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22 Ordre de la méthode d'Euler On suppose que f est de classe C1 et on note z une solution exacte de (1) avec 

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Tracer les courbe des résultats obtenus par cette méthode, par la méthode d' Euler ainsi que la solution exacte Faire varier le pas de temps et regarder comment 

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numériques commises par la machine En Matlab, on peut facilement programmer la méthode d'Euler avec la fonction suivante : function [t,y] = Euler(f, tmin,tmax 

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3) Tracer l'erreur au cours du temps entre la solution calculée par la méthode d' Euler explicite et la solution de référence (ou la solution exacte) pour chacune 

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15 nov 2010 · La fonction matlab f m correspondante est la suivante function yp=f(t,y) bien qu' une pre- mière version de la méthode d'Euler est la suivante

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Mots clés Méthode d'Euler, de Heun, Runge Kutta, équation aux dérivées partielles, script Matlab® Galilée disait ” Le livre de la nature est écrit en langage 

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Écrire une variante de la fonction Newton précédente pour prendre en compte ces deux arguments supplémentaires • Comparer la méthode d'Euler explicite et la 

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Calculer pour en utilisant la méthode d'Euler à l'ordre 1 (calcul manuel) • Calculer, en utilisant un algorithme dans Matlab, la solution de l'équation différentielle 

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étudier expérimentalement la stabilité de la méthode d'Euler pour une équation raide rajouter trois fonctions matlab (ou scilab) au programme précédent :

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Chapitre

2R´esolution num´eriquedes´equations diff´erentiellesMaster Physique

SAMIRKENOUCHE- D´EPARTEMENT DESSCIENCES DE LAMATI`ERE- UMKB M ´ETHODESMATH´EMATIQUES ETALGORITHMES POUR LAPHYSIQUE R

´esum´e

Dans ce chapitre, il sera question de la r

´esolution num´erique des´equations diff´erentielles. Les m´ethodes num

´eriques abord´ees sont dites`a un pas, car le calcul dey(xn+1)ne r´eclame que la valeur dey(xn)`a l"instant

pr

´ec´edent. Une m´ethode`a deux pasutilisera`a la foisy(xn)ety(xn1). Nous nous bornerons aux m´ethodes

num

´eriques d"Euler, de Heun, de Crank-Nicolson et de Runge-Kutta classique d"ordre 4. Dans la derni`ere section,

on abordera la r

´esolution d"une´equation aux d´eriv´ees partielles par la m´ethode des diff´erences finies en deux

dimensions. Par ailleurs, la programmation de ces algorithmes sera conduite par le biais de scripts Matlab

r.

Mots cl

´es

M

´ethode d"Euler, de Heun, Runge Kutta,´equation aux d´eriv´ees partielles, script Matlabr.

Galil ´ee disait " ... Le livre de la nature est´ecrit en langage math´ematique "

Table des mati

`eres

I Introduction1

I-A Probl

`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I-B M

´ethodes d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I-C Erreur th

´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I-D Stabilit

´e des sch´emas num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I-E M

´ethode de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I-F M

´ethode de Crank - Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I-G M

´ethode de Runge-Kutta, d"ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II

´Equations diff´erentielles d"ordren12

III Diff

´erences finies15

III-A En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III-A1 Probl

`eme non-lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III-B En dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

I.INTRODUCTIONU

Ne

´equation diff´erentielle est une´equation dont l"inconnue est une fonctiony(x). La forme g´en´erale d"une

telle

´equation s"´ecrit :

f(y(n);y(n1);y(n2);:::;y(1);y;x) ='(x)(1)

Avec,y(n)est la ni`eme d´eriv´ee de la fonctionyet'(x)d´esigne le second membre de l"´equation diff´erentielle.

Dans le cas o

`u'(x) = 0, on dira que l"´equation diff´erentielle est homog`ene. L"existence d"une solution unique de

l"

´equation diff´erentielle est tributaire de l"imposition de certaines conditions initiales sury(x)et ses d´eriv´ees. Dans

l"

´equation (1), les conditions initiales sont les valeurs dey(a);y(1)(a);y(2)(a);:::;y(n)(a). Cependant, il faut noter

S. Kenouche est docteur en Physique de l"Universit ´e de Montpellier et docteur en Chimie de l"Universit´e de B´ejaia.

Site web : voir

http://www .sites.univ-biskra.dz/kenouche

Version am

´elior´ee et actualis´ee le 09.11.2018.

1

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que tr

`es souvent la solution analytique n"existe pas, et on doit par cons´equent approcher la solution exactey(x)

par des m

´ethodes num´eriques.

