7 jan 2014 · FONCTION INVERSE, FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 2nde 10 EXERCICE 1 Soient f la fonction définie pour tout réel x = 0 par f(x) = 1
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7 jan 2014 · FONCTION INVERSE, FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 2nde 10 EXERCICE 1 Soient f la fonction définie pour tout réel x = 0 par f(x) = 1
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Définition On appelle fonction homographique toute fonction du type f x ax b La petite démonstration de ce fait est laissée comme exercice au lecteur h 3
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Lycée JANSON DE SAILLY07 janvier 2014
FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
IFONCTION INVERSE
1 -DÉFINITION
La fonction inverse est la fonction définie pour tout réelx?=0 parf(x) =1xENSEMBLE DE DÉFINITION
L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls notéR?, c'est la réunion de
deux intervalles]-∞;0[?]0;+∞[2 -VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.
TABLEAU DES VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
x-∞0+∞ f(x) ❊DÉMONSTRATIONSoientaetbdeux réels non nuls tels quea Étudions le signe def(a)-f(b) =1
a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ aSia0 etab>0 doncb-aab>0
soitf(a)-f(b)>0 Ainsi, pour tous réelsaetbstrictement négatifs, si aÉtudions le signe def(a)-f(b) =1
a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ a3 -COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équationy=1x.REMARQUE:
Pour tout réelx?=0,f(-x) =-1
x=-f(x). Les pointsM(x;f(x))etM?(-x;f(-x))sont symétriques par rapport à l'origine du repère. L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
011 M M ?x1 x -x 1 xREMARQUE:
- On peut rendref(x) =1 xaussi grand que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment proche de 0 et positif. - On peut rendref(x) =1 xaussi proche de 0 que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment grand.Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsquextend vers+∞, et de l'axe des
ordonnées lorsquexse rapproche de 0. On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.IIFONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
1 -DÉFINITION
On appelle fonction homographique toute fonctionfqui peut s'écrire sous la formef(x) =ax+bcx+doùa,b,
c?=0 etdsont des réels tels quead-bc?=0REMARQUE
La conditionad-bc?=0 traduit le fait queax+betcx+dne sont pas pas proportionnels.Sic?=0 etad-bc=0 alors le quotientax+b
cx+dest constant. En effet ax+b cx+d=cax+bcc(cx+d)=cax+adc(cx+d)=ac2 -ENSEMBLE DE DÉFINITION
Une fonction homographique est définie pour tout réelxtel que le dénominateurcx+dne s'annule pas.
La fonctionf:x?→ax+b
cx+dest définie sur? -∞;-dc? -dc;+∞;?EXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie parf(x) =2x+1 3-2x3-2x?=0 lorsquex?=3
2, donc l'ensemble de définition defestD=?
-∞;32? ??32;+∞;? que l'on note aussiR-?3 2?A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
3 -PROPRIÉTÉ
Toute fonction homographique peut se mettre sous la forme réduitex?→A+Bx-aavecB?=0. ❊PREUVE Soitfla fonction homographique définie parf(x) =ax+b cx+d(avecc?=0 etad-bc?=0) - Sia=0 alors pour tout réelx?=-d c, b cx+d=bc? x+dc? =b c x+dc - Sia?=0 alors pour tout réelx?=-d c, ax+b cx+d=ac×x+b a x+dc= a c×? x+d c? +?ba-dc? x+dc= a c+bc-ad c2 x+dcEXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =2x-113x+6Pour tout réelx?=-2,
2x-113x+6=23×x-11
2 x+2=23×(x+2)-15 2 x+2=23-23×152
x+2=23-5x+2Ainsi, pour tout réelx?=-2,f(x) =2
3-5x+2
4 -VARIATIONS
La forme réduitef:x?→A+Bx-aavecB?=0 d'une fonction homographique permet de déduire les variations
de la fonctionfà partir des variations de la fonction inverse. B<0 x-∞a+∞ f(x) B>0 x-∞a+∞ f(x)EXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =23-5x+2.
