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MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)Chapitre 11 - Valeurs propres - Vecteurs propres

1 Introduction

1.Probl`eme: SoitA= 4 1

2 1! . CalculerAnavec 06n65 : A

0= 1 0

0 1! A

1= 4 1

2 1! A

2= 14 5

101!
A

3= 46 19

3811!
A

4= 146 65

13049!

A

5= 454 211

422179!

Et combien vautAn?

A n=0

BBBBBBBBBBB@2n+23n2n+3n

22n23n22n3n1

CCCCCCCCCCCA

2. Ce qui est compliqu

´e dans le calcul des puissances d"une matrice, c"est que tous les coecients sedispersentau cours des multiplications :

M= a b

c d! M 2=0

BBBBBB@a

2+bc ab+db

ac+dc d2+bc1

CCCCCCAM3=0

BBBBBBBBB@a

3+2bca+bcd ba2+bda+bd2+b2c

ca

2+cda+bc2+cd2d3+2bcd+abc1

CCCCCCCCCA

Il y a un cas o

`u c"est facile :

Th´eor`emeD=0

BBBBBBBBBBBBB@

100
020 0 0m1

CCCCCCCCCCCCCA)Dn=0

BBBBBBBBBBBBB@

n 100
0n 20

0 0nm1

CCCCCCCCCCCCCA

Remarque: Sii,0 pour touti, la formule vaut pour toutn2Z.

3.Th´eor`eme: SoitPune matrice inversible. SiA1,A2, ...,Ansont des matrices quelconques et :

B

1=PA1P1B2=PA2P1:::Bn=PAnP1

alors :B1B2Bn=PA1A2AnP1

En particulier :B=PAP1)Bn=PAnP1

D´emonstration:B1B2B3Bn=PA

1P1PA 2P1PA 3P1PA nP1 =PA1P1PA 2P1PA

3(P1P)AnP1

=PA1IA2IA3AnP1 =PA1A2A3AnP1 1

MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)4.M´ethodepour calculerAnconnaissant unematrice inversibleP et unematrice diagonaleD telles

queA=PDP1: on calculeDnpuisAn=PDnP1Exemple: 4 1 2 1! | {z } A= 11 1 2! | {z } P 3 0 0 2! | {z } D 2 1 1 1! | {z } P 4 1 2 1! n = 2n+23n2n+3n

22n23n22n3n!

2 Valeurs propres - Vecteurs propres

1. Quand il existePetDtelles queA=PDP1ont dit queAestdiagonalisable.

Une matriceA´etant donn´ee, on cherche ce que pourraitˆetre la matricePsiA´etait diagonalisable :

A=PDP1()AP=PD=APDP

AP c k c kk Ac k c kk Conclusion: Les colonnes dePdoivent forc´ement v´erifier une´egalit´e du type : Ac=cavecun nombre etcune matrice colonne non nulle.

Quand on a une telle

´egalit´e, on dit queest unevaleur propredeAet quecest unvecteur propre pour la valeur propre.

2. Comment trouver des valeurs propres et des vecteurs propres?

On suppose queAest unematrice carr´ee d"ordre p. On notei;jses coecients etXiceux de la colonnec. 2

MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)L"

´egalit´eAc=c´equivaut au syst`eme :

8>>>>>>><>>>>>>>:

1;1X1+1;2X2++1;pXp=X1

2;1X1+2;2X2++2;pXp=X2

p;1X1+p;2X2++p;pXp=Xp Parce que les inconnues sontX1,X2, ...,Xpet, ce n"est pas un syst`eme lin´eaire!

Si les inconnues´etaient seulementX1,X2, ...,Xp, ce serait un syst`eme lin´eaire dont on trouverait

les solutions par la m

´ethode du pivot.

8

2;1X1+(2;2)X2++2;pXp=0

p;1X1+p;2X2++(p;p)Xp=0 C"est unsyst`eme lin´eaire homog`enedont on cherche lessolutions non nulles. Pour que ce syst`eme ait une solutions non nulle, il faut et il sut que le d´eterminant deAI, sa matrice des coecients, soit nul. Th´eor`eme:est une valeur propre deAsi et seulement sidet( AI)=0.

