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DERNIÈRE IMPRESSION LE8 décembre 2015 à 15:31
Les triplets pythagoriciens
1 Définition
Définition 1 :On dit que trois nombresa,betcentiers naturels forment un triplet pythagoricien s"ils vérifient la relation :a2+b2=c2.Remarque :Rechercher des triplets pythagoriciens
revient à chercher des triangles rectangles dont les côtés sont des nombres entiers. Le plus connu des tri- plets pythagoriciens est (3; 4; 5), connu depuis l"An- tiquité et utilisé par les architectes égyptiens pour tracer des angles droits. On utilise une corde à noeuds : sur une corde fermée, on place 12 noeuds régulièrement espacés. On peut ainsi reconstituer le triangle rectangle (3; 4; 5), et fa- briquer ainsi une équerre de poche pliable!2 Restriction de la recherche
2.1 Triplets irréductibles
Théorème 1 :Si (a;b;c) est un triplet pythagoricien alors, pour tout entier natureln, (na;nb;nc) est aussi un triplet pythagoricien. Démonstration :Immédiate, cela revient à multiplier l"égalité d"origine parn2 Remarque :(6; 8; 10) et (27; 36; 45) sont obtenus en multipliant (3; 4; 5) respec- tivement par 2 et 9. Ce sont donc des triplets pythagoriciens. Théorème 2 :Si deux des trois nombres composant un triplet pythagori- cien ont un diviseur commund, alorsddivise aussi le troisième nombre. Démonstration :En effet, supposons quedsoit un diviseur commun àaetb: il existe alors deux entiers,a?etb?tels quea=da?etb=db?. Alorsc2=a2+b2=d2(a?2+b?2). Doncd2divisec2, et doncddivisec. Par un raisonnement similaire sidest un diviseur commun àaetc, oubetc, on montre queddivise respectivementboua. Supposons queaetbsoient premiers entre eux, alorsaetcsont premiers entre eux. Sinon on pourrait trouver un diviseur commund?=1 àaetc, qui diviserait alorsb, ce qui est absurde puisqueaetbsont supposés être premiers entre eux.PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ
Théorème 3 :Tout triplet pythagoricien peut se ramener a un triplet pythagoricien "réduit", oùa,betcsont premiers entre eux deux a deux. Il suffit même que deux d"entre-eux le soient. Remarque :On se limitera donc à l"étude des triplets pythagoriciens (a,b,c), aveca,betcpremiers entre eux deux à deux. Un tel triplet est appelétriplet irréductible.2.2 Étude de la parité
Soit (a,b,c) un triplet pythagoricien irréductible. Étudions d"abord la paritédea, betc. Ces trois nombres ne peuvent pas être tous pairs car ils sont premiers entre eux deux à deux. Pour la même raison, il ne peut pas y avoir deux nombres pairs (et unimpair) : cela est immédiat, puisquea,betcsont premiers entre eux deux à deux.Prouvons que les trois nombres ne peuvent pas être tous impairs :Siaetbsont impairs,a2etb2sont donc impairs, donca2+b2=c2est pair.