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Math2 { Chapitre 4

Champs scalaires et champs de vecteurs

4.1 {

Champs et fonctions

4.2 {

Champs scalaires

4.3 {

Champs de vecteurs

4.4 {

Champs conservatifs

4.5 {

Champs incomp ressibles

4.1 { Champs et fonctions

Dans cette section:

Reperes et referentiels

Dependance des reperes

Loi de transformation d'un champ

Dessin d'un champ

Reperes et referentiels

En physique, lereferentielest l'ensemble desgrandeurset de leurs unite de mesure. En mathematiques, le referentiel est represente par unreperepO;~e1;:::;~enqdeRn, ou: ladirectiondes vecteurs~eirepresente les grandeurs, lalongueurdes vecteurs~eirepresente l'unite de mesure, l'origineOdonne la valeur zero des grandeurs.

Pour tout

~xPRn, lescoordonneespx1;:::;xnqtelles que x°xi~eirepresentent lesmesuresdes grandeurs~ei.Exemple {Dans un gaz parfait, la loiPVnRTdecrit la relation entre lapression P, levolume Vet latemperature T.

Lesisothermes(courbes a temperature

constante), sont dessinees dans l'espace R

2ou l'on xe le reperepO;~eV;~ePqpour

representer le referentielpV;Pq.

Lois dependantes du changement de repere

Idee {Unefonctionet unchampsont des lois qui associent a xPRnune valeur~yPRm. La dierence entre fonctions et champs est dans ladependance des reperessurRnetRm: les fonctions sont independantes des changement de reperes, les champs en dependent. Exemple {On veut se ranger en le indienne devant la porte: x= grandeur qui decrit chaque personne de cette salle

Ppxq x10

= position dans la le a partir de la porte Si on change l'unite de mesure dex, la position dans la le ne change pas, mais comment se transforme-t-elle la loiPpxqqui represente cette position?On donne deux exemples: une loi qui ne depend pas du changement de referentiel, et une qui en depend.

Loi de transformation des fonctions

Loi basee sur l'age {

x= age en annees etPpxq x10 en metres.Siu= age en mois, la m^eme position est donnee par~Ppuqu120

Par exemple, vu queu12x, on a:

Pp10q 1010

1 et~Pp120q 120120

1:

Quelle est la relation entre

~PpuqetPpxq?Le changement de variable estxhpuq u12 , et on a

Ppxq PhpuqPu12

u120 ~Ppuq c'est-a-dire ~PPh. C'est la loi de transformation des fonctionspar changement de coordonnees.

Loi de transformation des champs

Loi basee sur la distance {

x= distance du tableau en metres, alorsPpxq x10 est en metres.Siu= distance en centimetres, la position dans la le ne change pas, mais elle est exprimee en centimetres et on a ~Ppuq u10

Par exemple, vu queu100x, on a:

Pp10q 1010

1met~Pp1000q 100010

100cmp1mq:

Quelle est donc, cette fois, la relation entrePpxqet~Ppuq?Le changement de variable estxhpuq u100 , et on a

Ppxq PhpuqPu100

u1000 ~Ppuq100 donc~PPh!La bonne loi de transformation est ~PHPh, ou hpuq u100etHpzq 100zh1pzq:

Champs deRna valeurs dansRm

Denition {Unchamp deRna valeurs dansRmest une loi

F:RnÝÑRm;~xÞÑFp~xq

qui se transforme, par changement de coordonnees ~xhp~uq, comme

Fp~uq HFp~xqHFhp~uq;pour tout~uPRn;

c'est-a-dire comme FHFhR nR mR nR mhF FH ouH:RmÝÑRmest un changement de repere surRmdetermine par l'applicationh.

Dessin d'un champs

Remarque {SiF:RnÝÑRm;~xÞÑFp~xqest un champ, le repere utilise pour decrire la valeurFp~xq PRmn'est pas libre, mais depend de celui utilise pour decrire ~xPRn.Ainsi, un champ ne peut ^etre represente par un graphe €RnRmcomme si c'etait une fonction (pour laquelle les repere deRnetRmsont independants).Denition {Larepresentation graphique, oudessin, du champ Fest l'ensemble des dessins de la valeurFp~xq PRmau-dessus de chaque point ~xPRn(c'est-a-dire dans un repere de R mcentre au point~x),R mR nun seul repere pour le graphed'une fonction vectorielleR m R m R m R nunion de reperes pour le dessind'un champ de vecteurs

4.2 { Champs scalaires

Dans cette section:

