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2

Méthode d"Euler

Principe général

1.Considérons une fonctionfdéfinie sur un segment[a,b].

1.1On représente la fonctionfpar un échantillon de ses va-

leurs :

Y=?f(t0),...,f(tN-1)?

calculées sur une subdivision du segment[a,b]:

T= [t0,...,tN-1]oùa=t0
1.2Si la fonctionfest dérivable, alors
?0?i1.3Taux d"accroissement à droite deti

ti-1titi+1 (1)?0?i1.4Taux d"accroissement à gauche deti ti-1titi+1 (2)?01.5Taux d"accroissement symétrique ti-1titi+1 (3)?02.1Sur les figures précédentes, la corde dont la pente est la plus proche de la tangente au point d"abscissexiest celle de la méthode [1.5].

2.2Si on peut considérer que lepasde la subdivision :

δ=max0 est petit (en fonction de quelle grandeur de référence?), lafor- mule de Taylor-Young confirme que la méthode [1.5] est la plus précise.
3. Discrétisation régulière
Pour une première approche, on peut supposer que la discréti- sation est régulière : on subdivise le segment[a,b]enNsous- intervalles de même longueur dt=b-a N de telle sorte que ?0?i3.1Pour une discrétisation régulière, on estime la dérivéef?

par l"une des formules suivantes : f ?(ti)≈f(ti+1)-f(ti) dt,(4) f ?(ti)≈f(ti)-f(ti-1) dt,(5) f ?(ti)≈f(ti+1)-f(ti-1)

2dt.(6)3.2Si la fonctionfest deux fois dérivable, on peut alors es-

timer sa dérivée secondef??par la formule suivante : (7)f??(ti)≈f(ti+1)-2f(ti) +f(ti-1) dt2 pour 03.3Si dtest petit (par rapport à quelle grandeur de réfé- rence?), la formule de Taylor-Young suggère qu"il s"agit d"une approximation de bonne qualité, puisque la différence entre f ??(ti)et sa valeur approchée estO(dt2). II

Application aux équations différentielles

II.1 Équation du premier ordre

4. Problème de Cauchy

On considère ici une équation différentielle du premier ordre (linéaire ou non) : (8)dy dt=f?y(t),t? et on impose unecondition initialeau sens où y(a) =y0, la constantey0étant choisie. La théorie de Cauchy-Lipschitz précise des hypothèses sur la fonctionfpour que cette équation admette une, et une seule, solution sur[a,b].

2Méthode d"Euler

5. Exemples

5.1Soientω>0 etτ=1/ω. L"équation différentielle

?t?0,y?(t) +ωy(t) =E est de la forme (8) avec ?(y,t)? ?×?+,f(y,t) =E-ωy. L"unique solutionytelle quey(0) =0 est la fonction définie par ?t?0,y(t) =τE?1-e-ωt?.

5.2L"équation différentielle

?t? ?,y?(t) +2ty(t) =0 est de la forme (8) avec ?(y,t)? ?2,f(y,t) =-2ty. L"unique solutionytelle quey(0) =1 est la fonction[t?→e-t2].

6.The underlying idea of any routine for solving the initial value

problem is always this: Rewrite thedy"s anddt"s in(8)as finite steps Δy andΔt, and multiply the equations byΔt. This gives algebraic for- mulas for the change in the function when the independent variable t is "stepped" by one "stepsize"Δt. In the limit of making the stepsize very small, a good approximation to the underlying differentialequation is achieved. Literal implementation of this procedure results inEuler"s method, which is, however,notrecommended for any practical use. Euler"s method is conceptually important, however; one wayor an- other, practical methods all come down to this same idea: Addsmall increments to your function corresponding to derivatives (right-hand side of the equation) multiplied by stepsize. Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. & Flannery,B.P. :

Numerical Recipes in C, Second Edition,

Cambridge university press (1992).

7. Schéma d"Euler

Pour tracer l"allure du graphe de la solutiony, il suffit de connaître un échantillon de valeurs dey:

Y=?y(t0),...,y(tN-1)?.