Étudions les variations de la fonctionfsur chacun des intervalles]-∞;-2[ou]-2;+∞[ a) Soientaetbdeux réels de l'intervalle]-∞;-2[tels queaA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
D'où
-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)Par conséquent,
23-5a+2<23-5b+2.
Ainsi, siaD'où
-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)Par conséquent,
23-5a+2<23-5b+2.
Ainsi, sia5 -COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative d'une fonction homographique estune hyperbole.REMARQUE
La forme réduitef:x?→A+B
x-aavecB?=0 d'une fonction homographique fait apparaître le centre de symétrieW( a;A)ainsi que les deux asymptotes d'équationx=aety=Ade l'hyperbole. B<0 ?i? jOxy ?A a W B>0 ?i? jOxy ?A a WA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 4 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 1
Soientflafonction définie pour tout réelx?=0parf(x)=1xetglafonction affine définie surRparg(x)=2-x.
1. Tracer les courbes représentatives des deux fonctionsfetgdans le plan muni d'un repère orthonormé.
2. Étudier les positions relatives des deux courbes.
EXERCICE 2
1. Donner un encadrement de1xdans chacun des deux cas suivants :
a)-0,52. Dans chaque cas, trouver les réelsxqui satisfont la condition donnée :
a) 1 x?34; b)1x>2; c)-2<1x?-15; d)-13?1x?3EXERCICE 3
Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses est égale à l'inverse de 600?
EXERCICE 4
1. Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses.
a)x>4?1 x<14; b)x?-23?1x?-1,5; c)x>-2?1x<-12; d)x<0,6?1x>532. Pour chacune des implications précédentes, énoncer la réciproque et dire si celle ci est vraie ou fausse.
EXERCICE 5
1. Soitxun réel tel que 1 a) Montrer que(x-1)3?(x-1)2 b) Que peut-on en déduire pour 1 (x-1)3et1(x-1)2? 2. La proposition "Pour tout réelx>1,1
(x-1)3?1(x-1)2» est-elle vraie ou fausse? EXERCICE 6
Soita?=0 un réel. On souhaite ranger dans l'ordre croissant les trois nombresa,a2et1a 1. Les courbes représentatives des fonctionsf:x?→x2,g:x?→xeth:x?→1
xsont représentées sur le graphique ci-dessous 12 -1 -2 -31 2-1-2-30xy A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombresa,a2et1
aselon les différentes valeurs du réela. 2. Si 0 a EXERCICE 7
On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'unevoiture pour le week-end est de 90C, que la
consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un
litre de carburant est de 1,50 C. 1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru? 2. Soitx>0 le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue unevoiture pendant le week-end.
a) Exprimer en fonction dex, le montantf(x)du prix de revient moyen par kilomètre parcouru. b) Préciser les variations de la fonctionf. 3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre
parcouru a été de 0,52 C. a) Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end? b) Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end? EXERCICE 8
La courbeCfreprésentative d'une fonctionfa pour équationy=3x+1. La courbeCfest tracée dans le plan
muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Montrer que la fonctionfest strictement décroissante sur l'intervalle]-∞;-1[.
b) Donner le tableau des variations de la fonctionf. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-5) =-7 etg(3) =9.
Déterminer l'expression degen fonction dex. Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le
repère orthogonal donné en annexe. 4. Résoudre dansR, l'inéquation3
x+1?2x+3. Interpréter graphiquement le résultat. 2468
-2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy
Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 9
1. Quel est le domaine de définition de la fonctionfdéfinie parf(x) =1-2x+3?
2. Étudier les variations de la fonctionfet donner son tableau de variation.
