Définition 1 : Un trinôme du second degré est une expression de la forme ax 2 + bx +c, avec a = 0 la factoriser à l'aide de l'identité remarquable a 2 −b 2
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Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1 On peut donc le factoriser par (x − 1), ainsi, on sait qu'il existe un
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Comme A < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle II Factorisation d'un trinôme On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la fonction f
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Un trinôme du second degré est une expression du type permet de factoriser P , et on donnera une interprétation graphique des racines et des coefficients
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On cherche à factoriser un polynôme de sorte à pouvoir trouver ses racines On identifie alors les coefficients de chacun des termes de même degré des deux
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Pour factoriser un trinôme unitaire de la forme x2 + bx + c T on cherche 2 nombres dont la somme donne b et le produit c ; T on exprime b comme somme de ces
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3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines 7 3 1 Factorisationdutrinôme 4 Signe du trinôme et inéquation du second degré 9
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On appelle discriminant du trinôme ax2 +bx+c (a = 0), le réel ∆ = b2 −4ac 2-1 Si ∆ < 0 : Racines : Pas de racines réelles Factorisation : Pas de factorisation
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Exprimer un polynôme de degré n comme un produit de deux polynômes de On voit donc la factorisation du polynôme x2 + (a + b)x + ab en deux facteurs
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Définition 1 : Un trinôme du second degré est une expression de la forme ax 2 + bx +c, avec a = 0 la factoriser à l'aide de l'identité remarquable a 2 −b 2
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Chap 2 :?
???Les PolynômesI. Trinôme du second degré
Définition 1 :Un trinômedu second degré est une expression de la formeax2+bx+c, aveca?=0.Exemple :x2,-2x2+x-1, 10000x2-30000x...
Nous allons déterminer une technique pour résoudretoutesles équations du typeax2+bx+c=0, aveca?=0 , appeléeséquations du second degré.1) Forme canonique du trinôme
Proposition-DéfinitionPour tout trinôme on a :ax2+bx+c=a?? x+b2a? 2 -b2-4ac4a2? Une telle écriture (où lesxn"apparaissent qu"une seule fois) s"appelle la forme canoniquedu trinôme. A quoi ça sert?: Cette écriture permet dans tous les cas de résoudre l"équationax2+bx+c=0, il fautla factoriser à l"aide de l"identité remarquablea2-b2puis, si cette factorisation est possible, dire qu"un
??produit de facteurs est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul??et enfin conclure. Exemple :la forme canonique de 2x2-4x-6 est 2?(x-1)2-4?donc l"équation 2x2-4x-6=0 peut se réécrire 2?(x-1)2-4?=02?(x-1)2-22?=0
2(x-1-2)(x-1+2)=0
2(x-3)(x+1)=0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul donc : soitx-3=0 soitx+1=0 et les solutions sont doncx=3 etx=-1.2) Résolution de l"équationax2+bx+c=0, avecanon nul
Définition 2 :On appelleracine(ouzéro) du trinômeax2+bx+ctoute solutiondeax2+bx+c=0.Page 1/5
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Proposition 1 :αest une racine deax2+bx+csi et seulement si on peut factoriserax2+bx+cpar (x-α) c"est-à-dire si et seulement siax2+bx+c=(x-α)(...). Définition 3 :SoitP(x)=ax2+bx+c, on appellediscriminantdeP, le nombreΔ=b2-4ac.
Théorème 1 :SoitSl"ensemble des solutionsdeax2+bx+c=0. SiΔ<0 :S=?, c"est-à-dire que l"équation n"a pas de solution surR.SiΔ=0 :S=?
-b 2a?SiΔ>0 :S=?
-b-?2a;-b+?
2a? Exemple :Résoudre les équations suivantes :x2-3x+2=0,2x2+4x+2=0,
-3x2+2x-2=0.
Proposition 2 :Si un trinôme a deux racinesx1etx2on peut le factoriser ena(x-x1)(x-x2).3) Signedu trinôme
Dans chacun des trois cas pourΔon peut déterminer le signe du trinôme en fonction dex. Théorème 2 :De la forme canonique du trinôme, on déduit :SiΔ<0 :ax2+bx+cest toujoursdu signe dea.
SiΔ=0 :ax2+bx+cest toujoursdu signedeasauf pourx=-b2a(il est alorsnul).
SiΔ>0 :ax2+bx+cest :
du signe deaà l"extérieur des racines.
du signe de-aà l"intérieur des racines.
Ce qui donne sous forme de tableau
x-∞x1x2+∞ ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe deaPage 2/5
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Remarque :Dans la pratique on peut retrouverces résultats en factorisant le trinôme. Par exemplepourlesignedex2-3x+2 :onconnaîtsesracinesquisont1 et 2 doncgrâceà la proposition2 on sait qu"on peut factoriser ce trinômeenx2-3x+2=(x-1)(x-2) puis un tableau de signes nous donne : x-∞1 2+∞ (x-1) -0++ (x-2) --0+ x2-3x+2
+0-0+4) Interprétation géométrique
On considère la fonctionf:?R-→R
x?-→ax2+bx+c. On appelleCfsa courbe représentative dans un repère orthonormé. On peut retrouver les résultatsdes théorèmes précédents surCf: Oy xx1x2C f a>0Δ>0Oy xx0C f a>0Δ=0Oy x a>0Δ<0C f Oy x x1x2 C fa<0Δ>0 Oy x x0 C fa<0Δ=0 Oy x a<0Δ<0 C fPage 3/5
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II. Polynômes
1) Définition
Définition 4 :Unpolynômeest une fonction de la formeP:x?-→anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0.
oùa0,a1, ...,ansont des nombres réels et oùnest un entier naturel.