A. Probl

`eme de Cauchy

Le probl

`eme de Cauchy consiste`a trouver une fonction continˆument d´erivableu:t2R+!u(t)2Rv´erifiant :

y0(t) =f(t;y(t)); t >0 y(0) =y0(2)

La premi

`ere´equation est une´equation diff´erentielle et la deuxi`eme relation exprime une condition de Cauchy

ou condition initiale. D ´efinition: soitf:IR7!Rune fonction donn´ee, s"il existe une constanteL >0telle que : jf(t;u)f(t;v)j Ljuvj(3)

8u;v2Ret8t2Ialorsfest dite lipschitzienne de rapport L surIRou simplement L-lipschitzienne.

Th

´eor`eme: sifest continue surIRet L-lipschitzienne par rapport`a sa deuxi`eme variabley(t)alors le

probl `eme de Cauchy admet une solution unique surI,8u(0)2R.

Remarque: Dans ce qui suit, la variabletsera syst´ematiquement remplac´ee par la variablex. Le formalisme

math

´ematique demeure inchang´e.

B. M

´ethodes d"Euler

Afin d"atteindre la solutiony(x), sur l"intervallex2[a;b], on choisitn+1points dissemblablesx0;x1;x2;:::;xn,

avecx0=aetxn=bet le pas de discr´etisation est d´efini parh= (ba)=n. La r´esolution num´erique consiste`a

discr ´etiser l"axe des abscisses suivantxn=x0+hn(n2N). Ensuite on chercherauncomme approximation dey

au pointxn, soity(xn). Ainsi l"ensemble des approximations successivesfu0;u1;u2;:::;ung, o`u tout simplement

fungn2N, constitue la solution num´erique. Ces m´ethodes sont it´eratives donc la suitefungn2Ndoitˆetre initialis´ee

afin de calculer ses successeurs. Soit l"

´equation diff´erentielle :

y

0=f(x;y(x))(4)

Trouver la solution de cette

´equation revient`a calculer l"int´egrale def(x;y(x))entre les bornesxnetxn+1, soit : Z xn+1 x nf(x;y(x)) =y(xn+1)y(xn)(5)

Cette int

´egrale s"´ecrit en fonction des approximationsun+1etun: Z xn+1 x nf(x;y(x)) =un+1un(6)

Par cons

´equent, en fonction de la m´ethode d"int´egration utilis´ee afin de r´esoudre l"int´egrale (terme de gauche),

on obtient un sch

´ema num´erique donn´e. En utilisant par exemple la m´ethode des rectangles`a gauche, on obtient

le sch

´ema num´eriqued"Euler progressif:

u0=y(x0) =y0 u n+1un=hf(xn;un)avecn2N(7)

En utilisant la m

´ethode des rectangles`a droite, on obtient le sch´ema num´eriqued"Euler r´etrograde: u0=y(x0) =y0 u n+1un=hf(xn+1;un+1)avecn2N(8)

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Avec la m

´ethode du point milieu, on aura le sch´ema num´eriqued"Euler modifi´e: 8< :u

0=y(x0) =y0

u n+1=2'un+h2 f(xn;un) u n+1un=hf(xn+h2 ;un+12 )avecn2N(9)

Exemple num

´erique

Soit

`a r´esoudre num´eriquement l"´equation diff´erentielle :2y0=xyavecy(0) = 1. On utilisera`a cet effet le

sch

´ema num´erique d"Euler r´etrograde :

u n+1=un+hxn+1un+12

2un+1=2un+hxn+1hun+1

u n+1=2un+hxn+12 +h (10)

Avecxn=x0+nhetxn+1=x0+(n+1)h. On discr´etise l"axe des abscisses suivant 10 noeuds sur un intervalle

[0 1]. Le pas de discr´etisation esth= (10)=10)h= 0:1et la condition initiale esty(x0= 0) = 1 =u0.

Nous avons appliqu

´e le sch´ema num´erique ci-dessus pour dix approximations : u

1=2u0+hx12 +h

;avech= 0:1 u

2=2u1+hx22 +h

;avech= 0:1 u

3=2u2+hx32 +h

;avech= 0:1 u

4=2u3+hx42 +h

;avech= 0:1 u

10=2u9+hx102 +h

;avech= 0:1

TABLEI: M´ethode d"Eulernx

nu n0.00000.00001.0000

1.00000.10000.9524

2.00000.20000.9118

3.00000.30000.8779

4.00000.40000.8504

5.00000.50000.8289

6.00000.60000.8133

7.00000.70000.8031

8.00000.80000.7982

9.00000.90000.7983

10.00001.00000.8031

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Ci-dessous le script Matlab

r:clc;clearall;closeall; %SamirKenouche-Le15/11/2018 %EULERIMPLICITE:y"=(x-y)/2 %SCHEMANUMERIQUE:Un+1=Un+F(Xn+1,Un+1) a=0;b=1;n=10;h=(b-a)/n;xn=a:h:b; forit=1:n-1 un(it+1)=(1/(2+h)) *(2*un(it)+h *xn(it)); end sol_exacte=3. *exp(-xn/2)+xn-2;figure("color",[111]); plot (xn(1: end -1),un, o b );holdon;plot(xn,sol_exacte,"-ro"); xlabel x );ylabel("y"); Tr