EXERCICE 10
Soitfla fonction définie sur l'intervalle]-2;+∞[parf(x) =5x+2. Sa courbe représentativeCfest tracée
dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous. 12345678
-1 1 2 3 4 5 6-1-20xyCf
1. Résoudre graphiquementf(x)≥2.
2. Soitaetbdeux réels tels que-2 a) Comparerf(a)etf(b). b) En déduire le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle]-2;+∞[. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-1,5) =4 etg(2,5) =0 .
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal précédent. 4. a) Montrer que pour tout réelxde l'intervalle]-2;+∞[,f(x)-g(x) =x2-0,5x
x+2. b) Étudier le signe def(x)-g(x). Interpréter graphiquement le résultat. EXERCICE 11
1. Résoudre dansRl'inéquation12x+3?1
2. Chercher l'erreur dans le raisonnement suivant :
" Comme la fonction inverse est décroissante,1 2x+3?1?2x+3?1 d'oùx?-1 ».
A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 7 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 12
Pour deux résistancesR1etR2montées en parallèle, la résistanceRdu dipôle vérifie la relation1R=1R1+1R2
R1 R 2 Les résistances sont exprimées en ohms (W). On donneR1=4 etR2=x. 1. Montrer queR=4x
x+4 2. Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) =4x
x+4 a) Déterminer les réelsAetBtels quef(x) =A+B x+4 b) Étudier les variations de la fonctionf. 3. a) Est-il possible que la résistanceRdu dipôle soit supérieur à 4W?
b) Déterminer la résistanceR2pour que la résistanceRdu dipôle soit égale à 3W. EXERCICE 13
À l'occasion d'une randonnée, la vitesse moyenne d'un cycliste à l'aller est de 15 km/h. 1. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour lorsque la vitesse moyenne au retour est de 21 km/h?
2. On notexla vitesse moyenne exprimée en km/h du cycliste au retour etV(x)la vitesse moyenne du cycliste
sur le trajet aller-retour. a) Montrer queV(x) =30x x+15. b) Pour quelles valeurs dexla vitesse moyenne sur le trajet total sera supérieure à 20 km/h? c) La vitesse moyenne sur le trajet total peut-elle dépasserles 30 km/h? EXERCICE 14
ABCDest un rectangle tel queAB=8 etBC=5.
Mest un point du segment[AB]distinct deB. La droite(CM)coupe la droite(AD)enN AB C DxMN 1. On poseAM=x
a) Quelles sont les valeurs possibles du réelx? A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 8 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
b) Exprimer la distanceANen fonction dex. 2. Soitfla fonction définie sur l'intervalle[0;8[parf(x) =40
8-x-5.
Étudier les variations de la fonctionf.
3. Pour quelles valeurs dexla distanceANest-elle comprise entre 3 et 20?
4. Est-il possible queAN?1995?
EXERCICE 15
L'offre et la demande désignent respectivement la quantitéd'un bien ou d'un service que les acteurs du marché
sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné. Une étude concernant un article A a permis d'établir que : - la fonction d'offrefest donnée parf(q) =0,5q - la fonction demandegest donnée parg(q) =78-6q q+8 oùf(q)etg(q)sont les prix d'un article en euros, pour une quantitéqcomprise entre 1 et 12 millions d'unités.
012345678
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Prix (en
C) Quantité
(en millions)Courbe de demandedu marché Courbe d'offredu marché
1. On suppose que le prix de vente d'un article est de 1C. À l'aide du graphique, déterminer si la demande est
excédentaire. 2. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,50
C. a) Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché; b) Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché; c) Quel problème cela pose-t-il? 3. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un mêmeprix, la quantité offerte est égale à la quantité
demandée. Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée. A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 9 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 16
L'hyperboleCftracée dans leplan munid'un repère orthogonal enannexe ci-dessous est lacourbe représentative
d'une fonctionf. L'hyperboleCfa pour équationy=4x-37 2x-1. 1. a) Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection de lacourbeCfavec les axes du repère. c) Résoudre l'équationf(x) =3. 2. a) Déterminer les réelsaetbtels quef(x) =a+b
x-0,5. b) 2 a-t-il un antécédent parf? 3. Soitgla fonction affine telle queg(-7) =8 etg(6) =-5.
