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Module et argument : exemplespage 1 de 2
Module et argument : exemplesIModule
1.Quel est le module de3 + 4i?
C'estp3
2+ 42=p25 = 5
2.Quel est le module de3?
3 =3 + 0i, donc son module estp(3)2+ 02=p9 = 3
Lorsqu'un nombre complexezest reel (z=x+ 0i=x), son modulepx2+ 02est
egal a sa valeur absoluejxj. Mais le concept devaleur absoluene s'applique pas aux nombre complexes qui ne sont pas des nombres reels. On parle alors seulement de module. Dans tous les cas, on utilise la notation entre barres verticales :jzj. Pour un com- plexe non reel, on lit"module dez». Pour un reel, on peut lire"module dez»ou "valeur absolue dez».3.Quel est le module dez=3 + 4i1 +i?
Methode compliquee (mais naturelle) : on ecrit3 + 4i1 +isous la formex+yiet on calculepx2+y2. Pour cela, on multiplie en haut et en bas par le conjugue du
denominateur.3 + 4i1 +i=(3 + 4i)(1i)(1 +i)(1i)=33i+ 4i4i21
2+ 12=72
+i2Doncjzj=r49
4 +14 =r50 4 =52 p2 Methode plus simple : on utilise d'abord les proprietes des modules avant d'utiliser leurs denitions : le module d'un quotient est le quotient des modules :jzj=j3 + 4ijj1 +ij=p32+ 42p1
2+ 12=
5p24.Quel est le module de(3 + 4i)2?
Methode compliquee (mais naturelle) : on ecrit (3 + 4i)2sous la formex+yiet on calculepx 2+y2. (3 + 4i)2= 9 + 24i16 =7 + 24i.jzj=p49 + 576 = p625 = 25 Methode plus simple : on utilise d'abord les proprietes des modules avant d'utiliser leurs denitions : Le module d'un carre est le carre du module.jzj=j3+4ij2=p32+ 422= 32+42=
255.Quel est le module de(3 + 4i)2006?(3 + 4i)2006=j3 + 4ij2006=p3
2+ 422006= 52006
6.Quel est l'ensemble des pointsMd'axeztels quejz+ij= 2?
SoitAle point d'axei. Alorsjz+ij=jzzAj=AM(module!distance). L'ensemble cherche est donc l'ensemble des pointsMtels queAM= 2, donc le cercle de centreAet de rayon 2.7.Quel est l'ensemble des pointsMd'axeztels quejz+ij=jzj?
SoitAle point d'axei. Alorsjz+ij=jzzAj=AM(module!distance) et jzj=OM. L'ensemble cherche est donc l'ensemble des pointsMtels queAM= OM, donc c'est la mediatrice de [OA] (d'equationy=128.On supposezz0=ietjzj= 3. Combien vautz+1z
0 1z 0=zi =iz. Doncz+1z 0 =jzizj=jz(1i)j=jzj j1ij= jzjp12+ (1)2=jzjp2 = 3
p2 Remarque : soitMle point d'axezetNle point d'axe1z0. AlorsNest l'image
deMpar la rotation de centreOet d'angle2 puisque1z0=iz. SoitPle
quatrieme sommet du parallelogrammeMONP. Ce parallelogramme est un carre(parallelogramme avec un angle droit etOM=ON). Donc sa diagonaleOPvautp2 fois son c^oteOM. Or l'axe dePestz+1z
0car!OP=!OM+!ON.
Comme z+1z 0 =OP, on a :z+1z 0 =p2OM=p2jzj= 3p2 Module et argument : exemplespage 2 de 2IIArgument1.Calculer l'argument dez= 1ip3
Pour calculer l'argument, on a besoin du module :r=1ip3 =q12+ (p3)
2= 2. Soitl'argument dez. Il faut calculer son cosinus et son sinus : cos() =xr =12 et sin=yr =p3 2 . Donc=3 [2].2.Determiner l'argument de(1p2)zsachant que l'argument dezest.
1p2 est un reel negatif, donc son argument est.
Donc arg((1p2)z) = arg(1p2) + arg(z) =+
3.Determiner l'ensemble des pointsMd'axeztels quearg(z) =4
La propriete equivaut a!u ;!OM
=4 , donc l'ensemble cherche est la demi-droite ouverte d'origineOet d'angle polaire4 . C'est la demi-droite ]OA) avecAd'axe1 +i. Cette demi-droite est l'ensemble des pointM(x;y) tels quey=xetx >0.
La demi-droite est ouverte enOparce que le nombre 0 n'a pas d'argument (l'angle!u ;!OO ne peut pas ^etre deni). Il s'agit d'une demi-droite et pas d'une droite parce que les arguments sont des angles orientes de vecteurs : les points de la demi-droite opposee (y=xavecx <0) ont un autre argument :+44.Calculer l'argument dez= sin8
+icos8C'est une question piege. L'argument n'est pas
8 jzj== 1. Donc cos() = sin8 et sin() = cos8 (il y a"echange»du sinus et du cosinus).Donc=2
8 =38 (angles"complementaires», faire une gure).De m^eme, voici d'autres exemples du m^eme type :
arg cos8 +isin8 =8 arg cos8 isin8 =8 arg cos8 isin8 =+85.Calculer l'argumentdez=1ip3
1 +i L'argument d'un quotient est la dierence des arguments (modulo 2) : = arg(1ip3)arg(1 +i) ==3 4 =712Remarque : on aurait pu essayer de calculer d'abord le quotient, mais cela aurait conduit a des cosinus et sinus non usuels.On aurait trouvez=1p3
2 i1 +p3 2 ,jzj=p2 (calcule avec le quotient des modules) et cos() =xjzj=1p3 2 p2 Mais le rapprochement des deux methodes permet de faire une deduction : puisque l' argument dezest712 , alors c'est que cos 712=1p3 2 p2 L'idee a retenir est donc :en calculant un argument de deux facons et en identiant, on peut trouver les formules exactes de certains cosinus ou sinus non usuels.