`es souvent pour des´equations diff´erentielles ayant des formules math´ematiques compliqu´ees, il sera difficile de

retrouver analytiquement le sch ´ema num´erique. Dans ce cas il serait judicieux d"appliquer explicitement la formule d"Euler. Ci-dessous, le script Matlab rcorrespondant.clc;clearall;closeall; %SamirKenouche-Le15/11/2018 %FORMULED"EULER-Eq:y"=(x-y)/2 %SCHEMANUMERIQUE:Un+1=Un+F(Xn,Un) a=0;b=1;n=10;h=(b-a)/n;xn=a:h:b; forit=1:n-1 un(it+1)=un(it)+h *dy(xn(it),un(it)); end sol_exacte=3. *exp(-xn/2)+xn-2;figure("color",[111]); plot (xn(1: end -1),un, o b );holdon;plot(xn,sol_exacte,"-ro"); xlabel x );ylabel("y");

C. Erreur th

´eorique

La convergence des deux sch

´emas d"Euler est d"ordre un par rapport`ah:

e n=ju(xn)unj=O(h)

Cela signifie que si je divise par deux le pash, l"erreur sera divis´ee par deux´egalement. Dans cette configuration

le temps de calcul est multipli

´e par deux.

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Th

´eor`eme: sifest continue surIR, L-lipschitzienne par rapport`a sa deuxi`eme variable ety(x)2 C2surI

alors l"erreuren=u(xn)uncommise au point(xn;un)est major´ee par : jenj (eL(ba)1)h2Lmaxx2Ijy(x)(2)j(11)

Avecaetbsont respectivement les bornes inf´erieure et sup´erieure d"int´egration. Afin de calculer cette erreur,

soit le probl `eme de Cauchy suivant : y0(x) =y(x) + 1x2R y(0) = 1(12) 1)

Montrer que fest L-lipschitzienne.

2)

Calculer l"erreur th

´eorique de la m´ethode d"Euler pour un pash= 0:1.

Tenant compte de (3), il vient :

jf(x;u)f(x;v)j=jx+uxvj =juvj )L= 1

Evaluons l"erreur th´eorique donn´ee par (11), nous avonsy00(x) = 2ex. Cette seconde d´eriv´ee est maximale pour

x= 1)y00(1) = 2e1= 5:4366: jenj (e1(10)1)h215:4366210:1

0:4665

D. Stabilit

´e des sch´emas num´eriques

Avant d"entamer la discussion sur la notion de stabilit ´e, il a´et´e jug´e judicieux d"introduire un bref rappel sur les suites. Soitunune suite g´eom´etrique de termeu0et de raisonr. Nous avons8n2N:un=u0r:

Sir >0)limn!+1un= +1siu0> r

lim n!+1un=1siu0< r

Sijrj<1)limn!+1un= 0

Sir= 1)limn!+1un=u0

Sir 1)limn!+1un@

Dans ce qui suit on se propose d"

´etudier la stabilit´e des sch´emas d"Euler, progressif et r´etrograde sur l"´equation

diff

´erentielle :

y0(x) =y(x) >0 y(0) =y0(13)

La solution de ce probl

`eme de Cauchy est triviale, soit :y(x) =y0e xainsi : lim x!+1y(x) = 0 (P1)

Les sch

´emas num´eriques d"Euler permettent de calculer les approximationsfung2N. Nous souhaitons v´erifier la

propri ´et´eP1pour les approximationsfu1;u2;u3;:::;ung. Autrement dit on cherche : lim n!+1un= 0

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Commenc¸ons par le sch

´ema d"Euler progressifun+1=un+hf(xn;un), ce qui donne : u n+1= (1 h)un u

1= (1 h)u0

u

2= (1 h)u1= (1 h)2u0

En g

´en´eralisant on obtient la suite g´eom´etrique :un+1= (1 h)nu0de raison(1 h)et de premier terme

u

0. Cherchons la propri´et´eP1:

lim n!+1un= 0, j1 hj<1, h <2,h <2 Ainsi, la convergence de cette suite est conditionn

´ee parh <2

. Si nous prenons par exempleh >2 la suite

divergera, ce qui contredit la solution exactey(x). Examinons d´esormais le sch´ema d"Euler r´etrograde. De fac¸on

analogue que pr

´ec´edemment on aura :

u n+1=un11 + h =u011 + h n+1

Cherchons la propri

´et´eP1:

lim n!+1un+1= 0,11 + h<1

Ce qui est toujours v

´erifi´e8h. Par cons´equent il n"existe aucune condition sur la pas de discr´etisation, contrai-

rement au sch ´ema progressif. Ainsi, le sch´ema r´etrograde est inconditionnellement stable. E. M