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal donné en annexe.
4. a) Étudier les positions relatives des courbesCfetD.
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbesCfetD. ANNEXE
24681012141618
-2 -4 -6 -8 -10 -121 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7-80xy Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 10 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 17
Soitfla fonction définie parf(x) =-12x-23x+2. On noteCfsa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthogonal. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Déterminer les réelsAetBtels quef(x) =A+B
x+23. b) Étudier le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle? -2 3;+∞?
c) En déduire un encadrement def(x)six?[65;66] d) Pour quelles valeurs du réelx,-4?f(x)?-3,997? 3. Soitgla fonction affine telle queg(-7) =-10 etg(3)-g(-7) =9.
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal donné en annexe.
4. a) Résoudre dansRl'équationf(x) =g(x). Interpréter graphiquement le résultat trouvé.
b) Étudier les positions relatives des courbesCfetD. ANNEXE
246810
-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 11 sur11
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
2. La proposition "Pour tout réelx>1,1
(x-1)3?1(x-1)2» est-elle vraie ou fausse?EXERCICE 6
Soita?=0 un réel. On souhaite ranger dans l'ordre croissant les trois nombresa,a2et1a1. Les courbes représentatives des fonctionsf:x?→x2,g:x?→xeth:x?→1
xsont représentées sur le graphique ci-dessous 12 -1 -2 -31 2-1-2-30xyA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombresa,a2et1
aselon les différentes valeurs du réela.2. Si 0 a EXERCICE 7
On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'unevoiture pour le week-end est de 90C, que la
consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un
litre de carburant est de 1,50 C. 1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru? 2. Soitx>0 le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue unevoiture pendant le week-end.
a) Exprimer en fonction dex, le montantf(x)du prix de revient moyen par kilomètre parcouru. b) Préciser les variations de la fonctionf. 3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre
parcouru a été de 0,52 C. a) Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end? b) Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end? EXERCICE 8
La courbeCfreprésentative d'une fonctionfa pour équationy=3x+1. La courbeCfest tracée dans le plan
muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Montrer que la fonctionfest strictement décroissante sur l'intervalle]-∞;-1[.
b) Donner le tableau des variations de la fonctionf. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-5) =-7 etg(3) =9.
Déterminer l'expression degen fonction dex. Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le
repère orthogonal donné en annexe. 4. Résoudre dansR, l'inéquation3
x+1?2x+3. Interpréter graphiquement le résultat. 2468
-2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy
Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur11
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EXERCICE 9
1. Quel est le domaine de définition de la fonctionfdéfinie parf(x) =1-2x+3?
2. Étudier les variations de la fonctionfet donner son tableau de variation.
EXERCICE 10
Soitfla fonction définie sur l'intervalle]-2;+∞[parf(x) =5x+2. Sa courbe représentativeCfest tracée
dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous. 12345678
-1 1 2 3 4 5 6-1-20xyCf
1. Résoudre graphiquementf(x)≥2.
2. Soitaetbdeux réels tels que-2 a) Comparerf(a)etf(b). b) En déduire le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle]-2;+∞[. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-1,5) =4 etg(2,5) =0 .
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal précédent. 4. a) Montrer que pour tout réelxde l'intervalle]-2;+∞[,f(x)-g(x) =x2-0,5x
x+2. b) Étudier le signe def(x)-g(x). Interpréter graphiquement le résultat. EXERCICE 11
1. Résoudre dansRl'inéquation12x+3?1
2. Chercher l'erreur dans le raisonnement suivant :
" Comme la fonction inverse est décroissante,1 2x+3?1?2x+3?1 d'oùx?-1 ».
