BACCALAUREAT S Métropole septembre 2012

UREAT S Métropole septembre 2012 EXERCICE 1 1 f étant croissante sur ]- ∞ ; a] puis

UREAT GENERAL Session de juin 2012 MATHEMATIQUES - Série S - Enseignement

corrigé Bac asie 2012 - Maths-francefr

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Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012

Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012 EXERCICE 1 4 points

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Corrige complet du bac S Mathématiques Obligatoire 2012

s le graphique, la courbe représentative C ′ de la fonction f′ est en dessous de l'axe des

Métropole - Juin 2012 BAC S Correction - Physiquemaths

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Correction du sujet de mathématiques de lépreuve E4 du Bac

ion du sujet de mathématiques de l'épreuve E4 du Bac Pro métropole 2012 Exercice 1 PARTIE

BACCALAUREAT S Métropole septembre 2012 - MATHS

UREAT S Métropole septembre 2012 EXERCICE 1 1 f étant croissante sur ]- ∞ ; a] puis

EXERCICE 1

1. f étant croissante sur ]- ¥ ; a] puis décroissante sur [a ; + ¥[,

f "(x) est positif sur ]- ¥ ; a], et négatif sur [a ; + ¥[.

2. a. D"après la représentation graphique, C

2 représente une fonction d"abord positive sur ]- ¥ ; a]

puis négative sur [a ; + ¥[.

La courbe C

1 représente une fonction d"abord négative.

La courbe C

2 représente donc la fonction f '

b. D"après le tableau de variation de f ,la fonction f ' s"annule en a, donc d"après le graphique

1 < a < 2

Si b était négatif ou nul, f (x) serait toujours négatif ou nul d"après le tableau de variation de f ; Sa primitive F

serait donc décroissante sur IR, ce qui est faux d"après la courbe C 2.

Donc b > 0

3. a. Soit la fonction affine g définie par g(x) = m x + p.

g vérifie g(x) - 2 g"(x) = x Û m x + p - 2 m = x pour tout x

Û m = 1 et p - 2 m = 0

Û m = 1 et p = 2

La fonction affine qui vérifie l"égalité donnée est donc définie par g(x) = x + 2 b. On a  f (x) - 2 f '(x) = x g(x) - 2 g'(x) = x

En soustrayant membre à membre, il vient

f (x) - 2 f '(x) - [ g(x) - 2 g'(x)] = 0 f (x) - g(x) - 2 f '(x) + 2 g'(x) = 0 f (x) - g(x) = 2 [f '(x) - g'(x)] (f - g)(x) = 2 (f - g)" (x) 1 2 (f - g)(x) = (f - g)" (x) Donc la fonction f - g est solution de l"équation différentielle y" = 1 2 y. c. Cette équation est de la forme y" = a y, les solutions sont de la forme y(x) = k e 1 2 x . La fonction f - g est solution de l"équation différentielle y" = 1 2 y , donc il existe un réel k tel que (f - g)(x) = k e 1

2 x donc f (x) - g(x) = k e

2 x donc f (x) = g(x) + k e

1 2 x donc il existe un réel k tel que f (x) = x + 2 + k e 1 2 x. d. On a f "(x) = 1 + k

× 1

2 e 1

2 x donc f "(0) = 1 + k

2 e0 = 1 + k

D"après le graphique, f "(0) = 1

2 donc 1 + k 2 = 1 2 donc k

2 = - 1

2 donc k = -1 f (x) = x + 2 - e 1 2 x. f "(x) = 0 Û 1 - 1 2 e 1

2 x = 0 Û 1 = 1

2 e 1

2 x Û 2 = e

2 x Û ln 2 = 1

2 x Û x = 2 ln 2 = ln 2² = ln 4. Or d"après le tableau de variations, f "(x) s"annule en a donc a = ln 4 b = f (a) =f (ln 4) = ln 4 + 2 - e 1

2 ln 4 = ln 4 + 2 - e ln 4 = ln 4 + 2 - 4 = ln 4

b = ln 4

F est une primitive de f donc F(x) = x²

2 + 2x - e 1 2 x 1 2 + C = x²

2 + 2x - 2 e

2 x + C C étant une constante

L"ordonnée de A est -2 donc F(0) =

0² 2 + 2 × 0 - 2 e0 + C = -2 -2 + C = -2 donc C = 0

Donc F(x) = x²

2 + 2x - 2 e 1 2 x Remarque : le coefficient directeur de la tangente à C

1 au point d"abscisse 0 est F"(0) = f (0) = 0 + 2 - e0 = 1

On peut le vérifier sur le graphique.

