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TF,DIRAC,CONVOLUTION,ETTUTTI

QUANTI

J.-F.BERCHER

Octobre2001-version0.2

LATRANSFORMÉEDE

OURIERetsesprin-

condiiond'échantillonnagedeShannon. OU-

RIER,selon

x(t)=Z+1 1

X(f)ej2ftdf;

où X(f)= Z+1 1 x(t)ej2ftdt:

OURIER,cequiestnotépar

x(t)*)X(f):

LatransforméedeF

tionssuffisantesmaispasnécessaires): Z+1 1 jx(t)jdt<+1: Z+1 1 jx(t)ej2ftjdt< Z+1 1 jx(t)jdt<+1 (carjx(t)e j2ftj=jx(t)jjej2ftjOURIER.

Page4TF,Dirac,convolution,ettuttiquanti

X(f)=jX(f)je

j(f)=A(f)+jB(f); jX(f)j= q

A(f)2+B(f)2;

(f)=arctgB(f) A(f):

Exemple1Impulsionrectangulaire.

rect T(t)= (1sit2[T=2;T=2];

0ailleurs.

delatransforméedeF

OURIER:

X(f)=TFfArect

T(t)g=A

ZT=2 T=2 ej2ftdt; soit

X(f)=A

"ej2ft j2f #T2 T 2 =A1j2f h ejfTejfTi etenfin

X(f)=ATsin(fT)fT

4=ATsinc(fT):

pourx!0. rectT(x) 3T/2

TT/20-T/2-T-3T/2A

A/2 0

ATsinc(fT)

AT/2 0

Exemple2Exponentielles.

Alors X

1(f)=TFfx1(t)g=

Z+1 0 e(a+j2f)tdt=1a+j2f:

Delamêmefaçon,onobtient

2(f)=TFfx2(t)g=1aj2f:

eax(a=2)

21.510.501

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Page6TF,Dirac,convolution,ettuttiquanti

eax(a=2)

0-0.5-1-1.5-21

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 x

1(t)*)X1(f)

2(t)*)X2(f)

alors,8c

1;c22CC,

1x1(t)+c2x2(t)*)c1X1(f)+c2X2(f)

quelestransforméesdeF

OURIERde

(g1(t)=exp(ajtj)=exp(at)u(t)+exp(at)u(t) g valentrespectivement G

1(f)=2aa2+(2f)2

G2(f)=j4fa2+(2f)2

forméesdeF

OURIERlorsquea!0.

ejajx(a=2)

21.510.50-0.5-1-1.5-21

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 eaxu(x)eaxu(x)(a=2)

21.510.50-0.5-1-1.5-21

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 x(at)*)1 jajX f a

OURIER.

Page8TF,Dirac,convolution,ettuttiquanti

Propriété3Retardtemporel.

forméedeF x(tt

0)*)X(f)ej2ft0:

TFfx(tt

0)g= Z+1 1 x(tt0)ej2ftdt;

Ennotantquee

j2ft=ej2f(tt0)ej2ft0,ilvientalors

TFfx(tt

0)g= Z+1 1 x(tt0)ej2f(tt0)ej2ft0dt; soit

TFfx(tt

0)g=ej2ft0Z+1

1x(tt0)ej2f(tt0)dt=ej2ft0X(f):

domainefréquentiel: e j2f0tx(t)*)X(ff0):

Application

:modulationd'amplitude x(t)=Acos(2f

0t)m(t);

oùm(t)estlemessage.

0etf0,i.e.,on

a x(t)=A 2 h ej2f0tm(t)+ej2f0tm(t) i

X(f)=A

2[M(ff0)+M(f+f0)];

oùM(f)estlatransforméedeF

OURIERdumessagem(t).

Propriété5"Moyennes».

relationssuivantes: X(0)= Z+1 1 x(t)dt; x(0)= Z+1 1

X(f)df:

OURIERdirecte

F pourtransforméedeF alorsdx(t) dt* )j2fX(f): x(t)= Z+1 1

X(f)ej2ftdf;

dx(t) dt=ddt Z+1 1

X(f)ej2ftdf;

Z+1 1 j2fX(f)ej2ftdf; =TF

1fj2fX(f)g:

d nx(t) dtn* )(j2f) nX(f): Zt 1 x()d*)1j2fX(f):

OURIERàpartir

x(t)*)X(f); alors

X(t)*)x(f):

x(t)= Z+1 1

X(f)ej2tfdf;

x(f)= Z+1 1

X(t)ej2ftdt4=TFfX(t)g:

Exemple

Onavuque

Arect

T(t)*)ATsinc(fT):

ABsinc(tB)*)Arect

B(f);

ABsinc(tB)*)Arect

B(f):

CecimontrequelatransforméedeF

Page10TF,Dirac,convolution,ettuttiquanti

OURIER:

x(t)*)X(f): x(t)*)X(f):

OURIER:

TFfx (t)g= Z+1 1 x(t)ej2ftdt; Z+1 1 x(t)ej2tfdt =X (f):

Parailleurs,pourtoutsignalx(t),ona

x(t)*)X(f):

OURIERdex(t):

TFfx(t)g=

Z+1 1 x(t)ej2ftdt;

TFfx(t)g=

Z+1 1 x(t)ej2tfdt; =X(f): x(t)*)X(f):

Enrésumé,

x(t)*)X(f) x(t)*)X(f) x (t)*)X(f) x (t)*)X(f) dessignauxréels:

X(f)=X(f)

onendéduitque,six(t)estréel,alors -lapartieréelledeX(f)estpaire, -lapartieimaginairedeX(f)estimpaire, -lemoduledeX(f),jX(f)jestpair, -laphasedeX(f),(f)estimpaire. [pair]x(t)=x(t)*)X(f)=X(f)[pair] [impair]x(t)=x(t)*)X(f)=X(f)[impair]

2.ImpulsiondeDIRACPage11

Enfin,ona

Réelpair+imaginaireimpair*)Réel

Réelimpair+imaginairepair*)Imaginaire

2ImpulsiondeDIRAC

D transforméedeF

OURIER.

I- ristique.

OnappelleimpulsiondeD

IRAClafonction(t)

(t)= (0sit6=0; +1pourt=0; ettelleque Z+1 1 (t)dt=1:

L'impulsiondeD

Conséquence

L'impulsiondeD

effet,l'impulsiondeD

0)=x(t0)(tt0).Parconséquent,

Z+1 1 x(t)(tt0)dt=x(t0): E x=Z +1 1 jx(t)j2dt<+1; P x=lim T!+11 TZ T=2

T=2jx(t)j2dt<+1;

Page12TF,Dirac,convolution,ettuttiquanti

8 x(t)= Z+1 1 x()(t)d; avecx()= Z+1 1 x(t)(t)dt:

OURIERdel'impulsionde

IRAC,quivautsimplement:

TFf(t)g=

Z+1 1 (t)ej2ftdt; =e j20=1:

LatransforméedeF

fréquence: (t)*)18f:

Onpeutvoir(interpréter)l'impulsiondeD

(t).nousavons vuquelatransforméedeF

OURIERdecettefonctionvaut

1 sinc(f)=sinc(f):

Lorsque!0,(1=)rect

(t)!(t),etsinc(f)!1.

2.1Applicationsetconséquences

deF

OURIER.

(t)*)e j2f:

LatransforméedeF

TFf1g=(f)=(f):

LatransforméedeF

e j2f0tx(t)*)X(ff0): impliquealors,enprenantx(t)=1,que e j2f0t* )(ff0);

2.ImpulsiondeDIRACPage13

nousréécrivonsentermedeTF TF n ej2f0to=(ff0); Z+1 1 ej2f0tej2ftdt=(ff0); duproduitscalairehabituel = Z1 1 x(t)y(t)dt:

Rappelonsqu'alors,silese

décomposition x(t)= Z1 1 ef(t)dt; oùX(f)= f(t)>= Z+1 1 x(t)ej2ftdt;

OURIERinverse

x(t)= Z+1 1

X(f)ej2ftdf:

cos(2f 0t)=e j2f0t+ej2f0t 2; sin(2f 0t)=e j2f0tej2f0t 2j; etilvientalors cos(2f

0t)*)12[(ff0)+(f+f0)];

sin(2f

0t)*)12j[(ff0)(f+f0)]:

Onmontre(cfExercices)que

TFfSigne(t)g=1

jf (t)*)ej2f:

Page14TF,Dirac,convolution,ettuttiquanti

u(0)=1=2.Danscecas,

TFfu(t)g=1

2TFfSigne(t)g+12TFf1g;

1 j2f+12(f):

ILBERT.

x(t)= +1X m=1 xT0(tmT0); oùx décompositionensériedeF

OURIER,souslaforme:

x(t)= +1X n=1 cnej2nf0t; oùfquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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