Champs scalaires deR3

Surfaces de niveau

Le potentiel gravitationnelVet le potentiel de Coulomb

Champs scalaires deR3

Denition {Unchamp scalaire surR3est un champ

:R3ÝÑR;~xÞÑp~xqa valeurs dans les nombres. Si~xhp~uq, a priori on a~p~uq Hp~xq, ouH:RÑRest un changement de reperedansRdetermine parh. DansRil y a une seule direction~, doncHn'aecte que l'unite de

mesure. Sans unites de mesure, on peut supposerHpyq y.En maths,un champ scalaire est assimile a une fonction

:R3ÝÑR;~xÞÑpxq; qui se transforme comme p~uq p~xqsi~xhp~uq et se represente avec un graphe usuel.R nRR dessin d'un champ scalaire R R ngraphe d'un champ scalairecomme fonction reelle Attention en physique, quand l'unite de mesure change!

Exemples de champs scalaires surR3

Exemples {

Latemperature Tet lapression Psont des champs scalaires en physique statistique. L'altituden'est pas un champ mais une fonction(car la determination de l'endroit ou on la mesure n'aecte pas le resultat). Levolume Vn'est pas un champ scalaire(car il n'est pas deni sur les pointsdeR3mais pour des objets etendus). Ladensite volumiqueest le champ scalaire qui permet de calculer le volume d'un objet (par integration).

Ladistancedepuis l'origine:dpx;y;zqax

2y2z2En coordonnees spheriques:dpr;';q rCeci montre la signication de la variabler.

Exemples: potentiel gravitationnel et de Coulomb

Lepotentiel gravitationnelengendre par une masseMsituee a l'origineO:

Vpx;y;zq G Max

2y2z2 ouG6;6731011m3{kgs2est laconstante gravitationnelle.

En coordonnees spheriques:Vpr;';q G Mr.

Lepotentiel electrostatiqueoupotentiel de Coulomb

engendre par une charge immobileQsituee a l'origineO: px;y;zq 14Qax

2y2z2;

ou8:8541012As{Vmest lapermittivite dielectrique.

En coordonnees spheriques:pr;';q 14Qr.

Surfaces de niveau

Denition {Soit:R3ÝÑRun champ scalaire.

Comme une fonctionf,est caracterise par sondomaine de denitionD€R3, et il estde classeCks'il est dierentiable jusqu'a l'ordrek. Pour toutaPR, l'analogue deslignes de niveau Lapfqd'une fonctionfde deux variables est lasurface de niveauade: S apq ! px;y;zq PD|px;y;zq a) :a b ccD N.B. {En general on ne sait pas tracer le graphe de, qui est dansR4.

Exercice: potentiels gravitationnel et de Coulomb

Enonce {Pour le potentiel gravitationnel V et pour le potentiel de Coulomb, trouver les surfaces de niveau et dessiner le graphe comme fonctions de r.Reponse {En coordonnees spheriques, on a:

Vpr;';q G Mr

etpr;';q 140Qr

PouraPR, les surfaces de niveauasont donnees par:

r G Ma sia 0 etr14Qa sia¡0et sont donc des spherescentrees en l'origine M101S apVq Q101S apq

Exercice (suite)

La dierence entre le potentiel gravitationnelVet celui de Coulombest dans le sens croissant des niveauxcorrespondants aux spheres: le graphe des potentiels

Vpr;';q G Mr

etpr;';q 140Qr dans la seule variabler¡0 est:r

Vprq101rprq101

4.3 { Champs de vecteurs

Dans cette section:

Champs de vecteurs

Reperes mobiles

Lois de transformations en coordonnees cylindriques et spheriques

Champ axial et champ central

Lignes de champ

Le champ electriqueÝÑEet le champ gravitationnelÝÑG

Champs de vecteurs deR3

Denition {Unchamp de vecteursouchamp vectorieldeR3 est un champÝÑV:R3ÝÑR3;~xÞÝÑÝÑVp~xq a valeur dans les vecteurs deR3.

Exemples {

Laposition~xdes points, uneforceÝÑF, leschamps gravitationnelÝÑG,electriqueÝÑEetmagnetiqueÝÑB, ou encore lepotentiel

magnetiqueÝÑA, sont des champs vectoriels.

Lavitesse d'ecoulement des points d'un

uideest un champ de vecteurs. Lavitesse de deplacement d'un corps ponctuelest un champ vectoriel, deni sur la trajectoire du corps. La vitesse de deplacement d'unobjet etendu qu'on ne peut pas identier a son baricentren'est pas un champ vectoriel, car elle n'est pas denie sur des points.