EXERCICE 2

1. On peut résumer le problème grâce à l"arbre suivant :

2/3 R

2/3 1/3 N

4/5 R

1/3 N

1/5 N

a. Donc la probabilité que les deux boules soient rouges est 2 3

× 2

3 = 4 9

b. La seconde boule tirée est noire lorsque l"un des événements incompatibles (R,N) ou (N,N)

est réalisé La probabilité que la seconde boule soit noire est donc 2 3

× 1

3 + 1 3

× 1

5 = 2 9 + 1

15 = 1345

La probabilité que la première boule soit rouge sachant que la deuxième est noire est

P(R,N)

P(seconde noire)

= 2 9 / 1345 = 2 9

× 4513 = 1013.

2. a. La probabilité de tirer une des 4 boules rouges parmi n + 4 boules est p = 4

n +4

On a P(X =k) =

4 k pk (1-p) 4- k 4

4 p4 (1-p)4-4 = 1 -p4

qn = 1 -  4 n +44 c. On veut q n ³ 0,999 9 donc 1 -  4 n +44 ³ 0,999 9 donc 1 - 0,999 9 ³  4 n +44 donc 0,000 1 ³ 4 n +44 ou 0,000 1 ³ 4 4 (n + 4)4 donc 10-4 × (n + 4)4 ³ 4

4 donc (n + 4)4 ³ 4

4 10-4 donc (n + 4)4 ³ 44 × 104 ou (n + 4)4 ³ (4 × 10) 4 donc (n + 4) ³ 40 donc n ³ 36.

Le plus petit entier demandé est donc 36.

Remarque, ici les calculs étaient aisés car on retrouvait des puissances 4 partout. Sinon il aurait fallu faire

comme suit : (n + 4)

4 ³ 4

10-4 donc (n + 4) ³ 

44
10-4 1

4 donc n ³ 

44
10-4 1 4 - 4

EXERCICE 3

Si on n"avait pas dit d"admettre que un > 0, il aurait fallu faire un raisonnement par récurrence.

1. f (x) = 1

2 

x sur ]0 ; + ¥[. f "(x) = 1 2 1 + 7 ×  x² = 1 2 x² - 7 x² = x² - 7

2x²

x² - 7 est négatif sur [-

7 ; 7] et positif ailleurs, nous avons donc

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BACCALAUREAT S Métropole septembre 2012

EXERCICE 1

1. f étant croissante sur ]- ¥ ; a] puis décroissante sur [a ; + ¥[,

2. a. D"après la représentation graphique, C

2 représente une fonction d"abord positive sur ]- ¥ ; a]

La courbe C

1 représente une fonction d"abord négative.

La courbe C

2 représente donc la fonction f '

1 < a < 2

Donc b > 0

3. a. Soit la fonction affine g définie par g(x) = m x + p.

Û m = 1 et p - 2 m = 0

Û m = 1 et p = 2

En soustrayant membre à membre, il vient

2 x donc f (x) - g(x) = k e

2 x donc f (x) = g(x) + k e

× 1

2 x donc f "(0) = 1 + k

2 e0 = 1 + k

D"après le graphique, f "(0) = 1

2 = - 1

2 x = 0 Û 1 = 1

2 x Û 2 = e

2 x Û ln 2 = 1

2 ln 4 = ln 4 + 2 - e ln 4 = ln 4 + 2 - 4 = ln 4

F est une primitive de f donc F(x) = x²

2 + 2x - 2 e

2 x + C C étant une constante

L"ordonnée de A est -2 donc F(0) =

Donc F(x) = x²

1 au point d"abscisse 0 est F"(0) = f (0) = 0 + 2 - e0 = 1

On peut le vérifier sur le graphique.

EXERCICE 2

1. On peut résumer le problème grâce à l"arbre suivant :

2/3 R

2/3 1/3 N

4/5 R

1/3 N

1/5 N

× 2

× 1

× 1

15 = 1345

P(R,N)

P(seconde noire)

× 4513 = 1013.

2. a. La probabilité de tirer une des 4 boules rouges parmi n + 4 boules est p = 4

On a P(X =k) =

4 p4 (1-p)4-4 = 1 -p4

4 donc (n + 4)4 ³ 4

Le plus petit entier demandé est donc 36.

4 ³ 4

10-4 donc (n + 4) ³ 

4 donc n ³ 

EXERCICE 3

1. f (x) = 1

2 

2x²

7 ; 7] et positif ailleurs, nous avons donc