3.Th´eor`eme:

A(z)=det(AzI)=

1;1z1;21;p

2;12;2z2;p

p;1p;2p;pz est un polyn ˆome; on l"appelle lepolynˆome caract´eristiquedeA. A(z)=det(A)++(1)p1(1;1+2;2++p;p)| {z } tr(A)z p1+(1)pzp tr(A)est la tracedeA. Les valeurs propres deAsont les nombrestels que}A()=0.

4. Exemples

Exemple 1:A= a b

c d! A(z)= az b c dz =(az)(dz)bc=(adbc)(a+d)z+z2 Exemple 2: Les valeurs propres d"une matrice triangulaire sont ses coecients diagonaux. A=0

BBBBBBBBBBBBBB@

1;11;21;p

02;22;p

0 0p;p1

CCCCCCCCCCCCCCA}

A(z)=

1;1z1;21;p

02;2z2;p

0 0p;pz

A(z)=(1;1z)(2;2z)(p;pz)

3

MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)Exemple 3: Il existe des matrices qui ne sont pas diagonalisables.

A= 1 1

0 1!

A(z)=(1z)(1z)

SiA´etait diagonalisable, les coecients diagonaux de la matriceD, v´erifiant}A()=0 seraient forc ´ement´egaux`a 1,Dserait la matrice identit´e, etA=PDP1=I, ce qui est faux. DoncAn"est pas diagonalisable!

5.Th´eor`eme de d"Alembert-Gauss

SoitPun polynˆome de degr´ep>1,`a coecients complexes, dont le coecient du terme de plus haut degr ´e est. Alors, il existe des nombres complexes1,2, ...,set des entiers strictement positifsm1, m2, ..., mstels que :

P(z)=(z1)m1(z2)m2(zs)msavecm1+m2++ms=p

Tous ces nombres sont uniques

`a l"ordre pr`es : les nombresisont lesracinesdeP, l"entiermiest lamultiplicit´ede la racinei: quandmi=1la racine est simple, quandmi=2la racine est double, quandmi=3la racine est triple, etc. Dans le cas g´en´eral, la racine est d"ordre mi.

6. Siest une valeur propre deA, lesvecteurs proprespour la valeur propresont lessolutions non

nullesdu syst`eme lin´eaire homog`ene( AI)X=0.

On sait queAposs`ede des valeurs propres et qu"en r´esolvant ce syst`eme par la m´ethode du pivot,

on pourra trouver des vecteurs propres pour faire les colonnes deP. En aura-t-on assez pour fabriquer une matrice P inversible? On notev()le nombr ed"inconnues non principales du syst `eme homog`ene( AI)X=0.

Th´eor`eme:

Sim()est la multiplicit ´e de la valeur propreon a toujours :

16v()6m()La matriceA est diagonalisablesi et seulement siv()=m()pour chaque valeur pr opre.

Th´eor`eme: SoientAune matrice diagonalisable,une valeur propre deAetm()sa multiplicit ´e.

Il y am()coecients diagonauxdeD´egaux`a.

Il y am()colonnesdePqui sont desvecteurs propres pour. Si lakecolonnedePest un vecteur propre pour, lekecoecient diagonaldeDest´egal`a.

7.Exemple:A=0

BBBBBBB@3 1 1

834

6 3 41

CCCCCCCA}A(z)=(2z)(1z)2

=28 >>>><>>>>:3X1+X2+X3=2X1

8X13X24X3=2X2

6X1+3X2+4X3=2X3()8

>>>><>>>>:X

1+X2+X3=0

8X15X24X3=0

6X1+3X2+2X3=0

4

MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)v(2)=m(2)=1 Le calcul montre que les vecteurs propres sont les multiples de0

BBBBBBB@1

4 31

CCCCCCCA

=18 >>>><>>>>:3X1+X2+X3=X1

8X13X24X3=X2

6X1+3X2+4X3=X3()8

>>>><>>>>:2X1+X2+X3=0

8X14X24X3=0

6X1+3X2+3X3=0

v(1)=m(1)=2 Le calcul montre que les vecteurs propres sont les colonnesu0

BBBBBBB@1

3 11

CCCCCCCA+v0

BBBBBBB@0

1 11

CCCCCCCA

AvecP=0

BBBBBBB@1 1 0

43 1

3 1 11

CCCCCCCAon a :0

BBBBBB@3 1 1

834

6 3 41

CCCCCCA=0

BBBBBB@1 1 0

43 1

3 1 11

CCCCCCA0

BBBBBB@2 0 0

0 1 0

0 0 11

CCCCCCA0

BBBBBB@2 1 1

111

5 2 11

CCCCCCA

| {z }

A| {z }

P| {z }

D| {z }

P 1 Remarque: Quandm()=1, on av()=1puisque 1 6v()6m()et, du coup, v()=m(). Cons´equence: Une matrice qui a toutes ses valeurs propres simples, est diagonalisable.

