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Chapitre. Milieux, parallèles et triangles

I.Théorème de la droite des milieux

Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux cotés est parallèle au troisième côté. dans le socle Illustration: Dans ABC, ??? I est le milieu de [AB]J est le milieu de [AC] donc (IJ) // (BC)

Démonstration

On considère un triangle quelconque ABC.

On I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. On appelle K le point tel que AJBK soit un parallélogramme..

1) AJBK est un parallélogramme.

Les côtés opposés d"un parallélogramme sont parallèles et de même longueur donc (AK ) // ( BJ ) et AK = BJ.

2) Dans AKJC,

J est le milieu de [BC] donc BJ = JC et on sait que AK = BJ.

Donc AK = JC

(BJ) et (JC) étant confondues, on a (AK) // ( JC) Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c"est un parallélogramme.

Donc AKJC est un parallélogramme.

3) AKJC est un parallélogramme

donc ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Donc (AC) // ( KJ) et AC = KJ

( AC) // ( KJ) et I, J, et K sont alignés.

Donc ( IJ) // (AC).

II. milieux de cotés et longueurs

Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du troisième. dans le socle Illustration: Dans ABC, ??? I est le milieu de [AB]J est le milieu de [AC] donc IJ = 1 2

´ BC

Démonstration.

Avec la figure et les résultats de la démonstration du I.

Comme I est le milieu de [KJ]

IJ = 1

2 × KJ donc IJ = 1

2 × AC

III. Milieux et parallèles

Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d"un côté et qui est parallèle au deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. pas dans le socle Illustration: Dans ABC, ??? I est le milieu de [AB](IJ) est parallèle à (BC).

Donc J est le milieu de [AC]

Démonstration

On considère un triangle ABC. On note I le milieu de [AB]et J le milieu de [BC]. A B C I J A BC I J A

B C I

J B C A I J K La parallèle à (AC) passant par I coupe (BC) en K.

1) dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC]

Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

donc ( IJ) // ( AC).

Or ( KI ) // (AC)

Par un point extérieur à une droite, il ne passe qu"une seule droite parallèle à cette droite.

Donc (IK) et ( IJ) sont confondues.

2) Les points J et K sont tous les deux l"intersection des droites (IJ) et ( BC). Ils sont donc confondus.

IV. Théorème de l"égalité des trois rapports appelé aussi théorème de proportionnalité dans les

triangles pas dans le socle

Dans un triangle ABC, si

M

ÎÎÎÎ [AB]

N

ÎÎÎÎ [AC]

(MN) // (BC) , alors AM

AB = AN

AC = MN

BC exemple 1: Résolution d"un exercice type. On considère le triangle ABC tel que AB = 6 BC = 8 et AC = 9

On note le point M sur {AB] tel que AM = 2

On note le point N sur [ AC] tel que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Calculer AN et MN.

Dans le triangle ABC,

M Î [AB]

N Î [AC]

(MN) // (BC) ,

On peut appliquer le théorème de Thales:

AM AB = AN

AC = MN

BC

En particulier,

AM AB = AN

AC Donc AN = AM ´ AC

AB AN = 2 ´ 9

6 AN = 3

AM AB = MN

BC Donc MN = AM ´ BC

AB MN = 2 ´ 8

6 MN = 2´ 8

2 ´ 3 MN = 8

3 Une démonstration inspiré de la proposition 2 du livre VI des Eléments d"Euclide

Première partie

Soit a, b, c et d strictement positifs. Montrer que si a b = c d , alors a a + b = c c + d

Deuxième partie

1) On considère un triangle ABC quelconque. On note M un point de [AB].

La droite parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N. On note I le pied de la hauteur issue de C de CMN et I" le pied de la hauteur issue de B de BMN. (BI") et (CI) sont perpendiculaires à (MN). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles.

Donc (BI") est parallèle à (CI).

On sait déjà par construction que (II") est parallèle à (BC). Le quadrilatère BCII" a donc ses côtés opposés parallèles deux à deux.

C"est donc un parallélogramme.

De plus, il a un angle droit en I.

Si un parallélogramme a un angle droit, alors c"est un rectangle.

Donc BCII" est un rectangle.

Les côtés opposés d"un rectangle sont de même longueur.

Donc CI = BI".

A d d"

M N C B A B C

N I I " M H H"

2) On note A CMN et A BMN les aires de CMN et BMN

A

CMN = 1

2 × MN × CI A BMN = 1

2 × MN × BI"

Or CI = BI". Donc A

BMN = A CMN

3) On note H le pied de la hauteur issue de N du triangle AMN.

A

AMN = 1

2 × AM × HN et A BMN = 1

2 × BM × HN

A AMN

A BMN = 1

2

× AM × HN

1 2

× BM × HN

donc A AMN

A BMN = AM

BM .

4) On note H" le pied de la hauteur issue de M du triangle CMN.

A

AMN = 1

2 × AM × H"M et A CMN = 1

2 × CM × H"M donc A AMN

A CMN = AN

CN . Or A

BMN = A CMN donc A AMN

A BMN = A AMN

A CMN donc AM

BM = AN

CN .