Composantes cartesiennes d'un champ de vecteurs

Denition {Soit~xÞÝÑÝÑVp~xqun champ de vecteurs deR3. Si~x px;y;zqest donne en coordonnees cartesiennes, on a

ÝÑVp~xq Vxp~xq~Vyp~xq~Vzp~xq~k;

ou ~;~;~kest le repere cartesien deR3centre au point~x, et V x;Vy;Vz:R3ÑRsont des fonctions reelles qui s'appellent coecientsoucomposantesdeÝÑV.

LedomainedeÝÑVest l'ensemble

D

ÝÑV!

xPR3|~xPDVx;~xPDVy;~xPDVz)

Le champ estde classeCksi ses coecients le sont.

LedessindeÝÑVconsiste

des vecteursÝÑVp~xqappliques aux points ~x: xÝÑ

Vp~xq~

yÝÑ Vp~yq

Loi de transformation d'un champ vectoriel

Remarque {SoitÝÑVun champ vectoriel deR3.

M^eme si on ne considere pas les unites de mesure, un chmt de variables ~xhp~uqpeut modier le repere pourÝÑVp~xq, dans la direction des vecteurs. En general, si~xhp~uq, le champÝÑVp~xqse transforme en

ÝÑVp~uq HÝÑVhp~uq

~Vxp~uqHp~q ~Vyp~uqHp~q ~Vzp~uqHp~kqou ~Vxp~uq Vxhp~uq(m^eme chose pour~Vyet~Vz), etHp~q,Hp~q,Hp~kqsont les vecteurs~,~et~k exprimes dans le nouveau repere deR3determine parh, c'est-a-dire le repere~e1;~e2;~e3qui permet de decrire uu~e1v~e2w~e3par les coordonneespu;v;wq.

Reperes mobiles

Denition {Unrepere mobileest un repere centre en tout pointPvariable, et qui depend de la representation en coordonnees deP: les vecteurs indiquent la direction devariation des coordonnees deP.

En particulier:

repere cartesien: p ~;~;~kq repere cylindrique:~e;~e';~k repere spherique:~er;~e';~eyz x r er~ e'~ e~ j~ k~ i~ e~ e'Attention {Les vecteurs~,~,~kne changent pas de direction quandPbouge, mais les autres vecteurs si ! Transformations des reperes cartesien, cylindrique et spherique Proposition {Les transformations H entre les reperes cartesien, cylindrique et spherique, sont les suivantes: cartesien { cylindrique:

Sipx;y;zq hp;';zq, avec$

%xcos' ysin' zz, on a ecos'~sin'~ e' sin'~cos'~ ~k~ket cos'~esin'~e' sin'~ecos'~e'~k~k Preuve {La premiere formule vient de la denition des vecteurs~e,~e', et la deuxieme formule s'obtient en inversant le systeme donne par la premiere. Transformations des reperes cartesien, cylindriques et spheriques cartesien { spherique:

Sipx;y;zq hpr;';q, avec$

%xrcos'sin yrsin'sin zrcos, on a ercos'sin~sin'sin~cos~k e' sin'~cos'~ ecos'cos~sin'cos~sin~k et cos'sin~ersin'~e'cos'cos~e sin'sin~ercos'~e'sin'cos~e~kcos~ersin~e Preuve {La premiere formule vient de la denition des vecteurs~er,~e', eet la deuxieme formule s'obtient en inversant le systeme donne par la premiere.

Champ vectoriel en coordonnees

Conclusion {Un champ vectorielÝÑVp~xqdeR3s'ecrit dans le repere mobile de sa variable ~x: encoordonnees cartesiennespx;y;zq:

ÝÑVVx~Vy~Vz~k;

encoordonnees cylindriquesp;';zq:

ÝÑVV~eV'~e'Vz~k;

encoordonnees spheriquespr;';q:

ÝÑVVr~erV'~e'V~e;

ou les coecientsVx, etc, sont des fonctionsR3ÝÑR.Latransformationd'une forme a une autre est donnee par le

changement de coordonneesusuel sur les coecients, et par le changement de reperedecrit ci-dessus sur les vecteurs.

Champ axial et champ central

Denition {Un champ de vecteursÝÑVdeR3s'appelle: Axials'il ne depend que de la distanced'un axe (supposons~k) et est dirige dans la direction radiale (par rapport au \radius").

En coordonnees cylindrique, il s'ecrit

ÝÑVpq fpq~e

Centrals'il ne depend que de la distancerd'un point (supposons l'origine) et est dirige dans la direction radiale (par rapport au \radius"r).

