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FONCTION INVERSE

Partie 1 : Définition et allure de la courbe

Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y

1) Définition

Définition : La fonction inverse �� est définie sur ℝ\ 0 par ��

2) Représentation graphique

Remarque : La courbe d'équation ��=

de la fonction inverse, appelée hyperbole de centre

O, est symétrique par rapport à l'origine.

Partie 2 : Dérivée et sens de variation

1) Dérivée

Propriété : La dérivée de la fonction inverse �� est définie sur ℝ\ 0 par �� -2 -1 0,25 1 2 3 -0,5 -1 4 1 0,5 1 3 2

Démonstration (pour les experts) :

Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk

Or : lim

= lim 1 Pour tout nombre ��, on associe le nombre dérivé de la fonction �� égal à - Ainsi, pour tout �� de ℝ\{0}, on a : �� 1 2

2) Variations

Propriété : La fonction inverse est décroissante sur -∞;0 et sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout �� de ℝ\

0 < 0.

Donc �� est décroissante sur

-∞;0 et sur

0;+∞

Partie 3 : Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition

1) En +∞

On s'intéresse aux valeurs de ��

lorsque x devient de plus en plus grand. x 5 10 100 10000 ...

0,2 0,1 0,01 0,0001 ?

On constate que ��

se rapproche de 0 lorsque x devient de plus en plus grand. On dit que la limite de f lorsque x tend vers +∞ est

égale à 0 et on note :

lim =0.

Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus

grandes, la courbe de �� se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses. 3

2) En -∞

On s'intéresse aux valeurs de ��

lorsque x devient de plus en plus " grand dans les négatifs » x ... -10000 -100 -10 -5 ? -0,0001 -0,01 -0,1 -0,2

On constate que ��

se rapproche de 0 lorsque x devient de plus en plus " grand dans les négatifs ». On dit que la limite de �� lorsque �� tend vers -∞ est égale à 0 et on note : lim =0. Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus " grandes dans les négatifs », la courbe de �� se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses. On dit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse en -∞ et en +∞.

3) Au voisinage de 0

L'image de 0 par la fonction �� n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de �� lorsque x se rapproche de 0. x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 ... 0,001 0,01 0,1 0,5 -2 -10 -100 -1000 ? 1000 100 10 2

A l'aide de la calculatrice, on constate que :

- Pour ��>0 : �� devient de plus en plus grand lorsque �� se rapproche de 0. On dit que la limite de �� lorsque �� tend vers 0 pour ��>

0 est égale à +∞ et on note :

lim Graphiquement, pour des valeurs positives, de plus en plus en proches de 0, la courbe de �� se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées. 4 - Pour ��<0 : �� devient de plus en plus " grand dans les négatifs » lorsque �� se rapproche de 0. On dit que la limite de �� lorsque �� tend vers 0 pour ��<0 est égale à -∞ et on note : lim

Graphiquement, pour des valeurs négatives, de

plus en plus en proches de 0, la courbe de �� se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées. On dit que l'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction inverse. - Si ��′(��)≥0, alors �� est croissante. Méthode : Étudier une fonction obtenue par combinaisons linéaires de la fonction inverse et d'une fonction polynomiale

Vidéo https://youtu.be/P3Ui9-Pk8p8

Soit la fonction �� définie sur ℝ∖ 0 par�� =1-2��-

1) Calculer la fonction dérivée de ��.

2) Déterminer le signe de ��′ en fonction de ��.

3) Dresser le tableau de variations de ��.

4) Représenter la fonction �� dans un repère.

Correction

1) On a : ��

=1-2��-2×

Rappels sur les formules de dérivation :

Fonction f Dérivée f '

=0 =2�� 0 =3�� 5

Donc : ��

=-2- 2× "- =-2+ -2�� 2 2

2) On commence par résoudre l'équation ��

(��)=0.

Soit : 2-2��

Donc : 2=2��

Soit : ��

Et donc : ��=1 ou ��=-1.

��′ est du signe du numérateur car le dénominateur est positif. Le numérateur est une fonction du second degré représentée par une parabole sont les branches sont tournées vers le bas (��=-2 est négatif). Elle est donc d'abord négative (avant ��=-1) puis positive (entre ��=-1 et ��=1) et à nouveau négative (après ��=1).

3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème :

En effet : ��

-1 =1-2× -1 =5 1 =1-2×1- =-3

4) En testant, pour des valeurs négatives de plus en plus en proches de 0, ��

devient de plus en plus grand. Pour des valeurs positives, �� devient de plus en plus " grand dans les négatifs ». L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonction ��. 6quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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FONCTION INVERSE

Partie 1 : Définition et allure de la courbe

Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y

1) Définition

2) Représentation graphique

Remarque : La courbe d'équation ���=

O, est symétrique par rapport à l'origine.

Partie 2 : Dérivée et sens de variation

1) Dérivée

Démonstration (pour les experts) :

Vidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk

Or : lim

2) Variations

0;+∞

Démonstration :

Pour tout ��� de ℝ\

Donc ��� est décroissante sur

0;+∞

1) En +∞

On s'intéresse aux valeurs de ���

0,2 0,1 0,01 0,0001 ?

On constate que ���

égale à 0 et on note :

Graphiquement, pour des valeurs de plus en plus

2) En -∞

On s'intéresse aux valeurs de ���

On constate que ���

3) Au voisinage de 0

A l'aide de la calculatrice, on constate que :

0 est égale à +∞ et on note :

Graphiquement, pour des valeurs négatives, de

Vidéo https://youtu.be/P3Ui9-Pk8p8

1) Calculer la fonction dérivée de ���.

2) Déterminer le signe de ���′ en fonction de ���.

3) Dresser le tableau de variations de ���.

4) Représenter la fonction ��� dans un repère.

Correction

1) On a : ���

Rappels sur les formules de dérivation :

Fonction f Dérivée f '

Donc : ���

2) On commence par résoudre l'équation ���

Soit : 2-2���

Donc : 2=2���

Soit : ���

Et donc : ���=1 ou ���=-1.

3) On dresse alors le tableau de variations en appliquant le théorème :

En effet : ���

4) En testant, pour des valeurs négatives de plus en plus en proches de 0, ���

Remarque : La courbe d'équation ��=

Pour tout �� de ℝ\

Donc �� est décroissante sur

On s'intéresse aux valeurs de ��

On constate que ��

On s'intéresse aux valeurs de ��

On constate que ��

1) Calculer la fonction dérivée de ��.

2) Déterminer le signe de ��′ en fonction de ��.

3) Dresser le tableau de variations de ��.

4) Représenter la fonction �� dans un repère.

1) On a : ��

Donc : ��

2) On commence par résoudre l'équation ��

Soit : 2-2��

Donc : 2=2��

Soit : ��

Et donc : ��=1 ou ��=-1.

En effet : ��

4) En testant, pour des valeurs négatives de plus en plus en proches de 0, ��