A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 7 sur11
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EXERCICE 12
Pour deux résistancesR1etR2montées en parallèle, la résistanceRdu dipôle vérifie la relation1R=1R1+1R2
R1 R 2 Les résistances sont exprimées en ohms (W). On donneR1=4 etR2=x. 1. Montrer queR=4x
x+4 2. Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) =4x
x+4 a) Déterminer les réelsAetBtels quef(x) =A+B x+4 b) Étudier les variations de la fonctionf. 3. a) Est-il possible que la résistanceRdu dipôle soit supérieur à 4W?
b) Déterminer la résistanceR2pour que la résistanceRdu dipôle soit égale à 3W. EXERCICE 13
À l'occasion d'une randonnée, la vitesse moyenne d'un cycliste à l'aller est de 15 km/h. 1. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour lorsque la vitesse moyenne au retour est de 21 km/h?
2. On notexla vitesse moyenne exprimée en km/h du cycliste au retour etV(x)la vitesse moyenne du cycliste
sur le trajet aller-retour. a) Montrer queV(x) =30x x+15. b) Pour quelles valeurs dexla vitesse moyenne sur le trajet total sera supérieure à 20 km/h? c) La vitesse moyenne sur le trajet total peut-elle dépasserles 30 km/h? EXERCICE 14
ABCDest un rectangle tel queAB=8 etBC=5.
Mest un point du segment[AB]distinct deB. La droite(CM)coupe la droite(AD)enN AB C DxMN 1. On poseAM=x
a) Quelles sont les valeurs possibles du réelx? A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 8 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
b) Exprimer la distanceANen fonction dex. 2. Soitfla fonction définie sur l'intervalle[0;8[parf(x) =40
8-x-5.
Étudier les variations de la fonctionf.
3. Pour quelles valeurs dexla distanceANest-elle comprise entre 3 et 20?
4. Est-il possible queAN?1995?
EXERCICE 15
L'offre et la demande désignent respectivement la quantitéd'un bien ou d'un service que les acteurs du marché
sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné. Une étude concernant un article A a permis d'établir que : - la fonction d'offrefest donnée parf(q) =0,5q - la fonction demandegest donnée parg(q) =78-6q q+8 oùf(q)etg(q)sont les prix d'un article en euros, pour une quantitéqcomprise entre 1 et 12 millions d'unités.
012345678
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Prix (en
C) Quantité
(en millions)Courbe de demandedu marché Courbe d'offredu marché
1. On suppose que le prix de vente d'un article est de 1C. À l'aide du graphique, déterminer si la demande est
excédentaire. 2. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,50
C. a) Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché; b) Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché; c) Quel problème cela pose-t-il? 3. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un mêmeprix, la quantité offerte est égale à la quantité
demandée. Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée. A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 9 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 16
L'hyperboleCftracée dans leplan munid'un repère orthogonal enannexe ci-dessous est lacourbe représentative
d'une fonctionf. L'hyperboleCfa pour équationy=4x-37 2x-1. 1. a) Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection de lacourbeCfavec les axes du repère. c) Résoudre l'équationf(x) =3. 2. a) Déterminer les réelsaetbtels quef(x) =a+b
x-0,5. b) 2 a-t-il un antécédent parf? 3. Soitgla fonction affine telle queg(-7) =8 etg(6) =-5.
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal donné en annexe.
4. a) Étudier les positions relatives des courbesCfetD.
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbesCfetD. ANNEXE
24681012141618
-2 -4 -6 -8 -10 -121 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7-80xy Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 10 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 17
Soitfla fonction définie parf(x) =-12x-23x+2. On noteCfsa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthogonal. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Déterminer les réelsAetBtels quef(x) =A+B
x+23. b) Étudier le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle? -2 3;+∞?
c) En déduire un encadrement def(x)six?[65;66] d) Pour quelles valeurs du réelx,-4?f(x)?-3,997? 3. Soitgla fonction affine telle queg(-7) =-10 etg(3)-g(-7) =9.
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal donné en annexe.
