Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012 PDF Corrige_Me_tropole_S_21_juin

Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012 EXERCICE 1 4 points

UREAT GENERAL Session de juin 2012 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement

corrigé Bac asie 2012 - Maths-francefr

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Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012

Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012 EXERCICE 1 4 points

Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012

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Corrige complet du bac S Mathématiques Obligatoire 2012

s le graphique, la courbe représentative C ′ de la fonction f′ est en dessous de l'axe des

Métropole - Juin 2012 BAC S Correction - Physiquemaths

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Correction du sujet de mathématiques de lépreuve E4 du Bac

ion du sujet de mathématiques de l'épreuve E4 du Bac Pro métropole 2012 Exercice 1 PARTIE

BACCALAUREAT S Métropole septembre 2012 - MATHS

UREAT S Métropole septembre 2012 EXERCICE 1 1 f étant croissante sur ]- ∞ ; a] puis

EXERCICE14 points

Commun à tous lescandidats

1.Sur l"intervalle [-3,-1], tous les points de la courbe ont une ordonnée négative. VRAIE

2.Sur l"intervalle ]-1 ; 2[, on lit quef?(x)>0, donc quefest croissante sur cet intervalle. VRAIE

3.Sur l"intervalle ]-1 ; 0[, on af?(x)>0 doncfest strictement croissante sur ]-1 ; 0[. Or on sait que

f(0)=-1. D"après la croissance stricte sur l"intervalle tous les points de cet intervalle ont une image

parfinférieure à-1. FAUSSE

4.Pourx=0, on litf?(0)=1 et on sait quef(0)=-1.

On sait que l"équation de la tangente à la courbeCau point d"abscisse 0 est y-f(0)=f?(0)(x-0)??y-(-1)=1x??y=x-1. Cette tangente contient bien le point de coordonnées (1; 0) car ces cordonnées vérifient l"équation de la tangente. VRAIE

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

1. a. D 0,4E 1 0,7E 2 0,25

E20,75

E10,3 D0,6 b.On ap(E1)=p(D∩E1)=p(D)×pD(E1)=0,4×0,7=0,28. c.Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit : p(F)=p? D? +p?

D∩E1?

+p?

D∩E1∩E2?

D"oùp?

F? =1-p(F)=1-0,93=0,07. On peut directement calculer la probabilité d"être recruté, soit : p? F?

D"oùp(F)=1-p?

F? =1-0,07=0,93.

2. a.Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité

d"être recruté égale à 0,07. La variableXsuit donc une loi binomiale (B,n=5,p=0,07). b.On ap(X=2)=?52?0,072×0,933=10×0,072×0,933≈0,0394≈0,039 à 10-3près

3.On reprend ici la loi binomiale mais avecncandidats chacun ayant une probabilité d"être recruté

égale à 0,07.

La probabilité qu"aucun ne soit retenu est égale à :?n

0?×0,070×0,93n=0,93n.

La probabilité qu"un au moins desncandidats soit recruté est donc égale à 1-0,93n.

Il faut donc résoudre l"inéquation :

1-0,93n>0,999??0,001>0,93n??ln0,001>nln0,93 (par croissance de la fonction ln)

??n>ln0,001 ln0,93car ln0,93<0. Orln0,001ln0,93≈95,1.

Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au

moins un candidat.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE36 points

Commun à tous lescandidats

Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.

PartieA

f(x)=1 x+1+ln?xx+1?

1.x

x+1=x+1-1x+1=1-1x+1.

Comme lim

x:→+∞-1 x+1=0, on a donc limx:→+∞xx+1=1 et limx:→+∞ln?xx+1? =0.

On a limx:→+∞1

x+1=0, donc finalement par somme de limites : limx:→+∞f(x)=0.

2.Comme sur [1 ;+∞[,x+1>0, etx

x+1>0 la fonctionfest la somme de deux fonctions dérivables sur [1 ;+∞[ et sur cet intervalle : f ?(x)=-1 (x+1)2+u?(x)u(x)avecu(x)=xx+1.

Oru?(x)=1×(x+1)-x×1

(x+1)2=1(x+1)2.

Doncf?(x)=-1

(x+1)2+1 (x+1)2 x

Commex?1, la dérivée est clairement positive, donc la fonction est croissante sur [1 ;+∞[ de

f(1)=1

2+ln12≈-0,193 à 0 sa limite en plus l"infini.

3.Le tableau montre quef(x)<0 sur [1 ;+∞[.

PartieB

u n=1+1

2+13+...-lnn.

1.L"algorithme donne successivement pourules valeurs :

0+1=1 1+1 2=323

2+13=116valeur qu"il affiche.

2.Il suffit de modifier la sortie en : Afficheru-lnn.

3.Onpeutconjecturer quepournallant de4à2000 lasuite estdécroissante etconvergeversune valeur

proche de 0,577.

PartieC

1.On aun+1-un=?

1+1

2+13+...1n+1n+1-ln(n+1)?

1+12+13+...+1n-lnn?