8.Cas des matrices r´eelles: QuandAest r´eelle,}A(z) est`a coecients r´eels.

Th´eor`eme:

Siest une valeur propre qui n"est pas r´eelle,aussi est une valeur propre etm()=m(). Les vecteurs propres pours"obtient en conjugant les vecteurs propres pour.

Exemple:A= cossin

sincos!

A(z)=(e+iz)(eiz)

=e+i8 >><>>:isinX1sinX2=0 sinX1isinX2=0 les vecteurs propres sont les multiples de 1 i! =ei8 >><>>:+isinX1sinX2=0 sinX1+isinX2=0 les vecteurs propres sont les multiples de 1 i!

3 Exponentielle de matrice

1. Un syst

`eme di´erentiel lin´eaire, homog`ene,`a coecients constants, est un syst`eme du type :8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:X

0

1(t)=1;1X1(t)+1;2X2(t)++1;pXp(t)

X 0

2(t)=2;1X1(t)+2;2X2(t)++2;pXp(t)

X

0p(t)=p;1X1(t)+p;2X2(t)++p;pXp

avec des fonction inconnuesX1, X2, ..., Xpde la variabletet des coecients constantsi;j. 5

MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)En posantA=0

BBBBBBBBBBB@

1;11;21;p

2;12;22;p

p;1p;2p;p1

CCCCCCCCCCCAetX=0

BBBBBBBBBBB@X

1 X 2 X p1

CCCCCCCCCCCAle syst

`eme devient :X0(t)=AX(t).

2.Th´eor`eme: Les solutions d"un tel syst`eme sont d´eveloppables en s´erie enti`ere, avec un rayon

de convergence infini. X k(t)=X n>0t nn!X(n) k(0))X(t)=X n>0t nn!X(n)(0)

X(t)=0

BBBBBBBBBBBBBBBB@X

1(0)+t1!

X0

1(0)+t22!

X00 1(0)+ X p(0)+t1!

X0p(0)+t22!

X00p(0)+1

CCCCCCCCCCCCCCCCA=0

BBBBBBBBBB@X

1(0) X p(0)1

CCCCCCCCCCA+t1!

0

BBBBBBBBBB@X

0 1(0) X

0p(0)1

CCCCCCCCCCA+t22!

0

BBBBBBBBBB@X

00 1(0) X

00p(0)1

CCCCCCCCCCA+

3. Par r

´ecurrence :X0(t)=AX(t))X(n)(t)=AnX(t)donc :

X(t)=X(0)+t1!

AX(0)+t22!

A2X(0)+=

I+t1!

A+t22!

A2+! | {z } e tAX(0) X

0(t)=AX(t))X(t)=etAX(0)4.Exemple:8

>>><>>>:X 0

1(t)=4X1(t)+X2(t)

X 0

2(t)=2X1(t)+X2(t)A= 4 1

2 1! e tA=X n>0t nAnn!=X n>0t nn!0

BBBBBBB@2n+23n2n+3n

22n23n22n3n1

CCCCCCCA=X

n>00

BBBBBBBBBBB@

2ntnn!+23ntnn!2ntnn!+3ntnn!

22ntnn!23ntnn!22ntnn!3ntnn!1

CCCCCCCCCCCA

0

BBBBBBB@X

1(t) X 2(t)1

CCCCCCCA=0

BBBBBBB@e2t+2e3te2t+e3t

2e2t2e3t2e2te3t1

CCCCCCCA0

BBBBBBB@X

1(0) X 2(0)1

CCCCCCCA

X

1(t)=X1(0)X2(0)e2t++2X1(0)+X2(0)e3t

X

2(t)=+2X1(0)+2X2(0)e2t+2X1(0)X2(0)e3t

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