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Soit X une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre k ≥ 2 Alors X admet des moments d'ordre 1,2, , k Déf 16 Le moment centré d'ordre k de X, 

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Moments des variables aléatoires • Moment centré d'ordre k: Pour une loi symétrique: • Moment non-centré d'ordre k: • Remarques : Variance Var(X) 

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moyenne, aux moments centrés d'ordre 2, 3 et 4, ainsi qu'à divers coefficients adimensionnels pouvant être formés à partir de ces moments Le moment centré  

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4 2 Moments d'ordre supérieur - Variance Définition 28 On dit qu'une v a discrète réelle X admet un moment non centré d'ordre k si Xk est d'espérance finie, 

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Un moment non-centré d'ordre r est défini de la manière suivante : Définition 7 On appelle variance de X, noté V (X), le moment centré d'ordre 2 de X (s'il 

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à la loi normale centré réduite qui joue un rôle prépondérant en probabilité et statistique En effet, pour la loi normmale centrée, tous les moments d'ordre pair 

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Le cas particulier réellement important est le cas où n = 2 Définition Soit X une variable aléatoire réelle On appelle le moment centré d'ordre 2 de X la variance  

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3 6 4 Moments centrés d'ordre k On appelle variance de la variable aléatoire X le moment centré d'ordre 2 de cette variable V (X) = δ2 = E(X − E(X))2 

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1UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANUV Statistique pour l'ingénieurCours n° 1IntroductionRappels de probabilitésVariables aléatoiresPrincipales lois discrètes et distributions continues

2UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANStatistique pour l'ingénieur•Objectif : Prise en compte de l'aléatoire pour aider à prendre une décision " Comment prévoir en présence du hasard » • Domaine d'application :  Médecine, qualité, environnement, assurance, jeux, informatique, ... •Signification ambigüe du terme : La Statistique = ensemble de méthodes permettant d'analyser(de traiter) des ensembles d'observations (des données)Une statistique = une donnée statistique (exemple : statistique du commerce extérieur français)

3UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANStatistique pour l'ingénieur•Vocabulaire :Population (limitée ou de très grande taille)Individus appartenant à la populationRecensement = Interroger toute la populationSondage = Interroger une partie de la population (un échantillon)Variable = caractéristique définie sur la population •quantitative : -Discrète (exemple : age)-continue (exemple : taille)•qualitative : -Nominale (exemple : couleur des yeux = marron | vert | bleu )-ordinale (exemple : type de voiture = aucune | petite | moyenne | grande )

4UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANDémarche statistique•Les méthodes statistiques peuvent se séparer (approx.) en deux familles :Statistique descriptive (ou exploratoire)

Statistique inférentielle (ou décisionnelle)

5UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANDémarche statistique•Statistique descriptive (ou exploratoire)

Rôle : •ressortir des propriétés de l'échantillon étudié,•suggérer des hypothèses Méthodes d'analyse de données : •représentation des données•classification pour réduire la taille de l'ensemble d'individus (i.e. regrouper ceux qui se ressemblent en " classes ») •factorielles pour réduire le nombre de variables (i.e. analyse en composantes principales, analyse de correspondances)

6UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANDémarche statistique•Statistique inférentielle (ou décisionnelle)

Rôle :•étendre les propriétés constatées sur un échantillon à toute la population•Vérifier l'adéquation des hypothèses a priori ou issues d'une phase exploratoireMéthodes : •estimation d'une moyenne•vérification d'une hypothèse (ou test)•modélisation et prévision statistique

8UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANRappels de probabilitéLiens entre ensembles et probabilités point de W événement élémentaire Asous-ensemble de Wévénement aléatoire w appartient à Aw réalise A A est contenu dans BA implique B réunion de A et BA ou B intersection de A et BA et B complémentaire de Acontraire de A Ø ensemble videévénement impossible W ensemble plein événement certain A et B disjointsA et B incompatibles∈A

