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Démonstration: Regardons tout d'abord un cas particulier extrêmement simple : le graphe qui a un seul sommet, et pas d'arête, qu
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Propriété : La somme des degrés de tous les sommets d'un graphe est égale au double du nombre Vidéo https://youtu be/gznmzmzjBsQ D'après le théorème d'Euler, le graphe étant connexe, il faut trouver deux sommets exactement dont
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2 août 2003 · 2 Graphes planaires formule d'Euler 10 donc au moins n−1 arêtes, d'où G en possède au moins n, ce qui achève la démonstration ◁
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Théorème d'Euler Ici G est un graphe dont l'ensemble des sommets est : { A , B , C , D }, et l' Nous allons faire le démonstration par récurrence sur k
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VI 1 Matrice d'adjacence et chemin dans un graphe mis de conclure leur démonstration en étudiant les 1478 cas particulier auxquels ils ont ramené Par la formule d'Euler, on a 2a ≥ 4(2 − s + a) donc 2s ≥ a + 4 ce qui est contradictoire
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Algorithme d"EulerGraphes non orientés2012-2013
Spécialité Mathématiques
Term ES
D"après Bac ES Asie 2003
Utiliser le théorème d"Euler en situation
Dans la ville de Graphe, on s"intéresse aux principales rues permettant de relier différents lieux ou-
verts au public, à savoir la mairie (M), le centre commercial (C), la bibliothèque (B), la piscine (P)
et le lycée (L). Chacun de ces lieux est désigné par son initiale. Le tableau ci-dessous donne les rues
existant entre ces lieux.BCLMPB×××
C×××
L××
M××××
P××
1. Dessiner un graphe G représen tantcette situation.Solution:Les sommets du graphe sont les différents lieux de la ville et les arêtes les différentes
rues existantes entre ces lieux.2.Mon trerqu"il est p ossiblede trouv erun tra jetempru ntantune fois et une seule toutes les rues de
ce plan. Justifier. Proposer un tel trajet.Solution:Le problème posé revient à chercher dans le graphe G une chaîne eulérienne ou un
cycle eulérien. Le graphe G est connexe : deux sommets quelconques du graphe peuvent toujours être reliés par une chaîne. On donne ci-dessous le tableau des degrés des sommets du graphes.SommetBCLMPDegré33242
Géraldine MénéxiadisPage 1 / 2
Algorithme d"EulerGraphes non orientés2012-2013Spécialité Mathématiques
Term ES
Le nombre de sommets de degré impair est 2 :ce sont les sommets B et C.D"après le théorème d"Euler, le graphe G admet donc une chaîne eulérienne. Les extrémités
de la chaîne sont les sommets de degré impair, soit B et C. Pour déterminer une telle chaîne, on applique l"algorithme du cours et on trouve par exemple, par étapes successives : Étape 1 :B-P-M-L-C (recherche d"une chaîne d"extrémités B et C) Étape 2 :on insère le cycle B-M-C-B à la place de B dans la chaîne précédente. On obtient B-M-C-B à la place de B dans la chaîne précédente.On obtient B-M-C-B-P-M-L-C.
Étape 3 :toutes les arêtes du graphe ont été utilisées; une chaîne eulérienne possible estB-M-C-B-P-M-L-C. Conclusion :d"après ce qui précède, il est possible de trouver un trajet qui emprunte unefois et une seule toutes les rues. Ce chemin possible estB-M-C-B-P-M-L-C.3.Est-il p ossibled"a voirun tra jetpartan tet arriv antdu même lieu et passan tune fois et une seule
par toutes les rues? Solution:La question posée, retraduite en termes de graphe est : le graphe G admet-il un cycle eulérien?D"après ce qui précède, G est connexe et tous ses sommets ne sont pas de degré pair donc,
d"après le théorème d"Euler, le graphe G n"admet pas de cycle eulérien. Conclusion :il n"est pas possible d"avoir un trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues.Méthode1.Bien repérer les éléments du texte qui seront matérialisés par les sommets du graphe et ceux qui
seront matérialisés par les arêtes.2.et3.Il faut tout d"abord traduire la question avec le vocabulaire des graphes. Il faut ensuite
préciser la connexité du graphe utilisé et dresser le tableau des degrés des sommets, afin de pouvoir
identifier la conclusion à donner à l"aide du théorème d"Euler.