4. a) Résoudre dansRl'équationf(x) =g(x). Interpréter graphiquement le résultat trouvé.
b) Étudier les positions relatives des courbesCfetD. ANNEXE
246810
-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 11 sur11
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
EXERCICE 7
On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'unevoiture pour le week-end est de 90C, que la
consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un
litre de carburant est de 1,50 C.1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru?2. Soitx>0 le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue unevoiture pendant le week-end.
a) Exprimer en fonction dex, le montantf(x)du prix de revient moyen par kilomètre parcouru. b) Préciser les variations de la fonctionf.3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre
parcouru a été de 0,52 C. a) Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end? b) Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end?EXERCICE 8
La courbeCfreprésentative d'une fonctionfa pour équationy=3x+1. La courbeCfest tracée dans le plan
muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Montrer que la fonctionfest strictement décroissante sur l'intervalle]-∞;-1[.
b) Donner le tableau des variations de la fonctionf.3. Soitgla fonction affine telle queg(-5) =-7 etg(3) =9.
Déterminer l'expression degen fonction dex. Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le
repère orthogonal donné en annexe.4. Résoudre dansR, l'inéquation3
x+1?2x+3. Interpréter graphiquement le résultat. 2468-2 -4 -6 -8
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy
CfA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 9
1. Quel est le domaine de définition de la fonctionfdéfinie parf(x) =1-2x+3?
2. Étudier les variations de la fonctionfet donner son tableau de variation.
EXERCICE 10
Soitfla fonction définie sur l'intervalle]-2;+∞[parf(x) =5x+2. Sa courbe représentativeCfest tracée
dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous.12345678
-11 2 3 4 5 6-1-20xyCf
1. Résoudre graphiquementf(x)≥2.
2. Soitaetbdeux réels tels que-2 a) Comparerf(a)etf(b). b) En déduire le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle]-2;+∞[. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-1,5) =4 etg(2,5) =0 .
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal précédent. 4. a) Montrer que pour tout réelxde l'intervalle]-2;+∞[,f(x)-g(x) =x2-0,5x
x+2. b) Étudier le signe def(x)-g(x). Interpréter graphiquement le résultat. EXERCICE 11
1. Résoudre dansRl'inéquation12x+3?1
2. Chercher l'erreur dans le raisonnement suivant :
" Comme la fonction inverse est décroissante,1 2x+3?1?2x+3?1 d'oùx?-1 ».
A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 7 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 12
Pour deux résistancesR1etR2montées en parallèle, la résistanceRdu dipôle vérifie la relation1R=1R1+1R2
R1 R 2 Les résistances sont exprimées en ohms (W). On donneR1=4 etR2=x. 1. Montrer queR=4x
x+4 2. Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) =4x
x+4 a) Déterminer les réelsAetBtels quef(x) =A+B x+4 b) Étudier les variations de la fonctionf. 3. a) Est-il possible que la résistanceRdu dipôle soit supérieur à 4W?
b) Déterminer la résistanceR2pour que la résistanceRdu dipôle soit égale à 3W. EXERCICE 13
À l'occasion d'une randonnée, la vitesse moyenne d'un cycliste à l'aller est de 15 km/h. 1. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour lorsque la vitesse moyenne au retour est de 21 km/h?
2. On notexla vitesse moyenne exprimée en km/h du cycliste au retour etV(x)la vitesse moyenne du cycliste
sur le trajet aller-retour. a) Montrer queV(x) =30x x+15. b) Pour quelles valeurs dexla vitesse moyenne sur le trajet total sera supérieure à 20 km/h? c) La vitesse moyenne sur le trajet total peut-elle dépasserles 30 km/h? EXERCICE 14
ABCDest un rectangle tel queAB=8 etBC=5.
Mest un point du segment[AB]distinct deB. La droite(CM)coupe la droite(AD)enN AB C DxMN 1. On poseAM=x
a) Quelles sont les valeurs possibles du réelx? A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 8 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
b) Exprimer la distanceANen fonction dex. 2. Soitfla fonction définie sur l'intervalle[0;8[parf(x) =40
8-x-5.