A⊂B

A∪B

A∩B

A∩B=

A

9UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANRappels de probabilité•A1,...,An est un système complet d'événements , si les parties A1,...,An de W constituent une partition de W (par exemple A et forment un système complet)•A est une tribu sur W si c'est un ensemble de parties de W stable par intersection et par union et dénombrable •(W, A) est un espace probabilisable,

avec A est une tribu de parties de WA

10UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANRappels de probabilité•Définition d'une loi de probabilité sur (W,A) :

 C'est une application P : A -> [0, 1] telle que•

• , pour tout ensemble dénombrable d'événements incompatibles A1,...,An

•(W, A, P) est un espace probabilisé •Propriétés :P∪Ai=∑i∈I

PAi

P=0

PA=1-PA

0 PAi1

11UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANRappels de probabilité•Probabilité conditionnelle

de l'événement A sachant B : •Indépendance de 2 événements A et B :

•Indépendance mutuelle des événements :Indépendance 2 à 2 des événements, mais la réciproque est fausse !•Théorème de Bayes pour 2 événements A et B quelconques :PA∣B=PA∩B

PB

PAi

PA∣B=PA

PB

PB∣A=PB

12UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZAN•Exemple :La législation de la marijuana aux USAP(Est)=0.300P(Autres)=0.700P(Pour)=0.260P(Pour|Est) = P(PourÇEst) / P(Est) = 0.078 / 0.300 = 0.260 Þ Pour et Est sont deux événements indépendants Conditionnement et indépendancePourContreEstAutre0.0780.2220.1820.518

13UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANVariables aléatoires•Variable aléatoire : application (fonction) mesurable X : (W, A , P) ® (W', A' )

telle que "A'ÎA', X-1(A') ÎA

•Classification :  Variable aléatoire réelle si W'=Â Variable aléatoire discrète réelle si W'=V, où V est un sous-ensemble fini ou dénombrable de Â

•Remarque: ne pas confondre une variable aléatoire, notée X, avec la valeur prise par cette variable, notée x.

14UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANVariables aléatoires•Expérience w = tirer une carte... W= {A§, 2§, ... ,R§,A¨, 2¨, ... ,R¨,Aª, 2ª, ... ,Rª,A©, 2©, ... ,R©}

•Exemple de variables aléatoires:H(w) = vrai si w est un ª , faux sinonW'={vrai, faux}N(w) = n si w est un n , 0 sinonW'={0, 1, ...10}F(w) = 1si w est une figure, 0 sinonW'={0, 1}

W •wW' •w'H

15UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANVariables aléatoires•Loi de probabilité de la variable aléatoire X :mesure image de P par X •Notations :

PX∈BpourPXB

16UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANVariable aléatoire discrète•Loi d'une variable aléatoire discrète X :•Propriétés :

Valeur de la probabilité de toute partie de V :•Exemple :P(N) = ?px=P{;X=x}pourx∈V

0 px1, pourtoutx∈V

∑x∈V px=1

PX∈A=∑x∈A

px

17UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANVariable aléatoire continue•Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X : f(x)•Propriétés :

Valeur approx. de la probabilité :•Remarque : la densité de probabilité f(x) peut être supérieure à 1 (contrairement à la probabilité p(x))PX∈I=∫I

fx0 , pourtoutx fxdx=1

18UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANVariables aléatoires•Fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle X :•Propriétés : 

 F est une fonction croissante, continue à gauche  F:ℝ[0,1]définiepar∀x∈ℝ,Fx=PXx

limx-∞

Fx=0 limx∞

Fx=1

x ftdt

19UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZAN-5050

0.1 0.2 0.3 0.4 f(x) : fonction densitée -5050 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x

F(x) : fonction de répartitionVariables aléatoires•Exemple de densité deprobabilité•Exemple de fonctionde répartition

20UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANFonction d'une variable aléatoire•Loi d'une fonction d'une variable aléatoire réelle

Variable aléatoire discrèteVariable aléatoire continueSupposons - X continue avec une densité f et une fonction de répartition F- dérivableSi bijective et strictement croissanteSi bijective et strictement décroissanteY=X

px

21UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANMoments des variables aléatoires•Espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète :•Espérance math. d'une variable aléatoire continue :•Espérance math. d'une fonction d'une variable aléatoire :EX=∑x∈V

xPX=x=∑x∈V xpx

EX=∫ℝ

xfxdx xfxdx

22UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANMoments des variables aléatoires•Remarques sur l'Espérance Mathématique : L'espérance peut ne pas exister !!! Valeur de l'espérance mathématique issue d'un calcul :•ponctuel pour f connue•théorique pour f inconnue !!!•Propriétés : Ea=a

