cas du mouvement circulaire uniforme, la définition même de ce genre de mouvement permet d'en ment du nageur étant uniforme, les distances T1T1 et T2T2 sont égales pris dans le courant d'eau : c'est celle qu'il acquiert par l' exercice de la rotation de la terre sur elle-même, est négligeable par rapport `a l'accé-
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Exercices de Mécanique ment besoin de la base cylindrique § donc : la com- prendre et bien l'étudier d`es `a présent ex ey ez H Ex-M1 3 Mouvement circulaire uniforme : À la date tf de la fin du dépassement, l'accident sera évité si :
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1 5 4 Le mouvement circulaire uniforme : exercices 24 équations du mouvement rectiligne uniforme 1 1 et 1 2 : A = v∆t Une telle accé- lération, dans le Un mouvement circulaire uniforme peut être décrit par l'image animée men-
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effets mentionnés et même aucun d'eux ne vous permettra de dire si le bateau est en Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse est constante ( ) ( ) 6 Exercices de mécanique 6 1 S = surface présentée ⊥ ment au mouvement accélération qu'on nomme « accélération centripète : ac »
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cas du mouvement circulaire uniforme, la définition même de ce genre de mouvement permet d'en ment du nageur étant uniforme, les distances T1T1 et T2T2 sont égales pris dans le courant d'eau : c'est celle qu'il acquiert par l' exercice de la rotation de la terre sur elle-même, est négligeable par rapport `a l'accé-
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13
Les mouvements et les vitesses
Avant-propos
La notion de vitesse est essentielle en m´ecanique. Elle se pr´ecise `atravers deux ´etapes importantes de sa construction : son ´evaluation num´erique et sa caract´ erisation g´eom´etrique. Or, d`es qu"un mouvement se r´ev`ele etre un peu complexe, ces deux aspects se retrouvent presque inextricablement li´es, et l`ao`uenmath´ematiques on ´etudie au d´epart deux notions distinctes : la d´ eriv´ee et le vecteur, en physique on ne consid`ere plus qu"un seul objet : la vitesse. Alacrois´ee des deux disciplines, une image mentale commune peut se d´egager de l"´etude de photographies stroboscopiques du mouvement de projectiles. Elle est subordonn´ee `aunprincipeg´en´eral de discr´etisation : les ´eclairs successifs d"un stroboscope figent des positions tr`es rapproch´ees du projectile, et invitent `ad´ecomposer son mouvement en une succession tr`es dense de mouvements simples, quasi rectilignes et uniformes, mais dont la direction et l"intensit´e de la vitesse changent tout le temps. C"est `a partir de cette image discr`ete que nous proposons ici de construire progressivement la notion de vitesse.En bref, ce chapitre vise `a
d´etailler pourquoi et comment la vitesse d"un mouvement rectiligne uniforme peut etre consid´er´ee comme un prototype de grandeur vec- torielle en physique, d´efinir la vitesse instantan´ee d"un mobile comme vitesse d"un mou- vement rectiligne uniforme??id´eal??, mettre en ´evidence l"efficacit´edecedoublepointdevue: grandeur vectorielle/mouvement rectiligne id´eal `atraversl"´etude du mouvement circulaire uniforme. En plus des photographies stroboscopiques - et des exp´eriences de pen- s´ee, ch`eres aux physiciens - le recours aux fonctions d"un tableur permet de proposer des mod`eles et de simuler des situations. En outre, dans le cas du mouvement circulaire uniforme, la d´efinition meme de ce genre de mouvement permet d"enconstruire a priori des stroboscopies`a l"aide d"un tableur! 4041. Marcher ou nager, c"est la meme chose?405
1 Marcher ou nager, c"est la meme chose?
De quoi s"agit-il ?D´ecrire un mouvement rectiligne uniforme (inaccessible `a des mesures di- rectes) `a partir des caract´eristiques d"autres mouvements rectilignes uni- formes (accessibles `adetellesmesures). EnjeuxLa caract´erisation vectorielle de la vitesse d"un mouvement rectiligne uni- forme. Une interpr´etation cin´ematique des ´equations param´etriques d"une droite. Sur les vitesses situ´ees dans le cadre g´en´eral du calcul vectoriel, voir la section 8.3 du chapitre 16.De quoi a-t-on
besoin ?Un tableur (EXCEL, par exemple).Pr´erequis
Les ´el´ements du calcul vectoriel dans le plan, par exemple en termes de changements de position (voir le chapitre 8). La notion de mouvement rectiligne uniforme, en particulier de vitesse d"un tel mouvement, con¸cue dans un premier temps comme vitesse moyenne.1.1 La d´ecomposition d"un mouvement rectiligne
Comment s"y
prendre ?La situation suivante est simple, et tr`es classique 1 /m,308I21. Lors d"un entraınement de triathlon, un athl`ete doit traverser `a la nage une rivi`ere large de 200 m et anim´ee d"un fort courant. Il part du piedA d"un pont qui traverse cette rivi`ere (cf. la figure 1 ci-dessous) et s"efforce de toujours nager droit devant lui, perpendiculairement `a la berge, mais -biensur! - le courant le d´eporte. Yves et Xavier sont eux aussi au pied Adu pont, et observent le nageur pret `as"´elancer. Comment devraient- ils s"organiser (aussi simplement que possible) pour estimer la vitesse du nageur pendant sa travers´ee?Une mani`ere simple de s"organiser
Voici une m´ethode qui suppose qu"Yves et Xavier disposent tout au plus d"une montre ou d"un chronom`etre, et savent marcher... intelligemment. Xavier emprunte le sentier le long de la berge et marche en restant toujours `a hauteur du nageur; en allongeant le pas, il fait des enjamb´ees d"un m`etre (en moyenne) et note la distance parcourue pour chaque minute ´ecoul´ee. Yves fait de meme sur le pont, et en s"effor¸cant lui aussi de rester toujours `a hauteur du nageur. Tout cela revient donc `a situer la position du nageur de minute en minute, dans un rep`ere orthonorm´e??naturel??. 1 Pour des variantes et des prolongements, on se reportera par exemple `aE.Hecht [1999] : p. 51-59, A. Meessen [1984] : probl`eme 5 `a la p. 122, Physical Science Study Committee [1970] : p. 86-87 ou FESeC [1997] : p. V9 `a V11, ... sans oublier Formes et mouvements, CREM [2001a] : p. 274-275.406Chapitre 13. Les mouvements et les vitesses
Apont sens du courantsent0('4%(+
Fig. 1 : Le d´ecor.
