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OnnoteraIlamatriceidentit´edeMn(R),et

N={A?Mn(R);Anilpotente}

T={A?Mn(R);Atriangulairesup´erieure}

U={A?Mn(R);A-I?N}

Ek=Vect(e1,...,ek)

n-1)sonttousnon-nuls.Q3SoitA?N. saderni`erelignenulle. sup´erieure`adiagonalenulle. a.MontrerqueA+B?N. b.Soitλ?R.Calculer(A+λB)n. exp(A)=I+A+12! c.End´eduirequeexp(A)estinversible. 1 (((((((a1a2a3...anana1a2. ..an-1. ..an. a3. .....a2a2a3...ana1) complexes. (((((1

ω2.

ωn-1)

i=1aijei. i=1aijei?Ej? stableparφA. ?k?[1,n],φA(Ek)=Ek.

φ-1

A(Ek)=EketdonclesEksontstablesparφ-1

A(Ek)?Ek-p.?p>k,φp

A(Ek)={0}.Enparticulier

φn

A(E)=φn

A(En)={0}etdoncφn

A=0.

A?=0,etcommeφn-1

A(En-1)={0},n´ecessairement

φn-1

?k≥2,φk-1 propri´et´e.Q3a)Oncalculepourk?N: r=rgφAφA(vn)?F=Vect(v1,...,vn-1) e)Consid´eronslamatriceJ=?01 00? 11? quiestinversible,alorsP-1= ?10 -11? etA=PBP-1= ?-11 -11? (A+B)r=r?k=0? r k? cettesommesontnullesetdonc(A+B)k=0. sontnuls.Maispuisque (A+λB)n=n?k=0?? n k?

AkBn-k?

λn-kilvientque?k?[0,n],AkBn-k=0.

exp(A)-I=A+···+1(n-1)!An-1=A?

I+···+1(n-1)!An-2?

=AB o`uAB=BA.Donc(exp(A)-I)n=AnBn=0. b)Calculons exp(A+B)=n-1?k=01k!(A+B)k=n-1?k=0k?i=0?k exp(A+B)=n-1?i=0n-1-i?j=01i!j!AiBj= ?i+j≤n-11i!j!AiBj=exp(A)exp(B)

I=exp(0)=exp(A-A)=exp(A)exp(-A)

????λ0+λ1+···+λn-1=0quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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