En coordonnees spheriques, il s'ecrit

ÝÑVprq fprq~er

Exemples de champs vectoriels

Exemples {

Levecteur positionest le champ central

xx~y~z~k ~ez~k r~eryz x

Lavitesse d'ecoulement d'un

uide:

Exemples de champs vectoriels

Lechamp gravitationnelengendre par

une masseMest le champ central

Gprq GMr

2~erUne massemsitue a distancerdeMest

soumise a laforce gravitationnelle

ÝÑFprq mÝÑGprq GMmr

2~er: R 2M

Lechamp electriqueengendre par une

chargeQest le champ central

Eprq 14Qr

2~erUne chargeqsituee a distancerdeQest

soumise a laforce de Coulomb

ÝÑFprq qÝÑEprq 14Qqr

2~er: R 2Q

Exercices

Enonce {Trouver le domaine des champs de vecteurs suivants, les dessiner en un point generique deR3(ouR2) et en deux ou trois points particuliers au choix. Enn, exprimer ces champs en les autres coordonnees.

ÝÑVpx;yq py;xq y~x~Reponse {

Domaine =R2.xy

En coord. polaires:

Vp;'q sin'cos'~esin'~e'cos'sin'~ecos'~e'sin'cos'cos'sin'~esin2'cos2'~e' ~e':

Exercices

ÝÑVp;'q ~e'~e'Reponse {¡0 et'P r0;2r, ainsiDVR r0;2r.xy e1 2 ~e2 ~e'~ e6 ~e'En coord. cartesiennes:

Vpx;yq

cos'~sin'~ sin'~cos'~ cos''sin' sin''cos' xarctanyx y?x 2y2 yarctanyx x?x 2y2 six0 ety¡0.

Lignes de champ

Denition {Leslignes de champoucourbes integralesd'un champ vectorielÝÑVsont les courbes qui ontÝÑVp~xq comme vecteur tangent en tout point ~xP V Si est unecourbe parametreepar~xptqxptq;yptq;zptq, avec tPR, levecteur tangent a au point~xptqest le vecteur des derivees 9 ~xptqp9xptq;9yptq;9zptqq: Alors est une ligne de champ pourÝÑVVx~Vy~Vz~ksi et seulement si, pour toutt, on a: 9 ~xptq ÝÑVp~xptqqc-a-d$ %9 xptq Vxxptq;yptq;zptq 9 yptq Vyxptq;yptq;zptq 9 zptq Vzxptq;yptq;zptq Par tout point xe~x0~xpt0qil passe une seuleligne de champ.

Exercice

Enonce {Trouver et dessiner les lignes de champ des champs de vecteurs suivants.

ÝÑVpx;y;zq py;x;0q y~x~Reponse {

~xptqpxptq;yptq;zptqqdecrit une ligne de champ si: 9 ~xptq 9xptq;9yptq;9zptq

ÝÑVxptq;yptq;zptq

yptq;xptq;0c.-a-d. %9 xptq yptq 9 yptq xptq 9 zptq 0:Ainsi

9xptqxptq9yptqyptqddt

xptq2yptq20, et donc xptq2yptq2est constant zptqest constant:Au nal, decrit un cercle sur un plan horizontal centre sur l'axeOz.yz x

Exercice

Champ gravitationnel:ÝÑGprq GMr

2~er.Reponse {Les lignes de champ deÝÑGdonnent latrajectoired'un corps

sousmis a la force gravitationnelle exercee par la masseM.

En coord. spheriques, une courbe parametree

est donnee par rptq Ps0;8r; 'ptq P r0;2retptq Ps0;r: Les points de la courbe sont donnes par les vecteurs positions xptq rptq~erptq; ou le vecteur ~erdepend aussi detcar il change de directionavec le point xptq(contrairement a~,~et~k).

Le vecteur tangent a

au point~xptqest donc 9 ~xptq 9rptq~erptq rptq9~erptq: Pour trouver les lignes de champ, il nous faut un petit lemme.

Derivee d'un vecteur a norme constante

Lemme {Soit~u~uptqun vecteur parametre par tPR.

Si ~u a norme constante non nulle, c-a-d||~uptq|| c0, alors le vecteur derive

9~u est toujours orthogonala

~u, c-a-d uptq 9~uptq 0pour tout t (produit scalaire):Preuve {On ecrit||~uptq|| a~ uptq ~uptqet on derive: ~uptq|| 1a~ uptq ~uptq

19~uptq ~uptq ~uptq 9~uptq2

a~ uptq ~uptq

2~uptq 9~uptq2

a~ uptq ~uptq~uptq 9~uptq|| ~uptq||On a donc ~uptq|| cô ~uptq||

10ô~uptq 9~uptq 0:l

Exercice (suite)

Resume: pour une courbe

en coordonnees spherique xptq rptq~erptq; le vecteur tangent est 9quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47