Troisième partie

AM BM = AN

CN donc d"après la première partie, AM

AM + BM = AN

AC + CN

Or M Î [AB] donc AB = AM + MB et N Î [AC] donc AC = AN + NC.

Donc AM

AB = AN AC .

Quatrième partie

on note J et J" les pieds de perpendiculaires à (MN) et (BC) passant par A. Par démonstration analogue à la précédente, on a AM AB = AJ

AJ" = AN

AC.

De plus, on a JJ" = CI = BI"

et J

Î [AJ"] donc AJ" = AJ + JJ"

A

ABC = 1

2

× BC × AJ"

A

ABC = A AMN + ABMC + A CMN

A ABC = 1

2 × AJ × MN + 1

2 × BC × BI" + 1

2 × MN × CI

A

ABC = 1

2 ( AJ × MN + BC × CI + MN × CI)

A

ABC = 1

2 ( MN × (AJ + CI) + BC × CI)

A

ABC = 1

2 (MN × AJ" + BC × CI)

Donc BC × AJ" = MN × AJ" + BC × CI

BC × AJ" = MN × AJ" + BC × CI

BC (AJ"

- CI) = MN × AJ"

BC (AJ"

- JJ") = MN × AJ"

BC × AJ = MN × AJ"

AJ AJ" = MN BC

Corollaire: dans un triangle ABC, si

(M ÎÎÎÎ [AB) (N ÎÎÎÎ [AC) (MN) // (BC) , alors AM AB = AN

AC = MN

BC Effectivement, si deux nombres sont égaux, leurs inverses le sont aussi.

A d d"

B C N M A B C

N I I " M H H"

J" J V. Utilisation de ces théorèmes pour les droites remarquables du triangle: Rien dans les programmes de quatrième ne parle de cette partie.

Toutefois, les programmes de cinquième énoncent le résultat et il y est indiqué que la démonstration est possible en

quatrième.

Cela ne fait pas partie du socle.

1) Les médianes d"un triangle

Définition: une médiane d"un triangle est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce

sommet.

Un segment-médiane d"un triangle est un segment dont les extrémités sont un sommet du triangle et le milieu

du côté opposé à ce sommet.

2) Un théorème dans le triangle

But: peut-on prouver les trois médianes d"un triangle sont concourantes en un point ?

Bases du problème

On note A " le milieu de [BC].

On note B " le milieu de [AC].

On note C " le milieu de [AB].

Les droites (BB ") et (CC ") se coupent en G.

On veut montrer que ce point G est également sur la droite (AA ") On note A" le symétrique de A par rapport à G.

Etape 1:

(BB") et (CC") sont deux médianes de ABC, et se coupent en G. A" est le symétrique de A par rapport à G, par définition du symétrique d"un point par une symétrie centrale, G est le milieu de [AA"]. Etape 2:

Dans le triangle AA"C,

G est le milieu de [ AA" ]

B" est le milieu de [ AC ]

Dans un triangle la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Donc (GB") est parallèle à (A"C).

Or B, B" et G sont alignés, donc (GB") et (BG) sont confondues.

Donc (BG) // (A"C). Dans le triangle AA"B, {

G est le milieu de[ AA" ]

C" est le milieu de[ AB ]

Dans un triangle la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Donc (GC") est parallèle à (A"B).

Or C, C" et G sont alignés, donc (GC") et (CG) sont confondues.

Donc (CG) // (A"B).

Etape 3:

(BG) // ( A"C ) ( CG ) // (A"B) Si un quadrilatère à ses côtés opposés parallèles deux à deux, alors c"est un parallélogramme.

Donc BGCA" est un parallélogramme.

BGCA" est un parallélogramme

A" est le milieu de[ BC ]

Les diagonales d"un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Donc [GA"] et [BC] ont le même milieu.

Donc A" est le milieu de [GA"].

Etape 4:

A" est le milieu de [GA"], donc A" Î (GA"). Or A Î (GA") Donc A, A", G et A" appartiennent à (AA") qui est la troisième médiane de ABC

G est un point commun à (AA"), (BB") (CC").

Conclusion: "les trois médianes d"un triangle sont concourantes en un même point."

Position de G sur le segment médiane:

G appartient à [AA"] Donc AA" = AG + GA" soit AG = AA" - GA".

A" est le milieu de [GA"] Donc GA" =

1 2 GA" et G est le milieu de [AA"], donc GA" = AG Donc GA" = 1 2 AG

Donc AG = AA" - 1

2

AG AG + 1

2 AG = AA" 3

2 AG = AA" donc AG = 2

3 AA".

Théorème: les trois médianes d"un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du

triangle. On a de plus: AG =2 3 AA" BG = 2 3 BB" CG = 2 3 CC" B C A C" B" A" G

Autre formulation: le centre de gravité se trouve aux deux tiers des segments-médianes à compter des sommets.

Corollaire: le centre de gravité d"un triangle se situe au tiers des segments-médianes à compter des

milieux des côtés.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47