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défini positif : pour tout vecteur u, ≥ 0 et = 0 si et seulement si u = 0 Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux (et on note u ⊥ v) si < u,v >= 0 Intuitivement, deux vecteurs sont orthogonaux s'ils forment un angle droit (voir figure 1 1)

→v = 0 est équivalente au fait que les vecteurs →u et →v sont orthogonaux 4) Propriétés 1) Montrer que les droites 3 et 3′ sont orthogonales 2) Les droites

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est orthogonale à ( ) Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un plan Vidéo https://youtu be/aAnz_cP72Q4 ABCDEFGH est un cube Démontrer que le

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Définition : Soit un vecteur u et deux Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel Ecrire par sont orthogonaux si et seulement si u

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Deux vecteurs AB et CD sont dits orthogonaux si et seulement si l'un des deux est nul ou si (AB) -L (CD) -+ -+ AB l CD Notation: Selon la définition des

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Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur Application Dire que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires équivaut à dire que AB⋅ CD=

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vecteur directeur d'une droite, vecteur normal à un plan deux droites D et D' de vecteur directeurs u et v non nul sont orthogonales si les Exercice : montrer que les hauteurs issues de A et B d'un tetraede ABCD sont concourantes si

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On dit que d1 et d2 sont orthogonales si pour un point M de l'espace, les droites d′ 1 Deux vecteurs u et v de l'espace sont dits orthogonaux si et seulement si u v = 0 Montrer que P et Q sont sécants et déterminer une représentation

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Montrer que, si c est un réel positif et v est un vecteur de Rn, cv = c v ▻ Pour v = Deux vecteurs u and v sont orthogonaux si et seulement si u + v = u 2 + v 2

Emmanuel Militon

y y ??x0 y 0 < u;u

0>=xx0+yy0:

@x y z1 A ??0 @x0 y 0 z 01 A < u;u

0>=xx0+yy0+zz0:

v;u

0>??< u;u0+v0>=< u;u0>+ < u;v0> :

y?xykuk=?x

2+y2xyz?x

2+y2u=(

(x y z) )kuk=?x y px @x y z1 A ?kuk=px

2+y2+z3? ?? ?? ???????

y A ?=fu;8a2A;< a;u >= 0g: j< u;v >j kukkvk: u;v >+kuk2??? ???? ??????? ?? ??? ? = 4< u;v >24kuk2kvk20: ku+vk2=kuk2+kvk2+ 2< u;v > kuk2+kvk2+ 2j< u;v >j kuk2+kvk2+ 2kukkvk= (kuk+kuk)2; ?? ????? ??x=Pk i=1xiei??y=Pk i=1yiei? ?????< x;y >=Pk i=1xiyi?

1? ?? ????? ????e1=1kuk:u??? ??? ?? ??????? ?? ?????1? ?? ???? ?????e02=v+:e1?? ??

e02k:e02???? ??????? z2V????? ??? x=y+z: i=1< ei;x > ei? V? < z;v >=1< z;e1>+2< z;e2> : < z;e

1>=< x;e1>< y;e1>

=< x;e1>< e1;x >ke1k2< e2;x >< e2;e1> =< x;e1>< e1;x > :1< e2;x > :0 = 0 y ??x0 y 0 det(u;v) =x x0 y y 0 det(u;v) +det(u0;v)??det(u;v+v0) = det(u;v) +det(u;v0)? @x y z1 A ?0 @x0 y 0 z 01 A 0 @x00 y 00 z 001 A det(u;v;w) = x x 0x00 y y 0y00 z z 0z00 =xy0y00 z 0z00 yx0x00 z 0z00 +zx0x00 y 0y00 =xy0z00xz0y00yx0z00+yz0x00+zx0y00zy0x00: x x 0x00 y y 0y00 z z 0z00 =yx0x00 z 0z00 +y0x x00 z z 00 y00x x0 z z 0 det(w;v;u) =det(u;w;v)? @x y z1 A 0 @x0 y 0 z 01 A 0 B

BBBBB@

y y0 z z 0 z z0 x x 0 x x0 y y 0 1 C

CCCCCA=0

@yz0y0z zx 0z0x xy 0x0y1 A u^v+u0^v??u^(v+v0) =u^v+u^v0? ?????w=e1^e2? w;e

?? ???????w? ???? ?????1?????w=e3??w=e3? ????det(e1;e2;e3) =det(e1;e2;e3)<0???? ?? ????(e1;e2;e3)????? ???

det(u;v;w) =< u^v;w > : u=0 @x y z1 A etv=0 @x0 y 0 z 01 A z 0=x0x z??y0=x0x u?? ?? ???????(u;v)??? ?????? ?? ??? ?? ??????d??? ????2??3? < f(u);f(v)>=< u;v >? < fg(u);fg(v)>=< f(g(u));f(g(v))> =< g(u);g(v)> =< u;v > ?????Ker(f)??? ?????? ?? ??????? ???? < f

1(u);f1(v)>=< f(f1(u));f(f1(v))>

=< u;v > t M=a b c d v

1=au1+cu2

2=bu1+du2:

MM=a2+c2ab+cd

ab+cd b2+d2

1 =kv1k2=a2+c21 =kv2k2=b2+d20 =< v1;v2>=ab+cd

??z2D?? ?????y=pD(x)??z=xpD(x)? ?????r(x) =yz=pD(x)(xpD(x)) = ?? ????rr=Id? R u=u1+u2; u R

1? ?? ????rr=Id?

0 sin() 0 1 cos() R u;(u) =u R u;(v) = cos()v+ sin()w R u;(w) =sin()v+ cos()w: w?? cos(θ)u=Ru,θ(u)sin(θ)R u,θ(v)vθθwR @x y z1 A cos()ysin()z=y sin()y+ cos()z=z: ?? ??????? ?? ???????Ay z =0 0

A=cos()1sin()

sin() cos()1 cos()sin() sin() cos() M =cos()sin() sin() cos()

P=M0=cos(0)sin(0)

sin(0) cos(0) M

0=cos(0)sin(0)

sin(0) cos(0) ? ?(a+bi) + (a0+b0i) = (a+a0) + (b+b0)i? c

0)j+ (d+d0)k?

?? ?? ?????a=a+ 0i+ 0j+ 0k? ????a2R? (a+bi)(a0+b0i) = (aa0bb0) + (ab0+ba0)i: z

1(z2z3)?

z? z

2??z3? ?? ?(z1+z2)z3=z1z3+z2z3??z1(z2+z3) =z1z2+z1z3?

11 = 1 1i=i1j=j1k=k

i1 =i ii=i2=1ij=k ik=jquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47