7.1D"après la condition initiale, il faut quey(t0) =y0.

7.2D"après l"étude précédente [1.4],

y(ti+1)-y(ti) ti+1-ti≈f?y(ti),ti? c"est-à-dire (9)y(ti+1)≈y(ti) +f?y(ti),ti?·dt en supposant que la discrétisation en temps soit régulière [3].

7.3Leschéma d"Eulerconsiste alors àdéfinirdes réelsyien

prenanty0pour valeur initiale et (10)yi+1=yi+f(yi,ti)·dt pour relation de récurrence.

7.4Il faut rester conscient du fait que le schéma d"Euler (10)

est plus unanaloguequ"une approximation de (9).8. VarianteOn peut aussi s"inspirer de l"approximation [1.3] pour approcher

l"équation différentielle : y(ti+1)-y(ti) ti+1-ti≈f?y(ti+1),ti+1?.

8.1Leschéma d"Euler impliciteconsiste à définir des réels

y ien prenant encorey0pour valeur initiale, mais cette fois avec (11)yi+1+f(yi+1,ti+1)·dt=yi pour relation de récurrence.

8.2Si la relation (10) donne immédiatement la valeur deyi+1en fonction de la donnéetiet de la valeur déjà calculéeyi, il en

va autrement avec la relation (11) : il fautrésoudreune équation pour déduire la valeur deyi+1de la donnéeti+1et de la valeur déjà calculéeyi. C"est pour cette raison que ce schéma est dit implicite.

8.3Si le schéma implicite (11) est par nature plus difficile à

mettre en oeuvre que le schéma habituel (10), il est souvent plus précis.

9.Suite de[5.1] - On compare les approximations calculées

par le schéma d"Euler classique (10) et par le schéma d"Euler implicite (11) pour dt=0,2

01 2345

t0.00.20.40.60.81.0 y

Euler classique

Euler implicite

Solution exacte

puis pour dt=0,025.

01 2345

t0.00.20.40.60.81.0 y

Euler classique

Euler implicite

Solution exacte

Pour cette équation, les deux méthodes se valent. II Application aux équations différentielles

10.Suite de[5.2] - On compare les approximations calculées

par le schéma d"Euler classique (10) et par le schéma d"Euler implicite (11) pour dt=0,1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

t0.00.20.40.60.81.0 y

Euler classique

Euler implicite

Solution exacte

puis pour dt=0,05.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

t0.00.20.40.60.81.0 y

Euler classique

Euler implicite

Solution exacte

Cette fois, on peut noter un léger avantage en faveur du schéma d"Euler implicite. Dans les deux cas, on constate qu"une diminution du pas de temps dtse traduit par une approximation de meilleure qualité.

II.2 Système du premier ordre

11.En dimensiond, unsystème différentiel du premier

ordreest un système d"équations de la forme (12) ?y ?1(t) =f1?y1(t),...,yd(t),t? y ?2(t) =f2?y1(t),...,yd(t),t? y d(t) =fd?y1(t),...,yd(t),t? où les variations de chacune des fonctionsy1, ...,yddépendent detoutesles fonctions.12.Un système différentiel estdécoupléquand les varia- tions de chaque fonction sont indépendantes des autres fonc- tions, c"est-à-dire : ?y ?1(t) =f1?y1(t),t? y ?2(t) =f2?y2(t),t? y d(t) =fd?yd(t),t?. Il s"agit alors simplement de résoudredéquations différentielles les unes après les autres.

13.Le schéma d"Euler associé au système différentiel (12) re-

pose sur des relations de récurrence couplées.

