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Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S1 1
Exercice 1 : (4 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un = n
2n2) un = 1
n + 1 - 1 n3) un+1 = un
1 + un² et u0 = 4
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raiso = 1
4.5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = - 16 un + 8. 1) (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un + 4 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
4.3) vn).
4) n : un = 4 20n
4 + 5n.
5) Étudier les variations de la suite (un).
Première S3 IE5 comportement des suites S2 2016-2017 2Exercice 1 : (4 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un =22n+2
3n2) un = n n²
3) un+1 = (un + 1)² et u0 = 1
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raiso = 2.
5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 et de raison r = -5.
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = 96 un.
1) (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un 3 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
3.3) vn).
4) n : un = 6n + 3
2n + 3.
5) Étudier les variations de la suite (un).
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
3Exercice 1 : (5 points)
Etudier la monotonie de la suite u.
1) un = n
2n2) un = 1
n + 1 - 1 n3) un+1 = un
1 + un² et u0 = 4
4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raison q = 1
4.5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.
1) Comme 2n > 0, un est défini pour tout entier naturel.
un+1 un = n + 12n+1 - n
2n = n + 1
2n+1 - 2n
2n+1 = 1
2n+1 (n + 1 2n)
un+1 un = 12n+1(n + 1 2n)n + 1 + 2n
n + 1 + 2n un+1 un = 12n+1(n + 1² - (2n)²
n + 1 + 2n12n+1n + 1 - 4n
n + 1 + 2n= -3n + 12n+1(n + 1 + 2n)
2n+1(n + 1 + 2n) > 0
Pour n > 1, -3n + 1 < 0 ; et -3n + 1
2n+1(n + 1 + 2n) < 0.
Donc à partir du rang 1, la suite (un) est décroissante.Vérification graphique :
2) un est défini pour n > 0.
Pour n > 0, un+1 un = 1
n + 2 - 1 n + 1 - 1 n + 1 - 1 n = 1 n + 2 - 2 n + 1 + 1 n Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
4 un+1 un = n(n + 1) 2n(n + 2) + (n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) = n² + n 2n² - 4n + n² + 2n + n + 2 n(n + 1)(n + 2) un+1 un = 2 n(n + 1)(n + 2) > 0Donc la suite u est croissante.
Autre méthode :
un = f(n) avec f(x) = 1 x + 1 1 x Alors un a les mêmes variations que f sur [0;+ [.Or pour x > 0, f'(x) = - 1
(x + 1)² + 1 x² = -x² + (x + 1)² (x + 1)²x² = [(x + 1) + x][(x + 1) x] (x + 1)²x² f'(x) = 2x + 1 (x + 1)²x²Pour x > 0, 2x + 1 > 0 et (x + 1)²x² > 0
Donc f'(x) > 0
Donc f est strictement croissante sur [0; + [.
Donc la suite (un) est strictement croissante.
Vérification graphique :
3) Comme 1 + un² > 0, alors un est défini pour tout entier naturel.
De plus comme u0 > 0 alors un > 0 pour tout entier naturel n. un+1 un = un1 + un²- un = un 1 (1 + un²)
1 + un² = un -un²
1 + un²
-un²1 + un² < 0 et comme un > 0, alors un+1 un < 0.
Donc la suite (un) est décroissante.
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5Vérification graphique :
4) Comme la raison de la suite géométrique q = 1
4 est comprise entre 0 et 1, alors la suite
(qn) est décroissante et comme u0 < 0, alors la suite (un) est croissante. Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 1 4un un+1 un = 14un un = - 3
4un et comme u0 < 0 et q > 0 alors un < 0 pour tout entier naturel n.
Donc -3
4un > 0 et donc la suite u est croissante.
Vérification graphique :
5) Comme u est une suite arithmétique de raison r = 10 > 0, alors la suite u est croissante.
Autre manière : un+1 un = 10 > 0, donc la suite u est croissante. Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
6Vérification graphique :
Exercice 2 : (6 points)
On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par u0 = 1 et un+1 = - 16 un + 8.1) (un) ainsi que sa
limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un + 4 .2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1
4.3) vn).
4) n : un = 4 20n
4 + 5n.
5) Étudier les variations de la suite (un).
1) La suite (un) semble être décroissante et converger vers -4.2) vn+1 = 1
un+1 + 4 = 1 -16 un + 8 + 4 = 1 -16 + 4(un + 8) un + 8 = un + 8 -16 + 4un + 32 = un + 84un + 16
Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017CORRECTION
7 vn+1 vn = un + 84un + 16 - 1
un + 4 = un + 8 - 44un + 16 = un + 4
4(un + 4) = 1
4 v0 = 1 u0 + 4 = 11 + 4 = 1
5 Donc (vn) est la suite arithmétique de raison 14 et de premier terme v0 = 1
5.3) vn = v0 + nr = 1
5 + 1 4n4) vn = 1
un + 4 un + 4 = 1 vn un = 1 vn - 4 un = 1 1 5 + 1 4n - 4 = 204 + 5n - 4 = 20 4(4 + 5n)
4 + 5n = 20 16 20n
4 + 5n = 4 20n
4 + 5n
5) un+1 un = 4 -20(n + 1)
4 + 5(n + 1) - 4 20n
4 + 5n = (4 20n 20)(4 + 5n) (4 20n)(4 + 5n + 5)
(4 + 5n + 5)(4 + 5n) un+1 un = (-16 20n)(4 + 5n) (4- 20n)(9 + 5n) (5n + 9)(5n + 4) un+1 un = -64 -80n -80n 100n² - 36 20n + 180n + 100n² (5n + 9)(5n + 4) = -100 (5n + 9)(5n + 4) < 0Donc la suite (un) est décroissante.
Autre méthode : La suite (un) a le même sens de variation que la fonction f définie par f(x) =