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CoursdeMathématiques

IUTOrsay

DUTINFORMATIQ UE1A-Semestre1

2012-2013

IIntroduction

IIWims

IIICalculensembliste

IVRelationsbinaires,applications

VLogique

VIRaisonnementparrécurrence,suites récurrentes

VIICalculmatr iciel

VIIIRésolutiondesystèmes d'équations linéaires

PartieIV:Relationsbinaires,applications

A.Relationsbinaires entredeux ensembles

Premierex empleetdéfinitions

Représentationmatricielle

Egalitéetinclusion

Relationréciproque

Restriction

Opérationsensemblistessur lesrelations

Composéederelations

B.Fonctions,applications

Définitionsetpropr iétés

Applicationsinjectives ,surjectives,bijectives

C.Relationsbinairessurun ensemble

Exemples

Propriétésremarquables

D.Relationsd'équivalence

E.Relationsd' ordre,ensemb lesordonnés

Définitions

Elémentsremarquables

DiagrammedeHassed'unerelation d'ordre

A.Lespropositions

B.Lecalculpropositionnel

Premiersconnecteurslogiques

L'implication

L'équivalence

Vocabulaire

LoisdeMorgan etautres form ules

FormalismelogiqueetThéoriedesensemb les

Conditionsnécessaireset suffisantes

C.Raisonnements

D.Prédicats

Prédicats:définitions

Quantificateurs

CasoùEestfini

CasoùE=A×B

Connecteursetquantificateurs

Exemplesderaisonnements

Raisonnementsparrécurrence

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A.Relationsbinaires entredeuxensemb les

A.1.Premierexemple etdéfinitions

SoitEunensemble d'étudiantsinscritsenDUT informatique.

Quelssontles semestressuivispar cesétudiantsen

2012-2013?

ES

ClaraS1

LucasS2

MarcS3

PierreS4

Quentin

S1S2S3S4

ClaraXX

LucasXX

MarcXX

PierreXX

QuentinX

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Définitions

SoientEetFdeuxensembles

UnerelationbinaireRdeEvers(oudans)Festuntr iplet

(E,F,G R )oùG R estunepar tiede E×F. larelation. G R estlegraphedelarelation.

SiE=Fonditque Restunerelation surE.

Notation:(x,y)?G

R estnotéxRy (x,y)/?G R signifiequexn'estpasenrelationa vecy.

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Définitions

Larelationvide deEdansF,notée∅,estdéfinie par G

SixRy,yestuneimagedexparlarelation Retxestun

antécédentdey. L'imaged'unepartieAdeEparlarelation R,notéeR(A), estl'ensemb ledesimagesdesélémentsdeA. L'imageréciproqued'unepartieCdeFparlarelation R, notéeR -1 (C),estl' ensembledes antécédentsdes

élémentsdeC.

Propriétés

SiAetBsontdeuxpar tiesde E

R(A?B)=R(A)?R(B).

R(A∩B)?R(A)∩R(B).

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Exemple

L'ensemblededépartest

E={Clara,Lucas,Marc, Pierre,Quentin}

L'ensembled'arrivéeestF={S

1 ,S 2 ,S 3 ,S 4

Legr apheest

G R ={(Clara,S1),(Clara,S2),(Lucas,S 2 ),...,(Quentin,S 4

L'imagedeA={Clara,Lucas}estR(A)={S

1 ,S 2 ,S 3

L'imageréciproquedeB={S

1 ,S 3 }est R -1 (B)={Clara,Lucas,Marc, Pierre}

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A.2.Représentationmatricielle

SiE={x

1 ,...,x n }etF={y 1 ,...,y p }sontdeuxensemb les finis,ondéfinitlamatriced'adjacencedelarelation Rpar: R= r 11

···r

1j

······r

1p r i1

···r

ij

······r

ip r n1

···r

nj

······r

np M n,p ?i?{1,...,n};?j?{1,...,p}r ij 1six i Ry j

0sinon

Premierex emple:

R= 1100
0110
1100
0011 0001 M 5,4

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A.3.Egalitéetinclusion

R 1 =(E,F,G R 1 )etR 2 =(E,F,G R 2 )sontdeuxrelations binaires.

Définitions

LesrelationsR

1 etR 2 sontégalessiG R 1 =G R 2 R 1 estinclusedansR 2 siG R 1 ?G R 2

Exemples

DéterminerR

=(E,F,G R ∩(A×F))et R =(E,F,G R ∩(E×B))

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A.4.Relationréciproque

Définition

Laréciproquedelarelation binaireR=(E,F,G

R )estla relationR -1 =(F,E,G R -1) oùG R -1={(y,x)?F×E;(x,y)?G R

Propriétés

(R -1 -1 =R L'imageréciproqued'unepartieCdeFparlarelation Rest

égaleàl' imagedeCparlarelation R

-1

Lamatrice d'adjacencedeR

-1 estégaleà latr ansposée delamatr iced'adjacence deR

SiCetDsontdeuxpar tiesde F

R -1 (C?D)=Rquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47