L'équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 2 − et 12 − Page 2 b) ( )( ) 2 1 12 0 x x − − = Un produit de facteurs est nul si, et seulement si
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L'équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 2 − et 12 − Page 2 b) ( )( ) 2 1 12 0 x x − − = Un produit de facteurs est nul si, et seulement si
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Équation produit nul Cycle 4 - Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris com Résoudre une équation produit nul Résoudre les équations
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Factorisation – Équation produit Exercice 1 : x désigne un nombre relatif Factoriser chaque expression A = 2x + 8 B = 16x – 32 C = (4x + 1)² – (4x + 1)(x + 4)
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II Equations produit On appelle « équation produit » une équation qui s'écrit sous la forme d'un produit de facteurs égal à zéro Exemple : (2x + 3) (4x – 2) = 0
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Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul Méthode: Résoudre l'équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0 Si un produit de facteur est nul, alors
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C'est une équation produit et par théorème : Théorème 1 : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul • Donc on a ici :
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équations sous la forme d'un produit nul I – Les identités On se souvient que cette expression est la somme de deux produits : 3 × + 3 ×
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FACTORISATION ET EQUATION PRODUIT I Factoriser : 2) Exprime en fonction de x l'aire A1 du polygone MATH et l'aire A2 du polygone PICS 3) Calcule x
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Résoudre les équations suivantes : 5(9x − 3)(− 5x − 13) = 0 (3x + 7)(4x − 8) = 0 2 Factorise puis résoudre les équations suivantes A = x2 − 49 = 0
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d) (2 x – 7)2 = 0 ④Dans chaque cas, invente une équation-produit dont les solutions sont les deux nombres proposés :
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☺ Exercice p 95, n° 21 :
Résoudre chacune des équations :
a) ()13 0x x+ = ; b) ()18 0x x- =.Correction :
a) ()13 0x x+ =. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
0x= ou 13 0x+ =
13x= -.
L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 0 et 13-. b) ()18 0x x- =. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
0x= ou 18 0x- =
18x=. L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 0 et 18. ☺ Exercice p 95, n° 22 :Résoudre chacune des équations :
a) ()()3 6 12 0x x+ + = ; b) ()()2 1 12 0x x- - =.Correction :
a) ()()3 6 12 0x x+ + =. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
3 6 0x+ = ou 12 0x+ =
3 6x= - 12x= -
6 3x= -2x= -.
L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont2- et 12-.
b) ()()2 1 12 0x x- - =. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
2 1 0x- = ou 12 0x- =
2 1x= 12x=
1 2x=. L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 12 et 12.
☺ Exercice p 95, n° 23 :Résoudre chacune des équations :
a) ()()4 8 3 1 0x x- - = ; b) ()()5 10 7 3 0x x- + - =.Correction :
a) ()()4 8 3 1 0x x- - =. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
4 8 0x- = ou 3 1 0x- =
4 8x= 3 1x=
84x= 1
3x= 2x=. L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 2 et 1 3 . b) ()()5 10 7 3 0x x- + - =. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
5 10 0x- + = ou 7 3 0x- =
5 10x= 7 3x=
105x= 3
7x= 2x=. L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 2 et 3 7 . ☺ Exercice p 95, n° 24 :Résoudre chacune des équations :
a) ()()4 5 9 13 0x x- + + = ; b) ()()1 2 3 0x x+ - - =.Correction :
a) ()()4 5 9 13 0x x- + + =. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
4 5 0x- + = ou 9 13 0x+ =
4 5x= 9 13x= -
54x= 13
9x= - .
L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 54 et 13
9- . b) ()()1 2 3 0x x+ - - =. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
1 0x+ = ou 2 3 0x- - =
1x= - 2 3x= -
32x= - .
L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont1- et 3
2- . ☺ Exercice p 95, n° 25 :Résoudre chacune des équations :
a) 1 21 4 02 3x x( )( )+ + =( )( )( )( ) ; b) 3 57 6 05 3x x( )( )- + =( )( )( )( ).Correction :
a)1 21 4 02 3x x( )( )+ + =( )( )( )( ).
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
11 02x+ = ou 24 03x+ =
112x= - 243x= -
1 2x= - ´ 342x= - ´
2x= - 6x= -.
L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont2- et 6-.
b)3 57 6 05 3x x( )( )- + =( )( )( )( ).
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
37 05x- = ou 56 03x+ =
375x= 563x= -
573x= ´ 365x= - ´
353x= 18
5x= - .
L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 353 et 18
5- . ☺ Exercice p 95, n° 26 :Résoudre chacune des équations :
a) ( )25 0x+ = ; b) ( )
27 0x- = ; c)
2102x( )- =( )( ) ; d)
223 05x( )- =( )( ).
Correction :
a)25 0x+ =.
L"équation équivaut à :
5 0x+ =
5x= -.
L"équation admet donc une unique solution : c"est 5-. b)27 0x- =.
L"équation équivaut à :
7 0x- =
7x=. L"équation admet donc une unique solution : c"est 7. c)2102x( )- =( )( ).
L"équation équivaut à :
102x- =
1 2x= . L"équation admet donc une unique solution : c"est 1 2 . b)223 05x( )- =( )( ).
L"équation équivaut à :
23 05x- =
235x=532x= ´
15 2x= . L"équation admet donc une unique solution : c"est 15 2 . ☺ Exercice p 95, n° 27 :On veut résoudre l"équation :
25 5 1 0x x x+ + + - =.
1) Factoriser le premier membre de l"équation.
2) Résoudre cette équation.
Correction :
1) Factorisation :
25 5 1 5 5 1 5 2 4x x x x x x x x? ?+ + + - = + + + - = + +? ?.
2) D"après la question 1, l"équation
25 5 1 0x x x+ + + - = équivaut à ()()5 2 4 0x x+ + =.
Or, un produit de facteurs est nul si, et seulement si l"un au moins des facteurs est nul.L"équation équivaut donc à :
5 0x+ = ou 2 4 0x+ =
5x= -. 2 4x= -
4 2x= -2x= -.
L"équation admet donc exactement deux solutions : ce sont5- et 2-.
☺ Exercice p 95, n° 28 :On veut résoudre l"équation :
()()()()1 5 1 1 3 12 0x x x x+ - - + - =.1) Factoriser le premier membre de l"équation.
2) Résoudre cette équation.
Correction :
1) Factorisation :
()()()()()()()()[]()()1 5 1 1 3 12 1 5 1 3 12 1 5 1 3 12 1 2 11x x x x x x x x x x x x? ?+ - - + - = + - - - = + - - + = + +? ?.