Étudier les variations de la fonctionf.
3. Pour quelles valeurs dexla distanceANest-elle comprise entre 3 et 20?
4. Est-il possible queAN?1995?
EXERCICE 15
L'offre et la demande désignent respectivement la quantitéd'un bien ou d'un service que les acteurs du marché
sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné. Une étude concernant un article A a permis d'établir que : - la fonction d'offrefest donnée parf(q) =0,5q - la fonction demandegest donnée parg(q) =78-6q q+8 oùf(q)etg(q)sont les prix d'un article en euros, pour une quantitéqcomprise entre 1 et 12 millions d'unités.
012345678
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Prix (en
C) Quantité
(en millions)Courbe de demandedu marché Courbe d'offredu marché
1. On suppose que le prix de vente d'un article est de 1C. À l'aide du graphique, déterminer si la demande est
excédentaire. 2. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,50
C. a) Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché; b) Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché; c) Quel problème cela pose-t-il? 3. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un mêmeprix, la quantité offerte est égale à la quantité
demandée. Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée. A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 9 sur11
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EXERCICE 16
L'hyperboleCftracée dans leplan munid'un repère orthogonal enannexe ci-dessous est lacourbe représentative
d'une fonctionf. L'hyperboleCfa pour équationy=4x-37 2x-1. 1. a) Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection de lacourbeCfavec les axes du repère. c) Résoudre l'équationf(x) =3. 2. a) Déterminer les réelsaetbtels quef(x) =a+b
x-0,5. b) 2 a-t-il un antécédent parf? 3. Soitgla fonction affine telle queg(-7) =8 etg(6) =-5.
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal donné en annexe.
4. a) Étudier les positions relatives des courbesCfetD.
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbesCfetD. ANNEXE
24681012141618
-2 -4 -6 -8 -10 -121 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7-80xy Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 10 sur11
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EXERCICE 17
Soitfla fonction définie parf(x) =-12x-23x+2. On noteCfsa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthogonal. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Déterminer les réelsAetBtels quef(x) =A+B
x+23. b) Étudier le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle? -2 3;+∞?
c) En déduire un encadrement def(x)six?[65;66] d) Pour quelles valeurs du réelx,-4?f(x)?-3,997? 3. Soitgla fonction affine telle queg(-7) =-10 etg(3)-g(-7) =9.
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal donné en annexe.
4. a) Résoudre dansRl'équationf(x) =g(x). Interpréter graphiquement le résultat trouvé.
b) Étudier les positions relatives des courbesCfetD. ANNEXE
246810
-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 11 sur11
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3. Soitgla fonction affine telle queg(-1,5) =4 etg(2,5) =0 .
a) Déterminer l'expression degen fonction dex. b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal précédent.4. a) Montrer que pour tout réelxde l'intervalle]-2;+∞[,f(x)-g(x) =x2-0,5x
x+2. b) Étudier le signe def(x)-g(x). Interpréter graphiquement le résultat.EXERCICE 11
1. Résoudre dansRl'inéquation12x+3?1
2. Chercher l'erreur dans le raisonnement suivant :
" Comme la fonction inverse est décroissante,12x+3?1?2x+3?1 d'oùx?-1 ».
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EXERCICE 12
Pour deux résistancesR1etR2montées en parallèle, la résistanceRdu dipôle vérifie la relation1R=1R1+1R2
R1 R 2 Les résistances sont exprimées en ohms (W). On donneR1=4 etR2=x.1. Montrer queR=4x
x+42. Soitfla fonction définie sur]0;+∞[parf(x) =4x
x+4 a) Déterminer les réelsAetBtels quef(x) =A+B x+4 b) Étudier les variations de la fonctionf.3. a) Est-il possible que la résistanceRdu dipôle soit supérieur à 4W?
b) Déterminer la résistanceR2pour que la résistanceRdu dipôle soit égale à 3W.EXERCICE 13
À l'occasion d'une randonnée, la vitesse moyenne d'un cycliste à l'aller est de 15 km/h.1. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour lorsque la vitesse moyenne au retour est de 21 km/h?