Il est relativement raisonnable de faire ici unehypoth`ese d"uniformit´econcer- nant les d´eplacements de Xavier et d"Yves. Pour fixer les id´ees, supposons donc que Xavier parcourt ainsi d"une d´emarche r´eguli`ere 40 m`etres par minute, tandis qu"Yves traverse pareillement le pont d"un pas ´egal en 10 minutes, c"est-`a-dire `araisonde20m`etres par minute. Les ´el`eves peuvent facilement simuler cette situation `a l"aide d"un tableur, et repr´esenter ainsi les positions respectives de Xavier, d"Yves et du nageur toutes les minutes. Fig. 2 : Les positions de Xavier, Yves et du nageur, toutes les minutes.1. Marcher ou nager, c"est la meme chose?407
Par subdivisions successives, ils peuvent ensuite faire apparaıtre les posi- tions des trois protagonistes de la question de mani`ere presque continue. Fig. 3 : Les positions de Xavier, Yves et du nageur, toutes les 0,01 s. Yves atteint ainsi l"autre rive en meme temps que le nageur; celui-ci a donc, lui aussi, mis 10 minutes pour traverser la rivi`ere. Quelles sont les autres caract´eristiques de son mouvement?Le d´eplacement du nageur est rectiligne
D´ecrire le d´eplacement du nageur revient `a exprimer sa position en fonction de celles d"Yves et de Xavier. Or, nous avons suppos´equeled´eplacement de chacun des deux observateurs est rectiligne et uniforme. La position de Xavier - compt´ee en m`etres `apartirdupointA- s"exprime donc par l"´equation x=40t, o`utest la dur´ee de marche, compt´ee en minutes; et pareillement pour Yves y=20t. La position du nageur est ainsi d´etermin´ee `a tout instant grace aux deux´equations?x=40t,
y=20t,408Chapitre 13. Les mouvements et les vitesses
qui m´eritent d`es lors d"etre appel´ees les´equations du mouvement. Occupons-nous de la trajectoire du nageur, c"est-`a-dire de l"ensemble de toutes ses positions. C"est une figure g´eom´etrique ind´ependante du temps. Elle s"obtient donc en??chassant??le tempsthors des deux ´equations du mouvement. La premi`ere ´equation donnet= x 40, ce qui permet d"´ecrire la deuxi`eme, `a savoir y=20·x
40=1;x.
C"est l"´equation d"une droite
2 . Le nageur suit donc une trajectoire recti- ligne dont le point de d´epart est l"origineAdu rep`ere??naturel??.Le mouvement du nageur est uniforme
Rappelons qu"un mouvement est qualifi´e d"uniforme si une meme dur´ee d"observation correspond toujours `aunmeme espace parcouru, ind´epen- damment de l"instant o`ud´ebute l"observation. Le mouvement du nageur d´etermine celui de Xavier et d"Yves, et chacun de ces mouvements est rectiligne. Montrons alors que le d´eplacement du nageur est uniforme si et seulement si celui de Xavier et d"Yves le sont aussi. Supposons d"abord que les mouvements de Xavier et d"Yves sont uni- formes. Situons leurs positions `a deux instants d"observation (diff´erents) : soientX 1 ,X 2 etY 1 ,Y 2 . Les mouvements ´etantuniformes,siladur´ee d"ob- servation est la meme, les distances parcourues par chacun doivent doncetre identiques (cf. figure 4). On a
??X 1 X ?1 ??=??X 2 X ?2 ??Y 1 Y ?1 ??=??Y 2 Y ?2 o`uX ?1 ,X ?2 etY ?1 ,Y ?2 d´esignent les positions atteintes `alafindel"observa- tion. AxyXX"XX"
Y Y"Y Y" T ST"T ST"11 221
12 2 1 11222
200
400
Fig. 4 : L"uniformit´eentermesdetrianglesisom´etriques. 2 Le contexte est diff´erent, mais les id´ees mises en uvre ici sont exactement celles des chapitres 5 et 6.