1 n+1+lnn-ln(n+1)=1n+1+ln?nn+1? =f(n). On a vu que pourx?1,f(x)<0, doncun+1-un=f(n)<0 montre queun+1Métropole-La Réunion221 juin 2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2. a.Puisqu"on intègre dekstrictement positif àk+1, on a donc

0 k+1?1x?1k
On a donc en particulier1
x?1k??1k-1x?0. L"intégrale sur [k;k+1] de la fonction continue et positive est un nombre positif. k+1 k? 1 k-1x? dx?0??? k+1 k1kdx?? k+1 k1xdx(par linéarité de l"intégrale. Or k+1 k1 kdx=1k×(k+1-k)=1k. L"inégalité précédente s"écrit donc : k+1 k1 xdx?1k.
On a?
k+1 k1 xdx=[lnx]k+1 k=ln(k+1)-lnk. Donc l"inégalité précédente s"écrit ln(k+1)-lnk?1 k(1) b.On obtient la suite des inégalités suivante :ln(1+1)-ln1?1 1 ln(2+1)-ln2?1 2 ln(3+1)-ln3?1
3........................ln(n)-ln(n-1)?1
n-1 ln(n+1)-lnn?1 n D"où par somme membres à membres et effet de "dominos» : ln(n+1)-ln1?1+1
2+13+...+1nou encore
ln(n+1)?1+1
2+13+...+1n
c.La fonction ln étant croissante, on a lnn2+13+...+1non en

déduit que lnn<1+1

2+13+...+1n??0<1+12+13+...+1n-lnn, soit finalementun>0.

3.On avu que la suite est décroissante et ensuite qu"elle est minorée par 0 : elle convergedonc vers une

limite supérieure à zéro.

EXERCICE45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

1. a.Voir à la fin de l"exercice.

b.zA?=1 zA+1=1-12+1=1 1 2=2. z B?=1 zB+1=1-12+i+1=1 1 2+i=1 2-i?1

2+i??12-i?=1

2-i 1 4+1=1 2-i 5 4=45? 12-i? z C?=1 zC+1=1-12-12i+1=1 1

2-12i=1

2+12i?1

2-12i??12+12i?=1

2+12i 1

4+14=1

2(1+i)

2=1+i.

c.On az---→A?B?=4 5? 12-i? -2=25-45i-2=-85-45i.

Métropole-La Réunion321 juin 2012

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

De mêmez---→A?C?=1+i-2=-1+i.

Les vecteurs

---→A?B?et---→A?C?ne sont pas colinéaires, donc les points A?, B?et C?ne sont pas alignés.

2. a.gest la translation de vecteur-→u.

b.Voir la figure c.Soit I le point d"affixe 1.|z-1|=|z| ?? |z-1|=|z-0| ??|z-zI|=|z-zO|??IM=OM.

Les pointsMsont donc équidistants de O et de I : ils appartiennent à la médiatrice de [OI] qui a

pour équationx=1

2et qui est donc la droiteD1d"après la question précédente.

3. a.zA2=1

zA1=11

2=2=zA?.

z B2=1 zB1=11 2+i=1 2-i 1

4+1=45?

12-i? =zB?.

EnfinzC2=1

quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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EXERCICE14 points

Commun à tous lescandidats

1.Sur l"intervalle [-3,-1], tous les points de la courbe ont une ordonnée négative. VRAIE

2.Sur l"intervalle ]-1 ; 2[, on lit quef?(x)>0, donc quefest croissante sur cet intervalle. VRAIE

3.Sur l"intervalle ]-1 ; 0[, on af?(x)>0 doncfest strictement croissante sur ]-1 ; 0[. Or on sait que

4.Pourx=0, on litf?(0)=1 et on sait quef(0)=-1.

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

E20,75

D∩E1?

D∩E1∩E2?

D"oùp?

D"oùp(F)=1-p?

2. a.Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité

3.On reprend ici la loi binomiale mais avecncandidats chacun ayant une probabilité d"être recruté

égale à 0,07.

0?×0,070×0,93n=0,93n.

Il faut donc résoudre l"inéquation :

1-0,93n>0,999??0,001>0,93n??ln0,001>nln0,93 (par croissance de la fonction ln)

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EXERCICE36 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

1.x

Comme lim

On a limx:→+∞1

2.Comme sur [1 ;+∞[,x+1>0, etx

Oru?(x)=1×(x+1)-x×1

Doncf?(x)=-1

2+ln12≈-0,193 à 0 sa limite en plus l"infini.

3.Le tableau montre quef(x)<0 sur [1 ;+∞[.

PartieB

2+13+...-lnn.

1.L"algorithme donne successivement pourules valeurs :

2+13=116valeur qu"il affiche.

2.Il suffit de modifier la sortie en : Afficheru-lnn.

3.Onpeutconjecturer quepournallant de4à2000 lasuite estdécroissante etconvergeversune valeur

PartieC

1.On aun+1-un=?

2+13+...1n+1n+1-ln(n+1)?

1+12+13+...+1n-lnn?

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2. a.Puisqu"on intègre dekstrictement positif àk+1, on a donc

On a donc en particulier1

On a?

3........................ln(n)-ln(n-1)?1

2+13+...+1nou encore

2+13+...+1n

2+13+...+1n??0<1+12+13+...+1n-lnn, soit finalementun>0.

3.On avu que la suite est décroissante et ensuite qu"elle est minorée par 0 : elle convergedonc vers une

EXERCICE45 points

1. a.Voir à la fin de l"exercice.

2+i??12-i?=1

2-12i=1

2+12i?1

2-12i??12+12i?=1

4+14=1

2(1+i)

2=1+i.

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Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

De mêmez---→A?C?=1+i-2=-1+i.

Les vecteurs

2. a.gest la translation de vecteur-→u.

2et qui est donc la droiteD1d"après la question précédente.

3. a.zA2=1

2=2=zA?.

4+1=45?

EnfinzC2=1

1.x

On a limx:→+∞1

On a?