EaX=aEX

23UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANMoments des variables aléatoires•Variance d'une variable aléatoire :où est l'écart type de la v. a. X•Propriétés :varX=2=E[X-EX]2

varXa=varX varaX=a2varX varX=0 ⇔X=apresquesûrement k2

24UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANMoments des variables aléatoires•Moment centré d'ordre k:

Pour une loi symétrique:•Moment non-centré d'ordre k: •Remarques : Variance Var(X) = moment centré d'ordre 2 Espérance E(X) = moment non-centré d'ordre 1Coefficient d'asymétrie : Coefficient d'aplatissement :skewnesskurtosis k=E[X-EX]k

mk=EXk 1=0 et2=varX 2k1=0 ∀k 1=3 32=4 4

25UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANPrincipales lois DISCRETES de probabilité•Loi uniforme U(n)loi d'une v. a. X prenant les valeurs 1, 2,...,n avec la même probabilité •Moments :•Exemple : Réalisation d'un nombre (entre 1 et 6) après avoir jeté un déPX=x=1

n∀x∈V={1,2,,n}

EX=n1

2VarX=n2-1

12

26UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANPrincipales lois DISCRETES de probabilité•Loi de Bernoulli B(1, p)loi d'une v. a. X ne pouvant prendre que 2 valeurs 1 et 0 avec les probabilités p et 1-p •Moments :•Exemple : Réalisation de pile (ou face) après avoir jeté une piècePX=x=px1-p1-x

27UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANPrincipales lois DISCRETES de probabilité•Loi binomiale B(n, p)Répétition de l'expérience de Bernouilli n fois, X est la somme des résultats des expériences •Moments :•Propriétés : Si n grand (n>50) alorsB(n, p) ® P(l=np) si p petit (p<0.1) B(n, p) ® N(m, s) sinonX1 ~ B(n1, p) et X2 ~ B(n2, p) v.a. indépendantes Þ X1+X2 ~ B(n1+n2, p)

•Exemple : nombre de réalisations de pile après n essais{PX=x=Cn xpx1-pn-x

X∈{0 n}

28UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANPrincipales lois DISCRETES de probabilité•Loi de Poisson P(l)

•Moments :•Propriétés : Si l grand alors P(l) ® N(m, s) X1 ~ P(l1) et X2 ~ P(l2) v.a. indépendantes Þ X1+X2 ~ P(l1+l2)

•Exemples : nombre de personnes à la queue du bus après un intervalle de tempsNombre d'appels téléphoniques pendant un intervalle de tempsPX=x=e-x

x!∀x∈ℕ

29UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANDistributions CONTINUES usuelles•Loi uniforme U[0, a] sur [0,a] :Densité :Fonction de répartition :•Moments :•Remarque : La somme de 2 lois uniformes n'est pas une loi uniforme !!!EX=a

2VarX=a2

12 fx={1 asur[0,a]

0 ailleurs}Fx={x

asur[0,a]

0 sur-∞,0eta,∞}

30UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANDistributions CONTINUES usuelles•Loi exponentielle E(l) :

Densité :Fonction de répartition : •Moments :•Exemples : Temps d'attente à la queue du busDurée de vie d'un composant électriqueEX=1

VarX=1 2

31UV StatistiqueCours n°1Ph. LERAY - A. ROGOZANDistributions CONTINUES usuelles•Loi normale N(m, s2)

Densité :•Moments : •Propriété : X1 ~ N(m1, s12) et X2 ~ N(m2, s22) v. a. Indépendantes Þ X1+X2 ~ N(m1+m2, s12+s22)

•Exemple : Variation du diamètre d'une pièce ; Répartition des erreurs de mesure autour de la " vraie valeur » EX=VX=2

fx=1 2 2e-1

2x-

2 ∀x∈ℝquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47