Propriétés de R 2 1 Ce sont les propriétés que vous avez toujours pratiquées Pour a Un intervalle de R est un sous-ensemble I de R vérifiant la propriété :
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Propriétés de R 1 Les rationnels Q Exercice 1 1 Démontrer que si r ∈ Q et x /∈ Q alors r+x /∈ Q et si r = 0 alors r x /∈ Q 2 Montrer que √ 2 ∈ Q, 3
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Exercice 11 ** Montrer que {r3, r ∈ Q} est dense dans R Correction ▽ [005219] 2 Page 3
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et si ∀r ∈ on a r < r =⇒ r ∈ — Le suites de Cauchy : ce sont les suites (un)n∈ vérifiant la propriété ∀ε > 0 ∃N ∈ (m ⩾ N ,n ⩾ N) =⇒ um − un ⩽ ε
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Montrer que Mn(R)\GLn(R) est fermé mais non compact (pour n ⩾ 2) 3 Propriétés topologiques de l'ensemble des triplets de réels (a,b,c) tels que la forme
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On fait la même chose mais il y a trois variables : P, Q, R On compare donc Nous allons essayer de voir les propriétés des ensembles, sans s'attacher à un
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Montrer que possède dans ℝ une borne supérieure, une borne inférieure et les Plus généralement, un sous-ensemble de ℝ vérifiant la propriété :
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Montrer que sup(A + B) = supA + supB Exercice 9 Soit A et B deux parties bornées de R Vrai ou faux? 1 A ⊂ B
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(c) En supposant A et B minorées, énoncer les propriétés analogues pour inf(A∪ B) et inf(A∩B) Exercice 13 Soit A un ensemble non vide et majoré dans R
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3 2 Propriétés de la limite Théor`eme 3 2 1 Si une suite (un) de réels admet une limite l ∈ R alors cette limite est unique Démonstration Par l'absurde
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