´ethode de Heun

La M

´ethode de Heun est une version am´elior´ee de celle d"Euler. L"erreur sur le r´esultat g´en´er´e par cette m´ethode

est proportionnelle

`ah3, meilleur que celle de la m´ethode d"Euler. N´eanmoins, cette m´ethode r´eclame une double

evaluation de la fonctionf. (u0=y(x0) =y0 u n+1=un+h2 ff(xn;un) +f(xn;un+hf(xn;un))gavecn2N(14)

Le sch

´ema num´erique de cette m´ethode r´esulte de l"application de la formule de quadrature du trap`eze. Notons

egalement que la m´ethode de Heun fait partie des m´ethodes de Runge-Kutta explicites d"ordre deux. Afin d"illus-

trer le fonctionnement de cette m

´ethode, reprenant l"´equation diff´erentielle de l"exemple num´erique pr´ec´edent et

cherchons la formule analytique correspondante : u n+1=un+h2 xnun2 +h2 0 B B@x n u n+hxnun2 2 1 C CA u n+1=un+h2 xnun2 +h2 0 B B@x n2un+hxnhun2 2 1 C CA u n+1=un+h2 xnun2 +h2

2xn2unhxn+hun4

Finalement :

u n+1=4hh28 x n+84h+h28 u n(15)

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Ci-dessous le script Matlab

r:clc;clearall;closeall; %SamirKenouche-Le15/11/2018 %Heun-Eq:y"=(x-y)/2 a=0;b=1;n=10;h=(b-a)/n;xn=a:h:b; forit=1:n-1 un(it+1)=((4 *h-h.ˆ2)/8) *xn(it)+((8-4 *h+h.ˆ2)/8) *un(it); end sol_exacte=3. *exp(-xn/2)+xn-2;figure("color",[111]); plot (xn(1: end -1),un, o b );holdon;plot(xn,sol_exacte,"-ro"); xlabel x );ylabel("y");

Comme pr

´ec´edemment, cette fac¸on de proc´eder n"est faisable que si la formule math´ematique, d´ecoulant du

sch

´ema num´erique, est relativement simple. Il est ainsi plus pertinent d"appliquer explicitement la formule de

Heun. Ci-dessous, le script Matlab

rcorrespondant.clc;clearall;closeall; %SamirKenouche-Le15/11/2018 %Heun-Eq:y"=(x-y)/2 a=0;b=1;n=10;h=(b-a)/n;xn=a:h:b; fori=1:n-1 un(i+1)=un(i)+h/2 *(dy(xn(i),un(i))+dy(xn(i+1),... un(i)+h *dy(xn(i),un(i))));end sol_exacte=3. *exp(-xn/2)+xn-2;figure("color",[111]); plot (xn(1: end -1),un, o b );holdon;plot(xn,sol_exacte,"-ro"); xlabel x );ylabel("y");

Ci-dessous, les r

´esultats num´eriques pour dix approximations :

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TABLEII: M´ethode de Heunnx

nu n0.00000.00001.0000

1.00000.10000.9537

2.00000.20000.9146

3.00000.30000.8823

4.00000.40000.8564

5.00000.50000.8367

6.00000.60000.8227

7.00000.70000.8144

8.00000.80000.8113

9.00000.90000.8133

F. M

´ethode de Crank - Nicolson

Cette m

´ethode permet d"obtenir une plus grande pr´ecision (elles g´en`erent des solutions num´eriques plus proches

des solutions analytiques) que les deux m ´ethodes pr´ec´edentes. Le sch´ema num´erique est donn´e par : (y0=y(x0) =u0 u n+1=un+h2 ff(xn;un) +f(xn+1;un+1)gavecn2N(16)

Cette m

´ethode et celle d"Euler r´etrograde sont inconditionnellement stables, moyennant certaines conditions de

r ´egularit´e sur les´equations`a r´esoudre. G. M

´ethode de Runge-Kutta, d"ordre 4

La m

´ethode de Runge-Kutta (classique) d"ordre 4, est une m´ethode explicite tr`es populaire. Elle calcule la valeur

de la fonction en quatre points interm

´ediaires selon :

8 :y

0=y(x0) =u0

u n+1=un+h6 f(xn;u1n) + 2f(xn+h2 ;u2n) + 2f(xn+h2 ;u3n) +f(xn+1;u4n) avecn2N(17) 8 >:u 1n=un u

2n=un+h2

f(xn;u1n) u

3n=un+h2

f(xn+h2 ;u2n) u

4n=un+hf(un+h2

;u3n)(18)

Notons que le nombre de termes retenus dans la s

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47