2. On notexla vitesse moyenne exprimée en km/h du cycliste au retour etV(x)la vitesse moyenne du cycliste
sur le trajet aller-retour. a) Montrer queV(x) =30x x+15. b) Pour quelles valeurs dexla vitesse moyenne sur le trajet total sera supérieure à 20 km/h? c) La vitesse moyenne sur le trajet total peut-elle dépasserles 30 km/h?EXERCICE 14
ABCDest un rectangle tel queAB=8 etBC=5.
Mest un point du segment[AB]distinct deB. La droite(CM)coupe la droite(AD)enN AB C DxMN1. On poseAM=x
a) Quelles sont les valeurs possibles du réelx?A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 8 sur11
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b) Exprimer la distanceANen fonction dex.2. Soitfla fonction définie sur l'intervalle[0;8[parf(x) =40
8-x-5.
Étudier les variations de la fonctionf.
3. Pour quelles valeurs dexla distanceANest-elle comprise entre 3 et 20?
4. Est-il possible queAN?1995?
EXERCICE 15
L'offre et la demande désignent respectivement la quantitéd'un bien ou d'un service que les acteurs du marché
sont prêts à vendre ou à acheter à un prix donné. Une étude concernant un article A a permis d'établir que : - la fonction d'offrefest donnée parf(q) =0,5q - la fonction demandegest donnée parg(q) =78-6q q+8oùf(q)etg(q)sont les prix d'un article en euros, pour une quantitéqcomprise entre 1 et 12 millions d'unités.
012345678
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Prix (en
C)Quantité
(en millions)Courbe de demandedu marchéCourbe d'offredu marché
1. On suppose que le prix de vente d'un article est de 1C. À l'aide du graphique, déterminer si la demande est
excédentaire.2. On suppose dans cette question que le prix de vente d'un article est de 4,50
C. a) Calculer la quantité d'articles offerte sur le marché; b) Calculer la quantité d'articles demandée sur le marché; c) Quel problème cela pose-t-il?3. On dit que le marché est à l'équilibre lorsque, pour un mêmeprix, la quantité offerte est égale à la quantité
demandée. Déterminer le prix d'équilibre et la quantité associée.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 9 sur11
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EXERCICE 16
L'hyperboleCftracée dans leplan munid'un repère orthogonal enannexe ci-dessous est lacourbe représentative
d'une fonctionf. L'hyperboleCfa pour équationy=4x-37 2x-1.1. a) Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection de lacourbeCfavec les axes du repère. c) Résoudre l'équationf(x) =3.2. a) Déterminer les réelsaetbtels quef(x) =a+b
x-0,5. b) 2 a-t-il un antécédent parf?3. Soitgla fonction affine telle queg(-7) =8 etg(6) =-5.
a) Déterminer l'expression degen fonction dex.b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal donné en annexe.
4. a) Étudier les positions relatives des courbesCfetD.
b) Calculer les coordonnées des points d'intersection des courbesCfetD.ANNEXE
24681012141618
-2 -4 -6 -8 -10 -121 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7-80xy CfA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 10 sur11
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EXERCICE 17
Soitfla fonction définie parf(x) =-12x-23x+2. On noteCfsa courbe représentative dans le plan muni d'un
repère orthogonal.1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Déterminer les réelsAetBtels quef(x) =A+B
x+23. b) Étudier le sens de variation de la fonctionfsur l'intervalle? -23;+∞?
c) En déduire un encadrement def(x)six?[65;66] d) Pour quelles valeurs du réelx,-4?f(x)?-3,997?3. Soitgla fonction affine telle queg(-7) =-10 etg(3)-g(-7) =9.
a) Déterminer l'expression degen fonction dex.b) Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le repère orthogonal donné en annexe.