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Chapitre. Multiplication des nombres relatifs.
I.Multiplication
1) Multiplication par 0.
Théorème admis: Pour tout nombre relatif a, on a: a ´´´´ 0 = 0 ´´´´ a = 0
Démonstration: Si a est un nombre positif, on le sait déjà. Si a est négatif, on note b l"opposé de a qui est un nombre positif, et de plus a + b = 0. (a + b) ´ 0 = 0 = a ´ 0 + b ´ 0 Or b ´ 0 = 0. Donc a ´ 0 = 0.2) Conséquence: multiplication par ( ---- 1 )
multiplier un nombre relatif par ( - 1 ) , c"est calculer son opposé.Démonstration: Soit a un nombre quelconque.
a ((-1 ) + 1) = a ´ 0 = 0 a ((-1 ) + 1) = a ´ (- 1) + a ´ 1 = a ´ (-1) + a Donc a ´ (-1) + a = 0 soit a ´ (-1) + a - a = 0 - a soit a ´ (-1) = - a.3) Produit de deux nombres relatifs. dans le socle
La démonstration est compliquée mais peut se faire sur des exemples exemple 1:3 ´ 2 = 6 exemple 2:
A = (- 3) ´ (-2)
A = (-1) ´ 3 ´ (-1) ´ 2
A = (-1) ´ (-1) ´ 3 ´ 2
A = 1 ´ 6
A = 6 exemple 3:
B = 3 ´ (- 2)
B = 3 ´ (-1) ´ 2
B = - 6
Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif. C"est-à-dire: · Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif; · Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif · Le produit de deux nombres relatifs de signes contraire est un nombre négatif.· Dans tous les cas, la distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro,
Si un produit comporte un nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif. Si un produit comporte un nombre pair de facteurs négatifs, alors le produit est positif. exemple 4: C = (- 2) × 3 × (- 9) × (- 5) × ( - 8) Ce produit comporte 4 facteurs négatifs, donc un nombre pair de facteur négatifs.Donc le produit est positif.
II. Parenthèses et priorité des opérations. hors socle1) Conventions d"écriture.
On peut supprimer le signe " ´´´´ "
· entre deux lettres: x
´´´´ y = x y
· entre un nombre et une lettre si le nombre est écrit à gauche de la lettre: 2´´´´ x = 2 x.
· devant une parenthèse: 2
´´´´ (3 + 5 ) = 2 (3 + 5 ) a ´´´´ ( b + c ) = a ( b + c ). ? On n"écrit pas x 2, ni 2 3 qui pourrait être confondu avec le nombre 23(vingt-trois). On enlève le signe ´´´´ lorsqu"il n"y a pas de confusion possible.2) utilisation des parenthèses.
Dans un calcul avec parenthèses, on calcule en priorité le résultat des opérations entre parenthèses,
puis on termine le calcul. exemple 1: ( 23 + 5 ) ´ (26 - 6 ) = 28 ´ 20 ( 23 + 5 ) ´ (26 - 6 ) = 5603) Priorité des opérations.
En l"absence de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les
soustractions. exemple 1: 2 ´ 5 + 17 = ( 2 ´ 5 ) + 17 2´ 5 + 17 = 10 + 17
2´ 5 + 17 = 27
? toutes les calculatrices ne respectent pas les règles de priorité. Une calculatrice non scientifique réalise les
calculs au fur et à mesure. Il ne faut pas enlever les parenthèses si elles sont précédées du signe négatif (" -") et elles contiennent des additions et des soustractions.4) Suppression des parenthèses dans un somme algébrique.
hors socleProblème: que se passe-t-il quand un signe négatif précède des parenthèses dans un calcul ?
- (a + b) = - 1 ´ ( a + b ) = ( - 1 ) ´ a + ( - 1 ) ´ b = - a + ( - b) = - a - b - (a - b) = - 1 ´ ( a - b ) = ( - 1 ) ´ a - ( - 1 ) ´ b = - a - ( - b) = - a + bRègle 1: lorsqu"un signe positif précède des parenthèses, on peut enlever ce signe et les parenthèses sans rien
changer.Règle 2: lorsqu"un signe négatif précède des parenthèses, on peut enlever ce signe et les parenthèses à
condition de changer tous les signes entre parenthèses.