence par entrer la fonction dans la calculatrice ( touche f(x) = pour les TI ou menu table pour casio) . On donne comme instructions de faire un tableau début 1 pas 1 ( on va commencer par encadrer entre deux entiers successifs)On obtient :
x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -16 -18 -18 -16 -12 -5 2 12Léquation f(x) = 0 admet a pour solution si f(a) = 0 . On remarque dans le tableau que f(6) <
0 et que f(7) > 0 donc f(6) < f(a) < f(7) donc 6 < a < 7 .
On fait donc un nouveau tableau début 6 , pas 0,1 .On obtient :
x 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7 f(x) -5 -5,29 -4,56 -3,81 -3,04 -2,25 -1,44 -0,61 0,24 1,11 2 Avec le même raisonnement que précédemment on peut dire que 6,7 < a < 6,8On recommence :
x 6,7 6,71 6,72 6,73 6,74 6,75 6,76 6,77 6,78 6,79 6,8 f(x) -0,6 -0,5 -0,4 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 -0,02 0,07 0,15 0 ,24 Avec toujours le même raisonnement : 6,77 < a < 6,78Et encore une dernière fois car on veut un encadrement à 0,001 près c'est-à-dire trois chiffres après la
virgule x 6,77 6,771 6,772 6,773 6,774 6,775 6,776 6,777 6,778 6,779 6,78 f(x) -0,02 - 0,008