1,k+1=y1,k+ (tk+1-tk)·f1(y1,k,...,yd,k,tk)

2,k+1=y2,k+ (tk+1-tk)·f2(y1,k,...,yd,k,tk)

y d,k+1=yd,k+ (tk+1-tk)·fd(y1,k,...,yd,k,tk)

14.Le schéma d"Euler implicite associé à (12) repose lui aussi

sur des relations de récurrence couplées, mais cette fois, il faut résoudre un système dedéquations à chaque itération. (14) ?y

1,k+1-(tk+1-tk)·f1(y1,k+1,...,yd,k+1,tk+1) =y1,k

2,k+1-(tk+1-tk)·f2(y1,k+1,...,yd,k+1,tk+1) =y2,k...

y d,k+1-(tk+1-tk)·fd(y1,k+1,...,yd,k+1,tk+1) =yd,k C"est long pour un système linéaire, ça risque d"être trop long pour un système non linéaire!

15.Traditionnellement, les solutions d"un système différen-

tiel ne sont pas toutes représentées en fonction du temps surune même figure mais sous la forme d"une courbe dans l"espace des phases. Par exemple, on représente les solutionsy1ety2d"un système de deux équations : ?y?1(t) =f1?y1(t),y2(t),t? y ?2(t) =f2?y1(t),y2(t),t? par l"arc paramétréplan

Γ=??y1(t),y2(t)?,t?I?.

Chaque pointMde la courbeΓreprésente un instantt?I: l"abscisse deMdonne la valeur dey1(t)et son ordonnée donnequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] [PDF] Méthode dEuler

Méthode d"Euler

Principe général

1.Considérons une fonctionfdéfinie sur un segment[a,b].

1.1On représente la fonctionfpar un échantillon de ses va-

Y=?f(t0),...,f(tN-1)?

T= [t0,...,tN-1]oùa=t0 1.2Si la fonctionfest dérivable, alors ?0?i1.3Taux d"accroissement à droite deti

1.2Si la fonctionfest dérivable, alors

2.2Si on peut considérer que lepasde la subdivision :

3. Discrétisation régulière

2dt.(6)3.2Si la fonctionfest deux fois dérivable, on peut alors es-

Application aux équations différentielles

II.1 Équation du premier ordre

4. Problème de Cauchy

2Méthode d"Euler

5. Exemples

5.1Soientω>0 etτ=1/ω. L"équation différentielle

5.2L"équation différentielle

6.The underlying idea of any routine for solving the initial value

Numerical Recipes in C, Second Edition,

Cambridge university press (1992).

7. Schéma d"Euler

Y=?y(t0),...,y(tN-1)?.

7.1D"après la condition initiale, il faut quey(t0) =y0.

7.2D"après l"étude précédente [1.4],

7.3Leschéma d"Eulerconsiste alors àdéfinirdes réelsyien

7.4Il faut rester conscient du fait que le schéma d"Euler (10)

8.1Leschéma d"Euler impliciteconsiste à définir des réels

8.2Si la relation (10) donne immédiatement la valeur deyi+1en fonction de la donnéetiet de la valeur déjà calculéeyi, il en

8.3Si le schéma implicite (11) est par nature plus difficile à

9.Suite de[5.1] - On compare les approximations calculées

01 2345

Euler classique

Euler implicite

Solution exacte

01 2345

Euler classique

Euler implicite

Solution exacte

10.Suite de[5.2] - On compare les approximations calculées

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Euler classique

Euler implicite

Solution exacte

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Euler classique

Euler implicite

Solution exacte

II.2 Système du premier ordre

11.En dimensiond, unsystème différentiel du premier

13.Le schéma d"Euler associé au système différentiel (12) re-

1,k+1=y1,k+ (tk+1-tk)·f1(y1,k,...,yd,k,tk)

2,k+1=y2,k+ (tk+1-tk)·f2(y1,k,...,yd,k,tk)

14.Le schéma d"Euler implicite associé à (12) repose lui aussi

1,k+1-(tk+1-tk)·f1(y1,k+1,...,yd,k+1,tk+1) =y1,k

2,k+1-(tk+1-tk)·f2(y1,k+1,...,yd,k+1,tk+1) =y2,k...

15.Traditionnellement, les solutions d"un système différen-

Γ=??y1(t),y2(t)?,t?I?.

T= [t0,...,tN-1]oùa=t0
1.2Si la fonctionfest dérivable, alors
?0?i1.3Taux d"accroissement à droite deti

2Méthode d"Euler